微考點(diǎn)7-1 分布列概率中的三大最值問題（三大題型）（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)追蹤與預(yù)測(cè)（新高考專用）VIP

第第頁(yè)微考點(diǎn)7-1分布列概率中的三大最值問題（三大題型）題型一：二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題求最值①當(dāng)給定時(shí)，可得到函數(shù)，這個(gè)是數(shù)列的最值問題..分析：當(dāng)時(shí)，，隨值的增加而增加；當(dāng)時(shí)，，隨值的增加而減少.如果為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值.如果為非整數(shù)，而取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值.注：在二項(xiàng)分布中，若數(shù)學(xué)期望為整數(shù)，則當(dāng)隨機(jī)變量等于期望時(shí)，概率最大.【精選例題】【例1】某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若，若最大，則k＝（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】因?yàn)?，若最大，則，化簡(jiǎn)得：，.代入已知數(shù)值得：，所以時(shí)最大.故選：C.【例2】（多選題）下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則B．口袋中有大小相同的7個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球和1個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，記其中紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則的數(shù)學(xué)期望C．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，所得的樣本空間為，令事件，事件，則事件與事件相互獨(dú)立D．某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是7次【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，，，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，X服從超幾何分布，N＝10，M＝7，n＝2，；C選項(xiàng)，，，AB＝{2}，，A，B相互獨(dú)立；D選項(xiàng)，設(shè)9次射擊擊中k次概率最大，則，解得7≤k≤8，P（X＝7）＝P（X＝8）同時(shí)最大，故k＝7或8，D錯(cuò)誤．故選：BC．【例3】高中生的數(shù)學(xué)閱讀水平與其數(shù)學(xué)閱讀認(rèn)知、閱讀習(xí)慣和方法等密切相關(guān)．為了解高中生的數(shù)學(xué)閱讀現(xiàn)狀，調(diào)查者在某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生發(fā)放調(diào)查問卷，在問卷中對(duì)于學(xué)生每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下：時(shí)間（小時(shí)/周）0人數(shù)20403010(1)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間偏少的原因，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求這2名學(xué)生中恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率；(2)用頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有名學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間在小時(shí)的概率，求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值．【答案】(1)；(2)4【分析】（1）抽取的10人中，周閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的有4人，小于等于0.5小時(shí)的有6人，故恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率為（2）周閱讀時(shí)間在小時(shí)的頻率為，故概率為，則，所以，由得：，化簡(jiǎn)得；解得，又，故，【題型專練】1．（多選題）某同學(xué)共投籃12次，每次投籃命中的概率為0.8，假設(shè)每次投籃相互獨(dú)立，記他投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量，下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．C．D．該同學(xué)投籃最有可能命中9次【答案】AB【詳解】由二項(xiàng)分布的定義可知，，，，故AB正確，C錯(cuò)誤；設(shè)該同學(xué)投籃最有可能命中次，則，即，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AB2．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則使取得最大值時(shí)，______．【答案】3或4【詳解】依題意，依題意，，，，所以、不是的最大項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，整理得，即，整理得，，所以當(dāng)為3或4時(shí)，取得最大值.故答案為：3或43．已知隨機(jī)變量，若最大，則______．【答案】24【詳解】由題意知：，要使最大，有，化簡(jiǎn)得，解得，故，又，故.故答案為：24.4．一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立．對(duì)每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種．則當(dāng)______時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為______．【答案】

