九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）考點(diǎn)解析

九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）考點(diǎn)解析

第一章：證明（二）

§1.3線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

一、考點(diǎn)解析

1、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；

2、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理及其應(yīng)用；

3、三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)位置與三角形形狀之間的關(guān)系以及相關(guān)性質(zhì);

4、有關(guān)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作圖問(wèn)題.

二、典型例題解析

例1、如圖1,已知AD是AABC的外角平分線(xiàn)，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D,DE〃AC交BA

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,DF〃AB交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,求證：AD±EF.

證明：?..AD平分NCAE,.?.NCAD=NEAD,

'.,DE//AC,ZADE=ZCAD

ZADE=ZEAD,AE=DE,

AE在線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)上，

同理可證：AF=DF,

AF在線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)上，

二.直線(xiàn)EF垂直平分線(xiàn)段AD,即AD1EF.

例2、如圖2,已知在△ABC中,BC=2AB,NABC=2NC,

證：AABC是直角三角形.

證明：作BC的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,

接BD、DE,則BD=CD,BE=CE=AB,ZDEB=90°,

ZC=ZDBC,NABC=ZABD+ZDBC=2/C,

NABD=NEBD,

在4ABD和4EBD中，AB=EB,NABD=/EBD,BD=BD,.-.△ABD^AEBD,

ZBAC=ZDEB=90°,即△ABC是直角三角形.

例3、已知A、B是平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，

在這個(gè)平面上有多少個(gè)點(diǎn)C,使船ABC

是等腰直角三角形？

斛：一共有6個(gè)點(diǎn)C使得4ABC是等

腰直角三角形.分以下兩種情況討論：

C）當(dāng)AB為所求等腰直角三角形的廉

時(shí)，如圖3—1所示，點(diǎn)均

滿(mǎn)足條件;

（2）當(dāng)AB為所求等腰五角三角形的斜邊時(shí)，如圖3—2所示,AC5,C6均滿(mǎn)足條件.

綜合（1）、（2）可知滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C一共有6個(gè).

例4、如圖4-1,已知線(xiàn)段〃?,〃和Na,求作△ABC,使得在△ABC中，ZACB=Za,

AC=〃z,AB=〃.（保留作圖痕跡，標(biāo)明頂點(diǎn)名稱(chēng)，寫(xiě)出作法）

隹法：如圖4—2,△AB,C

群：如圖4一3,Z^ABC有圖中的△AB]C和4AB2c兩種可能的情況:

fl）當(dāng)點(diǎn)B住于圖中的點(diǎn)及處時(shí)，過(guò)A作AD1CD于點(diǎn)D,則：

在Rt^ACD中，由NADC=90°,ZACB=45°,AC=6得：AD=CD=3后,

在RtaABQ中，由NADB1=90°,AD=372,AB1=5得：BQ=6，

.?.BQ3夜-石；

(2)當(dāng)點(diǎn)B位于圖中的點(diǎn)B2處時(shí)，過(guò)A作AD1CD于點(diǎn)D,則：

在Rt^ACD中，由/ADC=90°,ZACB=45°,AC=6得：AD=CD=372,

在RtAAB2D中，由/ADB2=90°,AD=3-\/2,AB?=5得：B2D=V7,

.,.B2C=3V2+V7；

綜上可知，邊BC的長(zhǎng)度為30-J7或3J5+J7.

t我測(cè)評(píng)試題

一、選擇題

1、如果一個(gè)三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在這個(gè)三角形內(nèi)，那么這個(gè)三角形是（）.

A、銳角三角形B、直角三角形

C、鈍角三角形D、以上情況都有可能

2、如圖5,已知A、B是直線(xiàn)m外兩點(diǎn)，在m上求作一點(diǎn)P,使得PA+PB最小，其

作法應(yīng)該是（）.

A、連接BA并延長(zhǎng)，與直線(xiàn)m的交點(diǎn)為P；耳

B、連接AB,作AB垂直平分線(xiàn)與m的交點(diǎn)為P；

C、過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)m的垂線(xiàn)，與m的交點(diǎn)即為P；圖5

D、過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)m的垂線(xiàn)，垂足為0,延長(zhǎng)A0到點(diǎn)A',使0A'=0A,在連

接A'B,則VB與直線(xiàn)m的交點(diǎn)為P；

3、在aABC中，AB=AC,AB的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D,且AABC和4BCD的周長(zhǎng)分別

為60cm和38cm,則aABC的腰長(zhǎng)利底邊長(zhǎng)分別是（）.

