某年天津工業(yè)大學(xué)“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題

2024年天津工業(yè)大學(xué)“創(chuàng)新杯〞數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題要求：1.在A、B、C題中選擇一題；2.按以下格式加封面，在答卷中不得出現(xiàn)班級(jí)、姓名等；3.如不愿意參加假期培訓(xùn)〔7.9—7.23〕和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的必須在封面聲明，不愿自費(fèi)參加競(jìng)賽的同學(xué)也請(qǐng)?jiān)诜饷媛暶鳎?.參賽選手務(wù)必于2024年6月13日11時(shí)之前將紙質(zhì)版論文上交，老校區(qū)同學(xué)交到主樓A座606，新校區(qū)同學(xué)交到第一公共教學(xué)樓B區(qū)314。

編號(hào)：〔同學(xué)不得填寫(xiě)〕-------------------------------------------------------------------編號(hào)：隊(duì)員姓名：隊(duì)員一：__________________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________隊(duì)員二：___________________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________隊(duì)員三：___________________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________(附：不愿意參加假期培訓(xùn)〔7.9—7.23〕和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽)A題：一種汽車(chē)比賽的最優(yōu)策略汽車(chē)運(yùn)動(dòng)是當(dāng)前世界上一項(xiàng)重要的體育工程。這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)比傳統(tǒng)的體育工程更具綜合性，尤其涉及科學(xué)技術(shù)的各個(gè)方面。數(shù)學(xué)物理科學(xué)在這個(gè)工程中自然十分重要。當(dāng)然，汽車(chē)運(yùn)動(dòng)的比賽工程也十分豐富。其中的速度賽和節(jié)油賽就是兩項(xiàng)根本比賽。有人設(shè)計(jì)了如下的兩個(gè)比賽工程：工程1：給汽車(chē)加一定量的燃油，在一定的路面及其風(fēng)速環(huán)境下汽車(chē)行駛路程最遠(yuǎn)。工程2：給汽車(chē)加一定量的燃油，在一定的路面及其風(fēng)速環(huán)境下，在確定的比賽路段內(nèi)，汽車(chē)行駛時(shí)間最短。上述兩個(gè)比賽工程的要點(diǎn)是比賽者應(yīng)設(shè)計(jì)自己的最優(yōu)比賽策略，既是給出定量燃油的消耗速率v(t),盡量使上述兩個(gè)工程到達(dá)最優(yōu)效果。既是得到盡量好的比賽成績(jī)。請(qǐng)?jiān)诤侠淼穆访孀枇推渌枇僭O(shè)下建立數(shù)學(xué)模型，并求出上述兩個(gè)問(wèn)題(工程)的最優(yōu)策略，既是定量燃油的最優(yōu)消耗律v(t)函數(shù)。當(dāng)汽車(chē)還有能量輸入(例如：太陽(yáng)能)時(shí)，如何修正數(shù)學(xué)模型。B題：中國(guó)人口開(kāi)展趨勢(shì)對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的影響人口是影響經(jīng)濟(jì)社會(huì)開(kāi)展的關(guān)鍵因素，關(guān)系到改革開(kāi)放和社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)的成功。中國(guó)經(jīng)濟(jì)開(kāi)展和社會(huì)管理面臨的重大問(wèn)題與人口數(shù)量、素質(zhì)、結(jié)構(gòu)、分布等密切相關(guān)?！叭丝趩?wèn)題是開(kāi)展的中心問(wèn)題〞已成為各國(guó)共識(shí)。各國(guó)均對(duì)提高人口素質(zhì)、緩解人口老齡化帶來(lái)的壓力等關(guān)鍵問(wèn)題給予了特別的關(guān)注。20世紀(jì)70年代，為了緩解人口過(guò)快增長(zhǎng)帶來(lái)的社會(huì)壓力，中國(guó)開(kāi)始實(shí)行方案生育政策。自那以來(lái)，我國(guó)的方案生育工作取得了舉世矚目的成就，在經(jīng)濟(jì)還不興旺的情況下，有效控制了人口的過(guò)快增長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)了人口再生產(chǎn)類(lèi)型從“高、低、高〞的模式向“低、低、低〞模式的轉(zhuǎn)變。與此同時(shí)，我國(guó)人口開(kāi)展出現(xiàn)了一些新情況、新變化。人口總和生育率已低于臨界生育率水平，我國(guó)局部大中城市老齡化已非常明顯。目前我國(guó)正處于人口發(fā)生轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵時(shí)刻，生育率、人口性別結(jié)構(gòu)、人口老齡化等問(wèn)題日益凸顯。中國(guó)人口開(kāi)展的這些變化將對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)開(kāi)展產(chǎn)生重要影響。