5或6

【詳解】對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率，所以補(bǔ)播種坑的數(shù)量服從，則3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為．要使最大，只需，解得，當(dāng)或，.所以，當(dāng)或時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為．故答案為：5或6，.5．小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購(gòu)買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.(1)從小區(qū)超市某天購(gòu)買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.若抽取的5戶中購(gòu)買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；(2)將某戶某天購(gòu)買甲類生活物資的量與平均購(gòu)買量比較，當(dāng)超出平均購(gòu)買量不少于時(shí)，則該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）隨機(jī)變量所有可能的取值為0，1，2.則，，，012所以.（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知，每天對(duì)甲類生活物資的需求平均值為（），則購(gòu)買甲類生活物資為“迫切需求戶”的購(gòu)買量為，從小區(qū)隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取一戶為“迫切需求戶”的概率為.若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到X戶為“迫切需求戶”，則，若k戶的可能性最大，則，，，得，即，解得，由于，故.題型二：二項(xiàng)分布的轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題求最值當(dāng)給定時(shí)，可得到函數(shù)，這個(gè)是函數(shù)的最值問題，這可以用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與最值點(diǎn).分析：當(dāng)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，.又當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，從而無最小值.【精選例題】【例1】（2018年全國(guó)1卷）．某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解析：（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【例2】設(shè)離散型隨機(jī)變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標(biāo)可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設(shè)．(1)若，求；(2)若，求的最小值；(3)對(duì)任意與有相同可能取值的隨機(jī)變量，證明：，并指出取等號(hào)的充要條件【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析【詳解】（1）不妨設(shè)，則.所以.（2）當(dāng)時(shí)，，記，則，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，則單調(diào)遞增，而，所以在為負(fù)數(shù)，在為正數(shù)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為.（3）令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)時(shí)，，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的時(shí)等號(hào)成立.【跟蹤訓(xùn)練】1．某超市推出了一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)則如下：規(guī)則一：顧客在本店消費(fèi)滿100元，返還給顧客10元消費(fèi)券；規(guī)則二：顧客在本店消費(fèi)滿100元，有一次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，每次中獎(jiǎng)，就會(huì)有價(jià)值20元的獎(jiǎng)品．顧客每次抽獎(jiǎng)是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立．(1)某顧客在該超市消費(fèi)了300元，進(jìn)行了3次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率均為．記中獎(jiǎng)2次的概率為，求取得最大值時(shí)，的值．(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，且中獎(jiǎng)率均為，則該顧客選擇哪種規(guī)則更有利？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)選擇規(guī)則二更有利，理由見解析【詳解】（1）由題意知，3次抽獎(jiǎng)有2次中獎(jiǎng)的概率，則．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，則．（2）①該顧客選擇規(guī)則一，其獲利為30元；②該顧客選擇規(guī)則二，由第一問知，則其中獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布，所以，所以該顧客獲得獎(jiǎng)品金額的期望值為（元）．因?yàn)椋栽擃櫩瓦x擇規(guī)則二更有利．2.某單位為了激發(fā)黨員學(xué)習(xí)黨史的積極性，現(xiàn)利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP中特有的“四人賽”答題活動(dòng)進(jìn)行比賽，活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽可獲得積分，第一局獲勝得3分，第二局獲勝得2分，失敗均得1分，小張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動(dòng)，已知小張第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p（0＜p＜1），，且各局比賽互不影響.(1)若，記小張一天中參加“四人賽”活動(dòng)的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)小張?jiān)谶@5天的“四人賽”活動(dòng)中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為，試問當(dāng)p為何值時(shí)，取得最大值.【答案】(1)分布列見解析，；(2)【詳解】（1）由題可知，X的可能取值為2，3，4，5.因?yàn)?，所以，，?故X的分布列為X2345P.（2）設(shè)一天得分不低于4分為事件A，則，則，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.題型三：超幾何分布的概率最值將從件產(chǎn)品中取出件產(chǎn)品的可能組合全體作為樣本點(diǎn)，總數(shù)為.其中，次品出現(xiàn)次的可能為.令，則所求概率為即.令則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值.【精選例題】【例1】設(shè)隨機(jī)變量（且），最大時(shí)，（

）A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01【答案】C【詳解】隨機(jī)變量，則，因最大，則有，即，，整理得，解得，而，則，所以.故選：C【例2】（2023屆四省聯(lián)考）一個(gè)池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標(biāo)識(shí)，然后把魚放回池塘里，過一小段時(shí)間后再?gòu)某靥晾飺瞥?00尾魚，表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識(shí)的魚的數(shù)目．（1）若，求的數(shù)學(xué)期望；（2）已知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識(shí)，試給出N的估計(jì)值（以使得最大的N的值作為N的估計(jì)值）．解析：（1）依題意X服從超幾何分布，且，故．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則．由，當(dāng)且僅當(dāng)，則可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，最大，所以N的估計(jì)值為6666．【跟蹤訓(xùn)練】1.2023年中央一號(hào)文件指出,艮旋要復(fù)興,鄉(xiāng)村必振興.為助力鄉(xiāng)村振興,某電商平臺(tái)準(zhǔn)備為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專部.(公眾號(hào)浙江省高中數(shù)學(xué))直播前,此平臺(tái)用不同的單價(jià)試銷,并在購(gòu)買的顧客中進(jìn)行體驗(yàn)調(diào)本向卷.已知有名熱心參與問卷的顧客,此平臺(tái)決定在直播中專門為他們?cè)O(shè)置兩次抽獎(jiǎng)活跡次抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這名顧客中抽取20名顧客,抽中顧客會(huì)有禮品贈(zèng)送,若直拱時(shí)這名顧客都在線,記兩次抽中的顧客總?cè)藬?shù)為(不重復(fù)計(jì)數(shù)).（1）若甲是這名顧客中的一人,且甲被抽中的概率為，求;（2）求使取得最大值時(shí)的整數(shù).解析：（1）記“甲被抽中”,“第次被抽中”,則解得：（2）由于，記,即求在何時(shí)取到最大值，下面討論的單調(diào)性：解得，所以，當(dāng)或40時(shí),取到最大值.1．隨著春季學(xué)期開學(xué)，郴州市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學(xué)食堂每天都會(huì)提供A，B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記同學(xué)甲第天選擇套餐的概率為.(1)求同學(xué)甲第二天選擇套餐的概率；(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)第二天選擇去A餐廳就餐的人數(shù)，用表示這100名學(xué)生中恰有名學(xué)生選擇去A餐廳就餐的概率，求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)33【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；（3）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式列式求解.【詳解】（1）設(shè)“第1天選擇B套餐”，“第2天選擇B套餐”，則“第1天不選擇B套餐”.根據(jù)題意可知：.由全概率公式可得.（2）設(shè)“第天選擇B套餐”，則，根據(jù)題意.由全概率公式可得，整理得，且，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（3）第二天選擇A類套餐的概率由題意可得：同學(xué)甲第二天選擇A類套餐的概率為，則不選擇A類套餐的概率為，所以，則，當(dāng)取最大值時(shí)，則，即，解得，且，所以.2．某研究所研究某一型號(hào)疫苗的有效性，研究人員隨機(jī)選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)用隨機(jī)變量表示第組被感染的白鼠數(shù)，并將隨機(jī)變量的觀測(cè)值繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為，假設(shè)每只白鼠是否被感染是相互獨(dú)立的.記為事件“”.