A^24cm和12cmB、16cm和22cmC、22cm和16cmD、20cm和16cm

4、如圖6,已知在AABC中，ZACB=70°,AB=AC,AB的

垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)D,則/BDC=（）.

A、80°B、70°C、60°D、55°

5、已知A、B、C是同一平面上的三個(gè)點(diǎn)，那么到這三個(gè)點(diǎn)

的距離都相等的點(diǎn)（）.

A、有且只有一個(gè)B、有兩個(gè)

C、三個(gè)或三個(gè)以上D、有一個(gè)或沒(méi)有

二、填空題

6、已知在AABC中，AB=AC,點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PB=PC,則直線(xiàn)PA與BC所在直線(xiàn)

的夾角的度數(shù)為（）.

7、如圖7,已知DE是aABC的AB邊的垂直平分線(xiàn)，D為

垂足，DE與BC邊交于點(diǎn)E,若AC=5,BC=8,那么△ACE

的周長(zhǎng)為（）.

8、在4ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線(xiàn)與AC所在直

線(xiàn)的夾角為50°,則這個(gè)等腰三角形的底角為（）.

9、已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,BC=2,其斜邊上的中線(xiàn)與一腰的垂直平

分線(xiàn)交于點(diǎn)0,則點(diǎn)0到頂點(diǎn)A、B的距離分別是（）和（）.

10、如圖8,在4ABC中，AC=BC,AC的垂

直平分線(xiàn)與AC交于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)D,若

ZACB=120°,則AD：BD=（）.

三、解答題

11、如圖9,一輛汽車(chē)在一條筆直的公路AB上從A向B行駛，M、N表示分別位于公路

AB兩側(cè)的兩個(gè)村莊，汽車(chē)從A向B行駛的過(guò)程中，(保留作圖痕跡，并寫(xiě)出作法)

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上作出一點(diǎn)C,使得點(diǎn)C到村莊M的距離最近；

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上作出一點(diǎn)D,使得點(diǎn)D到村莊M、N的距離相等；

M*

B

圖

9N

12、如圖10,在AABC中，AD平分/BAC,交BC于點(diǎn)

D,AD的垂直平分線(xiàn)交AD于E,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于P,

(1)求證:NPAC=NB；

(2)求證：PD2=PBPC.

參考答襲■:

一、選擇題

答案：1、A2、D3、C4、A5、D

提小：1、三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形內(nèi)時(shí);三角形為銳角三角形；三角

形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形某一邊上時(shí)，三角形為直角三角形；三角形三邊垂

直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形外時(shí)，三角形為鈍角三角形；.

2、先將點(diǎn)A對(duì)稱(chēng)到點(diǎn),則PA，+PB當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為NB與直線(xiàn)m的

交點(diǎn)時(shí)最，即選項(xiàng)D正確.

3、由D點(diǎn)在AB的垂直平分線(xiàn)上得AD=BD,因此aBCD的周長(zhǎng)為BC+CD+DB

=BC+CD+AD=BC+AC=38；又因?yàn)閍ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+CA=60.所以，AB=22,

從而B(niǎo)C=16.應(yīng)選擇C.

4、由NC=70°以及AB=AC得，NABC=NC=70°,NA=40°，又由DE

垂直平分AB得：AD=BD,ZABD=ZA=40°,AZBDC=ZA+ZABD=80°.

5、分A、B、C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上和不在同一條直線(xiàn)上，這兩種情況討論即

可得知應(yīng)選擇D.

二、填空題

答案：6、90°7、138、20°或70°9、1,110、1：2

提示：6、由AB=AC知點(diǎn)A在BC的垂直平分線(xiàn)上，由PB=PC知點(diǎn)P在BC的垂直平

分線(xiàn)上.因此，直線(xiàn)PA是BC的垂直平分線(xiàn)，即PALBC.

7、DE垂直平分AB,故AE=BE,所以4ACE的周長(zhǎng)為AC+CE+AE=AC+CE+

BE=AC+BC=5+8=13.

8、分頂角是銳角和鈍角兩種情況討論即可得解.

9、點(diǎn)0即為這個(gè)等