例如，低生育率導(dǎo)致的勞動(dòng)力老化、勞動(dòng)力供給總量的下降，會(huì)對(duì)勞動(dòng)生產(chǎn)率的提高以及經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)產(chǎn)生負(fù)面影響。人口年齡結(jié)構(gòu)的改變將影響儲(chǔ)蓄和投資的比例，引起社會(huì)保障公共支出需求的增加等等。特別值得注意的是，與西方國(guó)家不同，中國(guó)未來(lái)的人口老齡化問(wèn)題具有“未富先老〞的特點(diǎn)。這就給社會(huì)保障帶來(lái)一系列問(wèn)題，其中養(yǎng)老保險(xiǎn)受到的沖擊最大。根本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的負(fù)擔(dān)系數(shù)從1984年的0.185提高到2024年的0.331，增長(zhǎng)了近80%。預(yù)計(jì)到本世紀(jì)30年代，我國(guó)人口老齡化將到達(dá)頂峰。如果對(duì)這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有恰當(dāng)?shù)膽?yīng)對(duì)策略，不僅社會(huì)保障制度無(wú)法平穩(wěn)運(yùn)行，而且將影響社會(huì)經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)開(kāi)展。盡管社會(huì)各界對(duì)未來(lái)中國(guó)人口開(kāi)展趨勢(shì)性的判斷能夠達(dá)成較為一致的看法，但具體測(cè)算結(jié)果仍具有較大差異。相應(yīng)地，對(duì)當(dāng)前是否應(yīng)當(dāng)調(diào)整中國(guó)現(xiàn)行的人口政策也存在較多分歧。一種意見(jiàn)認(rèn)為，中國(guó)人口增速雖然回落，但人口基數(shù)依然龐大，國(guó)內(nèi)資源稀缺的矛盾依然較為突出，因而當(dāng)前及今后一段時(shí)期內(nèi)還應(yīng)繼續(xù)堅(jiān)持現(xiàn)行的方案生育政策。另一種意見(jiàn)那么認(rèn)為，中國(guó)的方案生育政策已經(jīng)執(zhí)行了30多年，人口增長(zhǎng)率已經(jīng)呈現(xiàn)明顯的下降趨勢(shì)，而且也產(chǎn)生了一些問(wèn)題，如人口結(jié)構(gòu)失衡、低生育率、男女比例失調(diào)問(wèn)題，甚至于民族性格的改變等。認(rèn)為目前已到了重新審視方案生育政策的時(shí)候，目前中國(guó)人口的主要矛盾已經(jīng)是老齡化問(wèn)題。這兩種意見(jiàn)各有其理論和實(shí)踐根底，但又均沒(méi)有充分的科學(xué)依據(jù)。到底如何來(lái)評(píng)估現(xiàn)行人口政策的影響，人口政策是否有必要調(diào)整？人口政策調(diào)整與否，在不同的情景下，未來(lái)我國(guó)的人口開(kāi)展趨勢(shì)及其對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的影響如何？如何解決人口增長(zhǎng)與經(jīng)濟(jì)、資源、環(huán)境和社會(huì)等諸多約束之間的矛盾？不同的人口政策和開(kāi)展趨勢(shì)對(duì)我國(guó)就業(yè)問(wèn)題、教育問(wèn)題和住房問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響？這些問(wèn)題均需要進(jìn)行深入的研究，不僅僅是定性分析，還要結(jié)合定量測(cè)算，科學(xué)地評(píng)估當(dāng)前我國(guó)的人口政策，以及未來(lái)調(diào)整人口政策的可行性及如何調(diào)整，在此根底上得出可行的政策建議。目前我國(guó)一些部門(mén)和學(xué)者對(duì)人口問(wèn)題，包括人口戰(zhàn)略等開(kāi)展了許多研究，但也存在一些值得改善的地方。例如，研究對(duì)象的片面性問(wèn)題。如人口部門(mén)的研究主要關(guān)注人口自身的增長(zhǎng)問(wèn)題，對(duì)其他影響人口增長(zhǎng)的因素考慮較少。實(shí)際上人口增長(zhǎng)脫離不了復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，它有眾多的制約因素，如經(jīng)濟(jì)開(kāi)展水平、資源環(huán)境約束、社會(huì)保障狀況等。要深入考察人口問(wèn)題和人口政策，需要從復(fù)雜系統(tǒng)的角度出發(fā)。又如人口的數(shù)據(jù)問(wèn)題。由于與人口相關(guān)的數(shù)據(jù)很多是通過(guò)估算得到的，因此在準(zhǔn)確性方面就大打折扣。剛剛完成的全國(guó)第六次人口普查為下一步的研究奠定很好的數(shù)據(jù)根底。中共中央政治局2011年4月26日就世界人口開(kāi)展和全面做好新形勢(shì)下我國(guó)人口工作進(jìn)行第二十八次集體學(xué)習(xí)。中共中央總書(shū)記胡錦濤在主持學(xué)習(xí)時(shí)強(qiáng)調(diào)，要充分認(rèn)識(shí)我國(guó)人口問(wèn)題的長(zhǎng)期性、復(fù)雜性、艱巨性，不斷增強(qiáng)做好人口工作的自覺(jué)性和主動(dòng)性，加強(qiáng)戰(zhàn)略研究，加強(qiáng)政策統(tǒng)籌，加強(qiáng)工作協(xié)調(diào)，加強(qiáng)任務(wù)落實(shí)，不斷開(kāi)創(chuàng)人口工作新局面，為“十二五〞時(shí)期經(jīng)濟(jì)社會(huì)開(kāi)展創(chuàng)造更加有利的人口環(huán)境。