高中數(shù)學壓軸題復習-導數(shù)中的構造函數(shù)（剖析版）

【方法綜述】函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學思想中比較重要的兩大思想，而構造函數(shù)的解題思路恰好是這兩種思想的良好體現(xiàn)，尤其是在導數(shù)題型中．在導數(shù)小題中構造函數(shù)的常見結論：出現(xiàn)形式，構造函數(shù)；出現(xiàn)形式，構造函數(shù)；出現(xiàn)形式，構造函數(shù)；出現(xiàn)形式，構造函數(shù)．【解答策略】類型一、利用進行抽象函數(shù)構造1．利用與（）構造常用構造形式有，；這類形式是對，型函數(shù)導數(shù)計算的推廣及應用，我們對，的導函數(shù)觀察可得知，型導函數(shù)中體現(xiàn)的是“”法，型導函數(shù)中體現(xiàn)的是“”法，由此，我們可以猜測，當導函數(shù)形式出現(xiàn)的是“”法形式時，優(yōu)先考慮構造型，當導函數(shù)形式出現(xiàn)的是“”法形式時，優(yōu)先考慮構造．例1.【2019屆高三第二次全國大聯(lián)考】設是定義在上的可導偶函數(shù)，若當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為A．0 B．1C．2 D．0或2【答案】A【解析】設，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以也是上的偶函數(shù)，所以．由已知，時，，可得當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以，所以方程，即無解，所以函數(shù)沒有零點．故選A．【指點迷津】設，當時，，可得當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而求出函數(shù)的零點的個數(shù)．【舉一反三】【新疆烏魯木齊2019屆高三第二次質(zhì)量檢測】的定義域是，其導函數(shù)為，若，且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則A． B．C．當時，取得極大值 D．當時，【答案】C【解析】設，則則又得即，所以即，由得，得，此時函數(shù)為增函數(shù)由得，得，此時函數(shù)為減函數(shù)則，即，則，故錯誤，即，則，故錯誤當時，取得極小值即當，，即，即，故錯誤當時，取得極小值此時，則取得極大值本題正確選項：2．利用與構造與構造，一方面是對，函數(shù)形式的考察，另外一方面是對的考察．所以對于類型，我們可以等同，的類型處理，“”法優(yōu)先考慮構造，“”法優(yōu)先考慮構造．例2、【湖南省長郡中學2019屆高三下學期第六次月考】已知是函數(shù)的導函數(shù)，且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)），，若不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，可設，∵，∴．∴，∴．可得：時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值．，，，．∴時，不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，．故的取值范圍是，故選C．【指點迷津】令，可得，可設，，解得，，利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值并且畫出圖象即可得出．【舉一反三】【安徽省黃山市2019屆高三第二次檢測】已知函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，對于任意的實數(shù)x，都有，當時，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則當時，，又，所以為偶函數(shù)，從而等價于，因此選B.3．利用與，構造，因為導函數(shù)存在一定的特殊性，所以也是重點考察的范疇，我們一起看看?？嫉膸追N形式．，；，；，；，．例3、已知函數(shù)對于任意滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【指點迷津】滿足“”形式，優(yōu)先構造，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結合求解即可．注意選項的轉(zhuǎn)化．類型二構造具體函數(shù)關系式這類題型需要根據(jù)題意構造具體的函數(shù)關系式，通過具體的關系式去解決不等式及求值問題．1.直接法：直接根據(jù)題設條件構造函數(shù)例4、，，且，則下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】構造形式，則，時導函數(shù)，單調(diào)遞增；時導函數(shù)，單調(diào)遞減．又為偶函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和圖象可知選B．【指點迷津】根據(jù)題目中不等式的構成，構造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結合求解即可．【舉一反三】【福建省2019屆備考關鍵問題指導適應性練習（四)】已知函數(shù)，，若關于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】易知當≤0時，方程只有一個解，所以>0．令，，令得，為函數(shù)的極小值點，又關于的方程=在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)解，所以，解得，故選A.【指點迷津】根據(jù)題目中方程的構成，構造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結合求解即可．2.參變分離，構造函數(shù)例5.【云南省玉溪市第一中學2019屆高三下學期第五次調(diào)研】設為函數(shù)的導函數(shù)，且滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由，可得的對稱軸為，所以，所以，所以，由可得，變形可得，即，設，，易得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故實數(shù)b的取值范圍為，故選A【指點迷津】根據(jù)，變形可得，通過構造函數(shù)，進一步確定的最大值，利用導數(shù)，結合的單調(diào)性，即可求解.【舉一反三】【河北省唐山市2019屆高三下學期第一次模擬】設函數(shù)，有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)，有且只有一個零點，∴方程，，有且只有一個實數(shù)根，令g（x）=，則g′（x）=，當時，g′（x）0，當時，g′（x）0，∴g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當x=時，g（x）取得極大值g（）=，又g（0）=g（）=0，∴若方程，，有且只有一個實數(shù)根，則a=故選B.【強化訓練】一、選擇題1．【山西省2019屆高三百日沖刺】已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，，.當時，，則在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立；當時，因為在上單調(diào)遞增，故存在，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，則，這與恒成立矛盾，綜上.故選D.2．【海南省?？谑?019屆高三高考調(diào)研】已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立，則下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故選B．