高中數(shù)學(xué)壓軸題復(fù)習(xí)-導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題（剖析版）

【方法綜述】導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題主要指的是形如“已知不等式成立/存在性/方程的根/零點(diǎn)等條件,求解參數(shù)的取值或取值范圍”.這類(lèi)型題目在近幾年的高考全國(guó)卷還是地方卷中，每一年或多或少都有在壓軸選填題或解答題中出現(xiàn)，屬于壓軸常見(jiàn)題型.學(xué)生要想解決這類(lèi)型的題目，關(guān)鍵的突破口在于如何處理參數(shù)，本專(zhuān)題主要介紹分類(lèi)討論法和分離參數(shù)法.【解答策略】一．分離參數(shù)法分離參數(shù)法是處理參數(shù)問(wèn)題中最常見(jiàn)的一種手段，是把參數(shù)和自變量進(jìn)行分離，分離到等式或不等式的兩邊（當(dāng)然部分題目半分離也是可以的，如下面的第2種情形），從而消除參數(shù)的影響，把含參問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值、單調(diào)性、零點(diǎn)等問(wèn)題，當(dāng)然使用這種方法的前提是可以進(jìn)行自變量和參數(shù)的分離.1．形如或(其中符號(hào)確定)該類(lèi)題型，我們可以把參數(shù)和自變量進(jìn)行完全分離，從而把含參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值、單調(diào)性或圖像問(wèn)題.例1．【河北省滄州市2019屆高考模擬】直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩不等實(shí)根，即有兩不等實(shí)根，令，則與函數(shù)有兩不同交點(diǎn)，因?yàn)?，所以由得；由得或；因此函?shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖大致如下：因?yàn)?；又與函數(shù)有兩不同交點(diǎn)，所以由圖像可得，只需.故答案為【指點(diǎn)迷津】由直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)可得方程有兩不等實(shí)根，即有兩不等實(shí)根，令，求出函數(shù)的值域即可.【舉一反三】【湖南省永州市2019屆高三三?！咳舸嬖?，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】原不等式等價(jià)于：令，則存在，使得成立又當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即本題正確選項(xiàng)：2．形如或（其中是關(guān)于一次函數(shù)）該類(lèi)題型中，參數(shù)與自變量可以半分離，等式或不等式一邊是含有參數(shù)的一次函數(shù)，參數(shù)對(duì)一次函數(shù)圖像的影響是比較容易分析的，故而再利用數(shù)形結(jié)合思想就很容易解決該類(lèi)題目了.例2．【安徽省蚌埠市2019屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢查】定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且，不等式有解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故，因，所以?不等式有解可化為即在有解.令，則，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；故，所以，故選C.【指點(diǎn)迷津】不等式的恒成立問(wèn)題，應(yīng)優(yōu)先考慮參變分離的方法，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值（或最值的范圍）問(wèn)題來(lái)處理，有時(shí)新函數(shù)的最值點(diǎn)（極值點(diǎn)）不易求得，可采用設(shè)而不求的思想方法，利用最值點(diǎn)（極值點(diǎn)）滿(mǎn)足的等式化簡(jiǎn)函數(shù)的最值可以求得相應(yīng)的最值范圍．【舉一反三】【山東省濟(jì)寧市2019屆高三第一次模擬】已知當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，則所在的區(qū)間是()A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)【答案】C【解析】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），則f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，則g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．則f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，則∈（5，6）．∴a所在的區(qū)間是（5，6）．故選：C二．分類(lèi)討論法分類(lèi)討論法是指通過(guò)分析參數(shù)對(duì)函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的影響，然后劃分情況進(jìn)行相應(yīng)分析，解決問(wèn)題的方法，該類(lèi)方法的關(guān)鍵是找到討論的依據(jù)或分類(lèi)的情況，該方法一般在分離參數(shù)法無(wú)法解決問(wèn)題的情況下，才考慮采用，常見(jiàn)的有二次型和指對(duì)數(shù)型討論.1.二次型根的分布或不等式解集討論該類(lèi)題型在進(jìn)行求解過(guò)程，關(guān)鍵步驟出現(xiàn)求解含參數(shù)二次不等式或二次方程，可以依次考慮依次根據(jù)對(duì)應(yīng)定性（若二次項(xiàng)系數(shù)含參），開(kāi)口，判別式，兩根的大?。ɑ蚋潭▍^(qū)間的端點(diǎn)比較）為討論的依據(jù)，進(jìn)行分類(lèi)討論，然后做出簡(jiǎn)圖即可解決.例3．【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三3月月考】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，∴，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，∴，且，解得．由題意得．令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴．又不等式恒成立，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為．