11.1.4棱錐與棱臺課件-【基礎夯實與拓展提升】高一下學期數(shù)學人教B版（2019）必修第四冊

新授課課時5棱錐與棱臺導入：如果兩個平行平面中的一個收縮成一個點，可以形成一個怎樣的幾何體？試舉出現(xiàn)實中你看過的這樣的幾何體例子.1.了解棱錐、棱臺的定義和結構特征，2.知道棱錐、棱臺的表面積計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.目標一：了解棱錐、棱臺的定義和結構特征.任務1：了解棱錐的定義和結構特征.問題：從生活中的一些物體可以抽象出棱錐，如圖都是棱錐，觀察棱錐的結構，總結出一個幾何體是棱錐的充要條件.1.棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的多面體稱為棱錐.其中，新知講解棱錐的底面棱錐的側面棱錐的頂點棱錐的側棱SABCDEO棱錐的高(1)這個多邊形面叫做棱錐的底面；(2)有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；(3)相鄰兩側面的公共邊叫做棱錐的側棱；(4)各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.(5)過棱錐的頂點作棱錐底面的垂線，所得到的線段(或它的長度)稱為棱錐的高．(6)棱錐所有側面的面積之和稱為棱錐的側面積．2.表示方法(1)用表示頂點和底面各頂點的字母表示，如棱錐S-ABCD.(2)用表示頂點和底面的一條對角線端點的字母來表示，如棱錐S-AC.SABCD思考：有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐嗎？試舉例說明．不一定，如圖．問題2：每個棱錐底面是什么圖形？由此如何對棱錐分類？新知講解1.棱錐的分類：按底面的形狀底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……，其中三棱錐又叫四面體.2.正棱椎：如圖，PO為棱錐P-ABCD的高，因此PO⊥面ABCD.從而可知：如果棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個棱錐為正棱錐．正棱錐的側面都全等，而且都是等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高也都相等，稱為棱錐的斜高.練一練下列說法正確的是(

).A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.各側棱都相等的棱錐為正棱錐C.各側面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐D.底面是正多邊形，且各側面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐解析：對于A，不能保證頂點在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故A說法錯誤;對于B，不能保證底面為正多邊形，故B說法錯誤;對于C，不能保證這些全等的等腰三角形的腰都作為側棱，故C說法錯誤.只有D說法正確.D任務2：了解棱臺的定義和結構特征.生活中的一些物體可以抽象出棱臺，如圖都是棱臺，觀察棱臺的結構，總結出一個幾何體是棱臺的充要條件.新知講解1.棱臺的定義一般地，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，所得截面與底面間的多面體稱為棱臺，如圖所示，其中：(1)原棱錐的底面與截面分別稱為棱臺的下底面和上底面，其余各面稱為棱臺的側面；(2)相鄰兩側面的公共邊稱為棱臺的側棱．(3)過棱臺一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段(或它的長度)稱為棱臺的高．上底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧呦碌酌?.棱臺的表示:可用上底面與下底面的頂點表示.例如，如圖所示的棱臺ABCD-A′B′C′D′.3.棱臺的分類按底面的形狀分為三棱臺(底面是三角形)、四棱臺(底面是四邊形)、……ABCD正棱臺的定義：由正棱錐截得的棱臺，其中正棱臺上、下底面都是正多邊形，兩者中心的連線是棱臺的高；斜高正四棱臺高

正棱臺的側面都全等，且都是等腰梯形，這些等腰梯形的高也都相等，稱為棱臺的斜高．下列關于棱臺的說法正確的是(

).(1)用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺;(2)棱臺的側面一定不是平行四邊形;(3)棱臺的各側棱延長后必交于一點;(4)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.A.(1)(2)(4)B.(1)(2)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)練一練C解析：(1)錯誤,若平面不與棱錐底面平行,用這個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺;(2)正確,棱臺的側面一定是梯形,而不是平行四邊形;(3)正確,棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的,故棱臺的各側棱延長后必交于一點;(4)錯誤,如圖所示的四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐.歸納總結棱臺結構特征問題的判斷方法:(1)舉反例法結合棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱臺結構特征的某些說法不正確.(2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面.兩個互相平行的面，即為底面.看側棱相交于一點延長后相交于一點思考：棱臺與棱柱、棱錐都是多面體，從運動變化的角度，想想當?shù)酌姘l(fā)生變化時，它們能否互相轉化？歸納總結在運動變化的觀點下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例)．目標二：知道棱錐、棱臺的表面積計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.任務：解決簡單的實際問題.問題：正四棱錐、正四棱臺的側面展開圖分別是什么？結合圖像，你發(fā)現(xiàn)如何計算正棱錐、正棱臺的側面積？h′1.正棱錐的側面積計算公式：

，其中c表示底面周長，h′表示斜高.2.正棱臺的側面積計算公式：

，其中c′、c分別表示上、下底面周長，h′表示斜高.歸納總結S正棱椎側=

c′=cS正棱柱側=ch′S正棱錐側=c′=0正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積關系：S正棱椎側=

S正棱椎側=

例1

如圖是底面邊長為1且側棱長為

的正六棱錐(1)寫出直線PA與直線CD，直線PA與面ABCDEF之間的關系；(2)求棱錐的高和斜高；(3)求棱錐的側面積.解：(1)直線PA與直線CD異面，直線PA∩面ABCDEF=A.(2)作出棱錐的高PO，因為是正六棱錐，所以O是底面的中心，連接OC，可知OC=1.在Rt△POC中，可知：設BC的中點為M，由△PBC為等腰三角形可知，PM⊥MC

，因此PM為斜高，從而(3)因為△PBC的面積為：故棱錐的側面積為：例2

如圖所示是一個正三棱臺，而且下底面邊長為2，上底面邊長和側棱長都為1，O與O′分別是下底面和上底面的中心.(1)求棱臺的斜高；(2)求棱臺的高.解：(1)因為是正三棱臺，所以側面都是全等的等腰梯形.如圖所示，在梯形ACC′A′中，分別過A′，C′作AC的垂線A′E與C′F，則由AC=2，AA′=A′C′=C′C=1可知

，從而

，即斜高為.(2)根據O與O′分別為下底面和上底面的中心，以及下底面邊長和上底面的邊長分別為2，1，可以算出：因此△VBO是一個直角三角形，畫出這個三角形，如圖所示，則B′O′是△VBO的中位線.因為棱臺的棱長為1，所以BB′=1，VB=2，因此：

因此棱臺的高為：

假設正三棱臺A′B′C′-ABC是由正棱錐V-ABC截去正棱錐V-A′B′C′得到的，則由已知可得VO是棱