3．【遼寧省撫順市2019屆高三一?！咳艉瘮?shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，設，則，由得得或，此時函數(shù)為增函數(shù)，由得得，此時函數(shù)為減函數(shù)，即當時，取得極小值，當時，取得極大值，當，且，函數(shù)圖象如下圖所示：要使有三個零點，則，即實數(shù)a的取值范圍是，故本題選D．4．【遼寧省師范大學附屬中學2019屆高三上學期期中】已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵函數(shù)的定義域是∴，∵是函數(shù)的唯一一個極值點∴是導函數(shù)的唯一根，∴在無變號零點，即在上無變號零點，令，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最小值為，所以必須，故選：A．5．【2019屆山西省太原市第五中學高三4月檢測】已知函數(shù)，若函數(shù)在上無零點，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：因為f（x）＜0在區(qū)間（0，）上恒成立不可能，故要使函數(shù)f（x）在（0，）上無零點，只要對任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即對x∈（0，），a＞2恒成立．令l（x）＝2，x∈（0，），則l′（x），再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），則m′（x）0，故m（x）在（0，）上為減函數(shù)，于是m（x）＞m（）＝2﹣2ln2＞0，從而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）上為增函數(shù)，所以l（x）＜l（）＝2﹣4ln2，故要使a＞2恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）.6．【安徽省毛坦廠中學2019屆高三校區(qū)4月聯(lián)考】已知，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由恒成立得，恒成立，設，則.設，則恒成立，在上單調(diào)遞減，又，當時，，即；當時，，即，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故選:D7．【2019屆湘贛十四校高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且當時函數(shù)滿足，，則的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，則，∴，化簡可得.設，∴，∴時，，因此為減函數(shù)，∴時，，因此為增函數(shù)，∴，∴，∴在上為增函數(shù).∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴函數(shù)，∴函數(shù)關于對稱，又∵，即，又在上為增函數(shù)，∴，由函數(shù)關于對稱可得，，故選A.8．【河南省八市重點高中聯(lián)盟“領軍考試”2019屆高三第三次測評】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．【答案】B【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其對稱軸為，當即時，在上恒成立等價于，由線性規(guī)劃知識可知，此時；當即時，在上恒成立等價于，，即；當即時，在上恒成立等價于，此時；綜上可知，，故選.9．【寧夏六盤山高級中學2019屆高三二?！慷x域為的奇函數(shù)，當時，恒成立，若，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】構造函數(shù)因為是奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)當時，恒成立，即，所以在時為單調(diào)遞減函數(shù)在時為單調(diào)遞增函數(shù)根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，所以所以選D10．【四川省教考聯(lián)盟2019屆高三第三次診斷】已知定義在上的函數(shù)關于軸對稱，其導函數(shù)為，當時，不等式.若對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，令，則，又因為是在上的偶函數(shù)，所以是在上的奇函數(shù)，所以是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，可化為，即，又因為是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以恒成立，令，則，因為，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，所以.所以正整數(shù)的最大值為2.故選：B11．【2019屆高三第二次全國大聯(lián)考】已知定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，若當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】A【解析】由題意，設，則．由已知，所以當時，，當時，，又因為在上可導，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以無解，即方程無解，即方程無解，所以函數(shù)無零點．故選A．二、填空題12．【江蘇省海安高級中學2019屆高三上學期第二次月考】若關于x的不等式對任意的實數(shù)及任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】關于x的不等式對任意的實數(shù)及任意的實數(shù)恒成立，先看成b的一次函數(shù)，可得即為，可得恒成立，設，，，可得時，，遞增；時，，遞減，又，，可得在的最小值為，可得．即有a的范圍是．故答案為：．13．【山東省濟南市山東師范大學附屬中學2019屆高三四?！慷x在R上的奇函數(shù)的導函數(shù)滿足，且，若，則不等式的解集為______．【答案】【解析】的周期為定義在上的奇函數(shù)①時，令，則，即單調(diào)遞減又不等式的解集為②時，時，不等式成立綜上所述：本題正確結果：14．【廣東省佛山市第一中學2019屆高三上學期期中】已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f（1）=0，當x＞0時，，則不等式的解集是______．【答案】【解析】設，則，結合可得為減函數(shù).因為為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，作出簡圖如下：結合簡圖，所以的解集是.15.【重慶市第一中學校2019屆高三3月月考】設是定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為______.【答案】【解析】令g（x）＝exf（x）﹣ex，則g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex（f（x）+f′（x）﹣1），∵f（x）+f′（x）<1，∴f（x）+f′（x）﹣1<0，∴g′（x）<0，g（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，∵g（0）＝f（0）﹣1＝2018﹣1＝2017∴原不等式可化為g（x）＞g（0），根據(jù)g（x）的單調(diào)性得x<0,∴不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為,故答案為．16．【湖南師大附中2019