問(wèn)題一：試建立數(shù)學(xué)模型分析我國(guó)人口開(kāi)展趨勢(shì)對(duì)經(jīng)濟(jì)社會(huì)開(kāi)展某一方面的影響，如考慮我國(guó)人口開(kāi)展趨勢(shì)對(duì)經(jīng)濟(jì)開(kāi)展的影響：對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度、消費(fèi)結(jié)構(gòu)、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、進(jìn)出口等的影響，以及人口因素對(duì)勞動(dòng)力市場(chǎng)的影響〔勞動(dòng)力短缺和工資本錢(qián)持續(xù)上升等〕；人口開(kāi)展趨勢(shì)對(duì)社會(huì)開(kāi)展的影響：人口結(jié)構(gòu)老齡化的社會(huì)影響、從業(yè)人口的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)系數(shù)等。〔具體相關(guān)數(shù)據(jù)請(qǐng)自行查找，并務(wù)必在參考文獻(xiàn)中注明出處〕問(wèn)題二：考慮人口開(kāi)展趨勢(shì)及其經(jīng)濟(jì)社會(huì)開(kāi)展某一方面影響根底上，并就該方面提出調(diào)整和完善人口政策的具體政策建議，并分析其可行性和正負(fù)作用。注：論文電子版請(qǐng)?zhí)峤坏剑篶h8683897@126.comC題：組合投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)某公司現(xiàn)有數(shù)額為20億的一筆資金可作為未來(lái)5年內(nèi)的投資資金，市場(chǎng)上有8個(gè)投資工程〔如股票、債券、房地產(chǎn)、…〕可供公司作投資選擇。其中工程1、工程2每年初投資，當(dāng)年年末回收本利〔本金和利潤(rùn)〕；工程3、工程4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；工程5、工程6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；工程7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；工程8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。一、公司財(cái)務(wù)分析人員給出一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，見(jiàn)表1。試根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定5年內(nèi)如何安排投資？使得第五年末所得利潤(rùn)最大？二、公司財(cái)務(wù)分析人員收集了8個(gè)工程近20年的投資額與到期利潤(rùn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)：在具體對(duì)這些工程投資時(shí)，實(shí)際還會(huì)出現(xiàn)工程之間相互影響等情況。8個(gè)工程獨(dú)立投資的往年數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。同時(shí)對(duì)工程3和工程4投資的往年數(shù)據(jù)；同時(shí)對(duì)工程5和工程6投資的往年數(shù)據(jù)；同時(shí)對(duì)工程5、工程6和工程8投資的往年數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。(注：同時(shí)投資工程是指某年年初投資時(shí)同時(shí)投資的工程)試根據(jù)往年數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)今后五年各工程獨(dú)立投資及工程之間相互影響下的投資的到期利潤(rùn)率、風(fēng)險(xiǎn)損失率。三、未來(lái)5年的投資方案中，還包含一些其他情況。對(duì)投資工程1，公司管理層爭(zhēng)取到一筆資金捐贈(zèng)，假設(shè)在工程1中投資超過(guò)20000萬(wàn)，那么同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各工程的投資。工程5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資。各投資工程的投資上限見(jiàn)表4。在此情況下，根據(jù)問(wèn)題二預(yù)測(cè)結(jié)果，確定5年內(nèi)如何安排20億的投資？使得第五年末所得利潤(rùn)最大？四、考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金投資假設(shè)干種工程時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的工程中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。如果考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，問(wèn)題三的投資問(wèn)題又應(yīng)該如何決策？五、為了降低投資風(fēng)險(xiǎn)，公司可拿一局部資金存銀行，為了獲得更高的收益，公司可在銀行貸款進(jìn)行投資，在此情況下，公司應(yīng)該如何對(duì)5年的投資進(jìn)行決策?