【指點(diǎn)迷津】1.本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性，解題的關(guān)鍵是得到的表達(dá)式．解答恒成立問(wèn)題的常用方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的問(wèn)題解決，當(dāng)函數(shù)的最值不存在時(shí)可利用函數(shù)值域的端點(diǎn)值來(lái)代替.2.由是函數(shù)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)可得，進(jìn)而得到，然后構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的值域后可得所求范圍．【舉一反三】【2019年3月2019屆高三第一次全國(guó)大聯(lián)考】若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值的集合是________．【答案】或（填也給滿(mǎn)分）【解析】由題意得，令，得．設(shè)，則，易得在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．因?yàn)楹瘮?shù)有個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象和直線有個(gè)交點(diǎn)，而，，注意，即軸與的圖象只有個(gè)交點(diǎn)．畫(huà)出函數(shù)的大致圖象和直線,如下圖所示，依題意得或，即或．故實(shí)數(shù)取值的集合是或．故答案為：或或．2．指數(shù)對(duì)數(shù)型解集或根的討論該類(lèi)題型在進(jìn)行求解過(guò)程，關(guān)鍵步驟出現(xiàn)求解含參指對(duì)數(shù)型不等式或方程，可以依次考慮依次根據(jù)對(duì)應(yīng)指對(duì)數(shù)方程的根大小(或與固定區(qū)間端點(diǎn)的大小)為討論的依據(jù),進(jìn)行分類(lèi)討論.即可解決.例4．函數(shù),則在的最大值（）A.B.C.D.【答案】D【指點(diǎn)迷津】該題為含參數(shù)的最值問(wèn)題,關(guān)鍵是確定單調(diào)性和區(qū)間,即含參數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào),該導(dǎo)數(shù)含f’′(x)=x?2kx=x(?2k)含有指數(shù)，且有兩個(gè)根，故而要根據(jù)兩個(gè)根的大小和兩根與固定區(qū)間端點(diǎn)的大小進(jìn)行相應(yīng)的討論，確定單調(diào)性，再確定最值.【舉一反三】【福建省2019屆備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)適應(yīng)性練習(xí)（四)】已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】易知當(dāng)≤0時(shí)，方程只有一個(gè)解，所以>0．令，，令得，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，又關(guān)于的方程=在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，解得，故選A.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，令；故選A.2．【天津市和平區(qū)2019屆高三下學(xué)期第一次調(diào)查】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即與有三個(gè)不同的交點(diǎn).令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，據(jù)此繪制函數(shù)的圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖像可知，滿(mǎn)足題意時(shí)的取值范圍是.本題選擇C選項(xiàng).3．當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】當(dāng)x≥0時(shí)，≥aln（x+1）恒成立，∴x≥0則f′（x）=，再設(shè)g（x）=（1+x）2ln（x+1）﹣x，則g′（x）=（1+x）ln（x+1）+1+x﹣x=（1+x）ln（x+1）+1＞0恒成立，∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）≥g（0）=0，∴f′（x）≥0∴f′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（0），∵根據(jù)洛必達(dá)法則可得∵f（0）=1∴a≤1，故a的取值范圍為（﹣∞，1]，故答案為A.4.【四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019屆高三3月月考】已知函數(shù)恰好有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，令并化簡(jiǎn)得，，構(gòu)造函數(shù)，，故當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，.注意到時(shí)，，由此可知與有兩個(gè)交點(diǎn)，需要滿(mǎn)足，故，故選.5.【2019屆高三第一次全國(guó)大聯(lián)考】若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為()A． B．（） C． D．（）【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，令易得，所以只需有兩個(gè)零點(diǎn)，令則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).求導(dǎo)可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由此可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的簡(jiǎn)圖如圖所示，根據(jù)圖可得故選D.6．【遼寧省撫順市2019屆高三一?！咳艉瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，又由，得，則等價(jià)為方程，在上有兩個(gè)不同的根，設(shè)，，由得得，得，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，得得，得或，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，要使，有兩個(gè)根，則即可，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D．