11.1.4棱錐與棱臺(tái)課件-【基礎(chǔ)夯實(shí)與拓展提升】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第四冊(cè)

新授課課時(shí)5棱錐與棱臺(tái)導(dǎo)入：如果兩個(gè)平行平面中的一個(gè)收縮成一個(gè)點(diǎn)，可以形成一個(gè)怎樣的幾何體？試舉出現(xiàn)實(shí)中你看過(guò)的這樣的幾何體例子.1.了解棱錐、棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征，2.知道棱錐、棱臺(tái)的表面積計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.目標(biāo)一：了解棱錐、棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征.任務(wù)1：了解棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征.問(wèn)題：從生活中的一些物體可以抽象出棱錐，如圖都是棱錐，觀察棱錐的結(jié)構(gòu)，總結(jié)出一個(gè)幾何體是棱錐的充要條件.1.棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的多面體稱為棱錐.其中，新知講解棱錐的底面棱錐的側(cè)面棱錐的頂點(diǎn)棱錐的側(cè)棱SABCDEO棱錐的高(1)這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；(2)有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；(3)相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；(4)各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).(5)過(guò)棱錐的頂點(diǎn)作棱錐底面的垂線，所得到的線段(或它的長(zhǎng)度)稱為棱錐的高．(6)棱錐所有側(cè)面的面積之和稱為棱錐的側(cè)面積．2.表示方法(1)用表示頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，如棱錐S-ABCD.(2)用表示頂點(diǎn)和底面的一條對(duì)角線端點(diǎn)的字母來(lái)表示，如棱錐S-AC.SABCD思考：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐嗎？試舉例說(shuō)明．不一定，如圖．問(wèn)題2：每個(gè)棱錐底面是什么圖形？由此如何對(duì)棱錐分類？新知講解1.棱錐的分類：按底面的形狀底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……，其中三棱錐又叫四面體.2.正棱椎：如圖，PO為棱錐P-ABCD的高，因此PO⊥面ABCD.從而可知：如果棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個(gè)棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)面都全等，而且都是等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高也都相等，稱為棱錐的斜高.練一練下列說(shuō)法正確的是(

).A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐C.各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐D.底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐解析：對(duì)于A，不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故A說(shuō)法錯(cuò)誤;對(duì)于B，不能保證底面為正多邊形，故B說(shuō)法錯(cuò)誤;對(duì)于C，不能保證這些全等的等腰三角形的腰都作為側(cè)棱，故C說(shuō)法錯(cuò)誤.只有D說(shuō)法正確.D任務(wù)2：了解棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征.生活中的一些物體可以抽象出棱臺(tái)，如圖都是棱臺(tái)，觀察棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)，總結(jié)出一個(gè)幾何體是棱臺(tái)的充要條件.新知講解1.棱臺(tái)的定義一般地，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，所得截面與底面間的多面體稱為棱臺(tái)，如圖所示，其中：(1)原棱錐的底面與截面分別稱為棱臺(tái)的下底面和上底面，其余各面稱為棱臺(tái)的側(cè)面；(2)相鄰兩側(cè)面的公共邊稱為棱臺(tái)的側(cè)棱．(3)過(guò)棱臺(tái)一個(gè)底面上的任意一個(gè)頂點(diǎn)，作另一個(gè)底面的垂線所得到的線段(或它的長(zhǎng)度)稱為棱臺(tái)的高．上底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧呦碌酌?.棱臺(tái)的表示:可用上底面與下底面的頂點(diǎn)表示.例如，如圖所示的棱臺(tái)ABCD-A′B′C′D′.3.棱臺(tái)的分類按底面的形狀分為三棱臺(tái)(底面是三角形)、四棱臺(tái)(底面是四邊形)、……ABCD正棱臺(tái)的定義：由正棱錐截得的棱臺(tái)，其中正棱臺(tái)上、下底面都是正多邊形，兩者中心的連線是棱臺(tái)的高；斜高正四棱臺(tái)高

