《隨機(jī)變量及分布》課件

隨機(jī)變量及分布隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的期望和方差目錄01隨機(jī)變量隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果與一個(gè)數(shù)值相對應(yīng)，這個(gè)數(shù)值被稱為隨機(jī)變量。離散隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量的可能取值是可數(shù)的，則稱為離散隨機(jī)變量。連續(xù)隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量的可能取值是連續(xù)的，則稱為連續(xù)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量根據(jù)其取值特點(diǎn)可以分為二項(xiàng)式、泊松型、超幾何型等。連續(xù)型隨機(jī)變量根據(jù)其分布函數(shù)特點(diǎn)可以分為均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等。確定性隨機(jī)變量的取值具有不確定性，但它的概率分布是確定的?？蓽y性對于給定的概率值，可以確定隨機(jī)變量取值的范圍。可重復(fù)性在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)變量的取值具有一定的重復(fù)性。隨機(jī)變量的性質(zhì)02離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量在一定范圍內(nèi)取有限個(gè)值的隨機(jī)變量，其取值是離散的。定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為$Omega$，對于每一個(gè)樣本點(diǎn)$omegainOmega$，都對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)$X(omega)$，則稱$X$為隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量$X$只能取有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè)值，則稱$X$為離散型隨機(jī)變量。例子投擲一枚骰子，其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)就是離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的定義概率分布描述離散型隨機(jī)變量取各個(gè)可能值的概率。定義設(shè)離散型隨機(jī)變量$X$的所有可能取值為$x_1,x_2,ldots,x_n$，則稱$P(X=x_i)$為離散型隨機(jī)變量$X$的概率函數(shù)，簡稱概率分布。例子投擲一枚骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6的概率都為$frac{1}{6}$。離散型隨機(jī)變量的概率分布03幾何隨機(jī)變量在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中首次成功所需要的試驗(yàn)次數(shù)，服從幾何分布。01二項(xiàng)式隨機(jī)變量在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中成功的次數(shù)，服從二項(xiàng)分布。02泊松隨機(jī)變量單位時(shí)間內(nèi)（或單位面積上）隨機(jī)事件的次數(shù)，服從泊松分布。常見的離散型隨機(jī)變量03連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量是取值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)或某個(gè)集合內(nèi)的隨機(jī)變量，其取值具有連續(xù)性。連續(xù)型隨機(jī)變量的取值范圍是無限的或者至少覆蓋一個(gè)很大的區(qū)間。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)是連續(xù)的，并且其取值范圍是[0,1]。010203連續(xù)型隨機(jī)變量的定義連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)是描述連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的函數(shù)，其值表示在某一特定點(diǎn)或某一特定區(qū)間內(nèi)取值的概率。概率密度函數(shù)的積分等于1，表示隨機(jī)變量取值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率等于該區(qū)間的長度。概率密度函數(shù)可以描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，如期望值、方差等。正態(tài)分布是一種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)呈鐘形曲線，常用于描述許多自然現(xiàn)象的概率分布。正態(tài)分布指數(shù)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，常用于描述壽命測試、等待時(shí)間等。指數(shù)分布均勻分布是一種特殊的連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)為常數(shù)，常用于描述某些物理量在一定范圍內(nèi)的分布。均勻分布常見的連續(xù)型隨機(jī)變量04隨機(jī)變量的分布函數(shù)123分布函數(shù)是描述隨機(jī)變量取值概率的函數(shù)，其值域?yàn)閇0,1]。對于任意實(shí)數(shù)x，分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量X小于或等于x的概率。分布函數(shù)具有非負(fù)性、規(guī)范性（F(+∞)=1，F(xiàn)(-∞)=0）和單調(diào)不減性。分布函數(shù)的定義分布函數(shù)是單調(diào)非減的，即隨著x的增加，F(xiàn)(x)的值也增加。分布函數(shù)具有連續(xù)性，即對于任意x，lim(Δx→0)[F(x+Δx)-F(x)]/Δx存在且等于F'(x)。對于任意實(shí)數(shù)x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。分布函數(shù)的性質(zhì)01通過分布函數(shù)可以方便地計(jì)算隨機(jī)變量取某個(gè)值的概率。用于計(jì)算概率02通過分布函數(shù)可以求得概率密度函數(shù)或概率質(zhì)量函數(shù)。用于概率密度函數(shù)和概率質(zhì)量函數(shù)的推導(dǎo)03如期望和方差等可以通過分布函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。用于隨機(jī)變量的數(shù)字特征計(jì)算分布函數(shù)的應(yīng)用05隨機(jī)變量的期望和方差性質(zhì)期望具有線性性質(zhì)，即對于兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。計(jì)算方法根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布，通過加權(quán)求和的方式計(jì)算期望值。定義期望是隨機(jī)變量所有可能取值的概率加權(quán)和，表示隨機(jī)變量取值的平均水平。期望的定義和性質(zhì)定義方差是隨機(jī)變量取值與其期望值之差的平方的平均值，表示隨機(jī)變量取值分散程度。性質(zhì)方差具有非負(fù)性，即對于任何隨機(jī)變量X，有Var(X)≥0。計(jì)算方法根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布，通過加權(quán)求和的方式計(jì)算方差。方差的定義和性質(zhì)030201期望的應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，期望常用于描述一組數(shù)據(jù)的中心趨勢，通過計(jì)算數(shù)據(jù)的期望值，可以了解數(shù)據(jù)的平均水平。方差的