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文檔簡介
九年級數(shù)學(上冊)考點解析
第一章:證明(二)
§1.3線段的垂直平分線
一、考點解析
1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其應(yīng)用;
2、線段垂直平分線的判定定理及其應(yīng)用;
3、三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀之間的關(guān)系以及相關(guān)性質(zhì);
4、有關(guān)線段垂直平分線的作圖問題.
二、典型例題解析
例1、如圖1,已知AD是AABC的外角平分線,與BC的延長線交于點D,DE〃AC交BA
的延長線于點E,DF〃AB交AC的延長線于點F,求證:AD±EF.
證明:?..AD平分NCAE,.?.NCAD=NEAD,
'.,DE//AC,ZADE=ZCAD
ZADE=ZEAD,AE=DE,
AE在線段AD的垂直平分線上,
同理可證:AF=DF,
AF在線段AD的垂直平分線上,
二.直線EF垂直平分線段AD,即AD1EF.
例2、如圖2,已知在△ABC中,BC=2AB,NABC=2NC,
證:AABC是直角三角形.
證明:作BC的垂直平分線交AC于點D,交BC于點E,
接BD、DE,則BD=CD,BE=CE=AB,ZDEB=90°,
ZC=ZDBC,NABC=ZABD+ZDBC=2/C,
NABD=NEBD,
在4ABD和4EBD中,AB=EB,NABD=/EBD,BD=BD,.-.△ABD^AEBD,
ZBAC=ZDEB=90°,即△ABC是直角三角形.
例3、已知A、B是平面上的兩個定點,
在這個平面上有多少個點C,使船ABC
是等腰直角三角形?
斛:一共有6個點C使得4ABC是等
腰直角三角形.分以下兩種情況討論:
C)當AB為所求等腰直角三角形的廉
時,如圖3—1所示,點均
滿足條件;
(2)當AB為所求等腰五角三角形的斜邊時,如圖3—2所示,AC5,C6均滿足條件.
綜合(1)、(2)可知滿足條件的點C一共有6個.
例4、如圖4-1,已知線段〃?,〃和Na,求作△ABC,使得在△ABC中,ZACB=Za,
AC=〃z,AB=〃.(保留作圖痕跡,標明頂點名稱,寫出作法)
隹法:如圖4—2,△AB,C
群:如圖4一3,Z^ABC有圖中的△AB]C和4AB2c兩種可能的情況:
fl)當點B住于圖中的點及處時,過A作AD1CD于點D,則:
在Rt^ACD中,由NADC=90°,ZACB=45°,AC=6得:AD=CD=3后,
在RtaABQ中,由NADB1=90°,AD=372,AB1=5得:BQ=6,
.?.BQ3夜-石;
(2)當點B位于圖中的點B2處時,過A作AD1CD于點D,則:
在Rt^ACD中,由/ADC=90°,ZACB=45°,AC=6得:AD=CD=372,
在RtAAB2D中,由/ADB2=90°,AD=3-\/2,AB?=5得:B2D=V7,
.,.B2C=3V2+V7;
綜上可知,邊BC的長度為30-J7或3J5+J7.
t我測評試題
一、選擇題
1、如果一個三角形三邊垂直平分線的交點在這個三角形內(nèi),那么這個三角形是().
A、銳角三角形B、直角三角形
C、鈍角三角形D、以上情況都有可能
2、如圖5,已知A、B是直線m外兩點,在m上求作一點P,使得PA+PB最小,其
作法應(yīng)該是().
A、連接BA并延長,與直線m的交點為P;耳
B、連接AB,作AB垂直平分線與m的交點為P;
C、過點B作直線m的垂線,與m的交點即為P;圖5
D、過點A作直線m的垂線,垂足為0,延長A0到點A',使0A'=0A,在連
接A'B,則VB與直線m的交點為P;
3、在aABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AC于點D,且AABC和4BCD的周長分別
為60cm和38cm,則aABC的腰長利底邊長分別是().
A^24cm和12cmB、16cm和22cmC、22cm和16cmD、20cm和16cm
4、如圖6,已知在AABC中,ZACB=70°,AB=AC,AB的
垂直平分線交AB于點E,交AC于點D,則/BDC=().
A、80°B、70°C、60°D、55°
5、已知A、B、C是同一平面上的三個點,那么到這三個點
的距離都相等的點().
A、有且只有一個B、有兩個
C、三個或三個以上D、有一個或沒有
二、填空題
6、已知在AABC中,AB=AC,點P在△ABC內(nèi),且PB=PC,則直線PA與BC所在直線
的夾角的度數(shù)為().
7、如圖7,已知DE是aABC的AB邊的垂直平分線,D為
垂足,DE與BC邊交于點E,若AC=5,BC=8,那么△ACE
的周長為().
8、在4ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在直
線的夾角為50°,則這個等腰三角形的底角為().
9、已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,BC=2,其斜邊上的中線與一腰的垂直平
分線交于點0,則點0到頂點A、B的距離分別是()和().
10、如圖8,在4ABC中,AC=BC,AC的垂
直平分線與AC交于點E,與AB交于點D,若
ZACB=120°,則AD:BD=().
三、解答題
11、如圖9,一輛汽車在一條筆直的公路AB上從A向B行駛,M、N表示分別位于公路
AB兩側(cè)的兩個村莊,汽車從A向B行駛的過程中,(保留作圖痕跡,并寫出作法)
(1)請在圖中的公路AB上作出一點C,使得點C到村莊M的距離最近;
(2)請在圖中的公路AB上作出一點D,使得點D到村莊M、N的距離相等;
M*
B
圖
9N
12、如圖10,在AABC中,AD平分/BAC,交BC于點
D,AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于P,
(1)求證:NPAC=NB;
(2)求證:PD2=PBPC.
參考答襲■:
一、選擇題
答案:1、A2、D3、C4、A5、D
提?。?、三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內(nèi)時;三角形為銳角三角形;三角
形三邊垂直平分線的交點在三角形某一邊上時,三角形為直角三角形;三角形三邊垂
直平分線的交點在三角形外時,三角形為鈍角三角形;.
2、先將點A對稱到點,則PA,+PB當且僅當點P為NB與直線m的
交點時最,即選項D正確.
3、由D點在AB的垂直平分線上得AD=BD,因此aBCD的周長為BC+CD+DB
=BC+CD+AD=BC+AC=38;又因為aABC的周長為AB+BC+CA=60.所以,AB=22,
從而BC=16.應(yīng)選擇C.
4、由NC=70°以及AB=AC得,NABC=NC=70°,NA=40°,又由DE
垂直平分AB得:AD=BD,ZABD=ZA=40°,AZBDC=ZA+ZABD=80°.
5、分A、B、C三點在同一條直線上和不在同一條直線上,這兩種情況討論即
可得知應(yīng)選擇D.
二、填空題
答案:6、90°7、138、20°或70°9、1,110、1:2
提示:6、由AB=AC知點A在BC的垂直平分線上,由PB=PC知點P在BC的垂直平
分線上.因此,直線PA是BC的垂直平分線,即PALBC.
7、DE垂直平分AB,故AE=BE,所以4ACE的周長為AC+CE+AE=AC+CE+
BE=AC+BC=5+8=13.
8、分頂角是銳角和鈍角兩種情況討論即可得解.
9、點0即為這個等
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