正棱臺(tái)的側(cè)面都全等，且都是等腰梯形，這些等腰梯形的高也都相等，稱為棱臺(tái)的斜高．下列關(guān)于棱臺(tái)的說(shuō)法正確的是(

).(1)用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái);(2)棱臺(tái)的側(cè)面一定不是平行四邊形;(3)棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn);(4)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.A.(1)(2)(4)B.(1)(2)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)練一練C解析：(1)錯(cuò)誤,若平面不與棱錐底面平行,用這個(gè)平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái);(2)正確,棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形,而不是平行四邊形;(3)正確,棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的,故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn);(4)錯(cuò)誤,如圖所示的四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐.歸納總結(jié)棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的判斷方法:(1)舉反例法結(jié)合棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確.(2)直接法棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面.兩個(gè)互相平行的面，即為底面.看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)思考：棱臺(tái)與棱柱、棱錐都是多面體，從運(yùn)動(dòng)變化的角度，想想當(dāng)?shù)酌姘l(fā)生變化時(shí)，它們能否互相轉(zhuǎn)化？歸納總結(jié)在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系可以用下圖表示出來(lái)(以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例)．目標(biāo)二：知道棱錐、棱臺(tái)的表面積計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.任務(wù)：解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.問(wèn)題：正四棱錐、正四棱臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是什么？結(jié)合圖像，你發(fā)現(xiàn)如何計(jì)算正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積？h′1.正棱錐的側(cè)面積計(jì)算公式：

，其中c表示底面周長(zhǎng)，h′表示斜高.2.正棱臺(tái)的側(cè)面積計(jì)算公式：

，其中c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h′表示斜高.歸納總結(jié)S正棱椎側(cè)=

c′=cS正棱柱側(cè)=ch′S正棱錐側(cè)=c′=0正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積關(guān)系：S正棱椎側(cè)=

S正棱椎側(cè)=

例1

如圖是底面邊長(zhǎng)為1且側(cè)棱長(zhǎng)為

的正六棱錐(1)寫出直線PA與直線CD，直線PA與面ABCDEF之間的關(guān)系；(2)求棱錐的高和斜高；(3)求棱錐的側(cè)面積.解：(1)直線PA與直線CD異面，直線PA∩面ABCDEF=A.(2)作出棱錐的高PO，因?yàn)槭钦忮F，所以O(shè)是底面的中心，連接OC，可知OC=1.在Rt△POC中，可知：設(shè)BC的中點(diǎn)為M，由△PBC為等腰三角形可知，PM⊥MC

，因此PM為斜高，從而(3)因?yàn)椤鱌BC的面積為：故棱錐的側(cè)面積為：例2

如圖所示是一個(gè)正三棱臺(tái)，而且下底面邊長(zhǎng)為2，上底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為1，O與O′分別是下底面和上底面的中心.(1)求棱臺(tái)的斜高；(2)求棱臺(tái)的高.解：(1)因?yàn)槭钦馀_(tái)，所以側(cè)面都是全等的等腰梯形.如圖所示，在梯形ACC′A′中，分別過(guò)A′，C′作AC的垂線A′E與C′F，則由AC=2，AA′=A′C′=C′C=1可知

，從而

，即斜高為.(2)根據(jù)O與O′分別為下底面和上底面的中心，以及下底面邊長(zhǎng)和上底面的邊長(zhǎng)分別為2，1，可以算出：因此△VBO是一個(gè)直角三角形，畫出這個(gè)三角形，如圖所示，則B′O′是△VBO的中位線.因?yàn)槔馀_(tái)的棱長(zhǎng)為1，所以BB′=1，VB=2，因此：

因此棱臺(tái)的高為：

假設(shè)正三棱臺(tái)A′B′C′-ABC是由正棱錐V-ABC截去正棱錐V-A′B′C′得到的，則由已知可得VO是棱