附：表1.

投資工程預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率及投資上限工程12345678預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率〔%〕50.270.45上限〔萬(wàn)元〕6000030000400003000030000200004000030000注：到期利潤(rùn)率是指對(duì)某工程的一次投資中，到期回收利潤(rùn)與本金的比值。

表2.各投資工程獨(dú)立投資時(shí)歷年的投資額及到期利潤(rùn)〔萬(wàn)元〕工程123456781986投資額30035741430757554352301569774993到期利潤(rùn)4791261338910-795555862259189871987投資額72326886507079297480546330414830到期利潤(rùn)1211164221015395044-1158638693981988投資額33455659666575135978455850554501到期利潤(rùn)50762925401233-3608-611236832103551989投資額53086272633367494034739264424092到期利潤(rùn)78760283616168081494616834-72661990投資額45975294514853846220606860955270到期利潤(rùn)71136527651099223008319-19618-26971991投資額43785095597372946916627677636335到期利潤(rùn)756621254915595130-90282223027331992投資額64867821444955865812657762765848到期利潤(rùn)8469351078100693581318-59901247091993投資額69743393426854145589447268633570到期利潤(rùn)1489593195517409207423738552145111994投資額41164618547464735073634568663044到期利潤(rùn)353749204115487044-2291-3969145701995投資額74035033685967075377478352026355到期利潤(rùn)1117911139211687488146470314192451996投資額42374996560355975231418168305018到期利潤(rùn)5719643077188172095721-2156850751997投資額30515707487738447434422253705960到期利潤(rùn)449868113811315196317399069148641998投資額75745052546036817936774563913861到期利潤(rùn)139695813721221584910740-27334-46261999投資額35105870569757013898721651354218到期利潤(rùn)364108914561757-62910770-24878-57862000投資額68797396551656237471550131744210到期利潤(rùn)994155828641461776971518981218332001投資額35114780625569256598604348627988到期利潤(rùn)63811753230222380207916-46712213572024投資額36607741431543797120613136615393到期利潤(rùn)5381527115514944616641164239-115382024投資額448647563871552958075576

3029到期利潤(rùn)4668621022204653956178

118192024投資額7280731264717760

到期利潤(rùn)1389131920603227

2024投資額30825083

到期利潤(rùn)403787

表3.一些投資工程同時(shí)投資時(shí)歷年的投資額及到期利潤(rùn)〔萬(wàn)元〕工程同時(shí)投資工程1、2同時(shí)投資工程5、6同時(shí)投資工程5、6、834565681986投資額4307575543523015435230154993到期利潤(rùn)102626861442263466782542-31451987投資額5070792974805463748054634830到期利潤(rùn)2188355830092935-386115120132701988投資額6665751359784558597845584501到期利潤(rùn)327232224431440047941884-33561989投資額6333674940347392403473924092到期利潤(rùn)20502778344447330021549108201990投資額5148538462206068622060685270到期利6448-852-4651-15931991投資額5973729469166276691662766335到期利潤(rùn)2733354210300921720610559572831992投資額4449558658126577581265775848到期利潤(rùn)3005244831810874750-179140001993投資額4268541455894472558944723570到期利潤(rùn)202426095168-29303170-235144601994投資額5474647350736345507363453044到期利潤(rùn)17822969-981241373041909070651995投資額6859670753774783537747836355到期利潤(rùn)3701263666955237952029105101996投資額5603559752314181523141815018到期利潤(rùn)35811809952844-26716334129701997投資額4877384474344222743442225960到期利潤(rùn)15101724-1248984-42993307101701998投資額5460368179367745793677453861到期利潤(rùn)399614507717280380626753100501999投資額5697570138987216389872164218到期利潤(rùn)320424887598-4722-96814900-22942000投資額5516562374715501747155014210到期利潤(rùn)145421997518932165802131100602001投資額6255692565986043659860437988到期利潤(rùn)325826468671-655111460-4521-80392024投資額4315437971206131712061315393到期利潤(rùn)266119842029203004379103544562024投資額3871552958075576580755763029到期利潤(rùn)180024437424863912680511221542024投資額64717760

到期利潤(rùn)30473682

2024投資額

到期利潤(rùn)

表4.

各投資工程的投資上限工程12345678上限〔萬(wàn)元〕6000060000350003000030000400003000030000

注：此題電子版請(qǐng)?zhí)峤坏剑篶h8683897@126.com我們的答案：(附：不愿意參加假期培訓(xùn)〔7.9—7.23〕和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽)二、到期利潤(rùn)率同時(shí)投資工程3、4獨(dú)立投資工程3、4343419860.2380.4670.3110.158