7.【廣東省2019屆廣州市高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一)】已知函數(shù)，對(duì)任意，，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得：，即恒成立，令，則，據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值為，則，據(jù)此可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A．8．【安徽省馬鞍山市2019年高三第二次監(jiān)測(cè)】已知函數(shù)，若的解集為，且中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，,設(shè)，，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在內(nèi)，，且中恰有兩個(gè)整數(shù).先研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，注意到，當(dāng)時(shí)，.，恒過(guò)要想在內(nèi)，，且中恰有兩個(gè)整數(shù)，必須要滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：故本題選C.9．【重慶市南開(kāi)中學(xué)2019屆高三第三次檢測(cè)】已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，記g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以在x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值為5，所以.(3)在x∈時(shí)，x≥，恒有.綜上.故選:C10．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重點(diǎn)中學(xué)2019屆高三4月聯(lián)考】已知函數(shù)，，函數(shù)的最小值，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】求得考察是否有零點(diǎn)，令，可得，記，,在上遞減，在上遞增，所以，即，因?yàn)?所以，故可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而由上知，設(shè)，記在上單調(diào)遞減，，的最小值為0.故選C.11．【遼寧省鞍山一中2019屆高考三?！恳阎瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)為有三個(gè)不同的實(shí)根，即，即，則，所以有兩個(gè)不等于﹣1的根，則，設(shè)，則，則由得x＞1，由得且，則當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)，的圖象如圖，要使有兩個(gè)不同的根，則滿(mǎn)足，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C．12．【湖南省湘潭市2019屆高三二模】設(shè)，已知函數(shù)，對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)，由當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，都有，即對(duì)于任意，，由于，那么在上單調(diào)遞減，而，在上單調(diào)遞減，所以，，則，那么，或，結(jié)合，所以，故選C.二、填空題13．【江蘇省蘇州市2019屆高三下學(xué)期測(cè)試】若函數(shù)在其定義域上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____.【答案】【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x+2x，單調(diào)遞增，f（﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f（0）＝1＞0，由零點(diǎn)存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；則由題意可得x＞0時(shí)，f（x）＝ax﹣lnx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有a有且只有一個(gè)實(shí)根．令g（x），g′（x），當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．即有x＝e處取得極大值，也為最大值，且為，當(dāng)x如圖g（x）的圖象，當(dāng)直線y＝a（a＞0）與g（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則a．故答案為：．14．【2019年3月2019屆高三第一次全國(guó)大聯(lián)考】已知函數(shù)，，若，則_______【答案】【解析】令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故.當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)，不合題意，舍去；當(dāng)，即時(shí)，，，若，即，則，解得；若，即，則，解得；當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)，不合題意，舍去.綜上所述，.故答案為：15．【山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)、淄博五中2019屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)診斷】函數(shù)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】令函數(shù)有極值，則在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增時(shí)，；時(shí)，故存在，使得在遞減，在遞增故的極大值是，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值．當(dāng)趨近于與趨近于時(shí)，要使在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，則，解得綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是本題正確結(jié)果：16．【河南省鄭州市2019年高三第二次檢測(cè)】已知函數(shù)，