(1)寫出（用表示，組合數(shù)不必計(jì)算）；(2)研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)之間的關(guān)系為.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，若參數(shù)時(shí)的值使得概率最大，稱是的最大似然估計(jì)，求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題知隨機(jī)變量，然后利用二項(xiàng)分布的概率公式求解；（2）設(shè)事件，再根據(jù)頻數(shù)分布圖和二項(xiàng)分布的概率公式可求出，令，化簡(jiǎn)后利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值，并求出此時(shí)的，代入中可求得.【詳解】（1）由題知隨機(jī)變量，所以.（2）設(shè)事件，由題圖可知，則，即.設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值，所以，即，解得或，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查二項(xiàng)分布的概率公式的應(yīng)用，考查獨(dú)立事件的概率，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，第（2）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式表示出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.3．N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護(hù)用品，它對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過濾效率達(dá)到95%以上．某防護(hù)用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的N95型口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過濾效率服從正態(tài)分布．(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢10只口罩，測(cè)量出一只口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過濾效率為93．6%時(shí)，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作情況．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的要求是否有道理，并說明判斷的依據(jù)．(2)該廠將對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過濾效率達(dá)到95．1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)質(zhì)品”．（?。┣笤撈髽I(yè)生產(chǎn)的一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；（ⅱ）該企業(yè)生產(chǎn)了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨(dú)立，記為這1000只口罩中“優(yōu)質(zhì)品”的件數(shù)，當(dāng)為多少時(shí)可能性最大（即概率最大）？【答案】(1)生產(chǎn)的口罩出現(xiàn)過濾效果在之外的值，發(fā)生的可能性很小，一旦發(fā)生，應(yīng)該停止生產(chǎn)(2)（?。唬áⅲ┊?dāng)時(shí)，取得最大值【解析】（1）已知過濾效率服從．而，所以，則，即生產(chǎn)的口罩出現(xiàn)過濾效果在之外的值，發(fā)生的可能性很小，一旦發(fā)生，應(yīng)該停止生產(chǎn)．（2）（?。┎环劣洝癗95口罩的過濾效果”為，則一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率為．（ⅱ）依題意，記，，則．問題等價(jià)于求當(dāng)取何值時(shí)取得最大值．（解法1）由化簡(jiǎn)得即，從而，解得．（解法2）由于對(duì)，，因此：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．由以上分析知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．代入數(shù)據(jù)得，而是正整數(shù)，所以且，故當(dāng)時(shí)，取得最大值．4．汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國(guó)近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對(duì)某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購(gòu)車車主的購(gòu)車情況作為樣本其中男性車主中購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車的有名，購(gòu)置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購(gòu)置傳統(tǒng)燃油汽車．①若，將樣本中購(gòu)置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用（1）中的線性回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購(gòu)買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；②設(shè)男性車主中購(gòu)置新能源汽車的概率為，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購(gòu)置新能源汽車的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，最大．附：為回歸方程，，．【答案】(1)，2028年；(2)①萬人；②【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合線性回歸的公式求解方程，再令求解即可；（2）①計(jì)算該地區(qū)購(gòu)置新能源汽車的車主中女性車主的頻數(shù)與總?cè)藬?shù)求解即可；②根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得，再求導(dǎo)分析的最大值即可.【詳解】（1）解：由題意得，，，．所以，．所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，所以最小的整數(shù)為12，，所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購(gòu)車者中女性有名，故其中購(gòu)置新能源汽車的女性車主的有名．所購(gòu)置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．所以該地區(qū)購(gòu)置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．預(yù)測(cè)該地區(qū)2023年購(gòu)置新能源汽車的銷量為33萬輛，因此預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年購(gòu)置新能源汽車的女性車主的人數(shù)為萬人②由題意知，，則當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞減所以當(dāng)取得最大值．此時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)取得最大值．5．學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)中有兩項(xiàng)競(jìng)賽答題活動(dòng)，一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”，另一項(xiàng)為“四人賽”．活動(dòng)規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng)，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)時(shí)，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）時(shí)，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)和“四人賽”活動(dòng)（每天兩局），各局比賽互不影響．(1)求李明這5天參加“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng)的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動(dòng)（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時(shí)，取得最大值．【答案】(1)分布列見解析，（分）；(2)【分析】（1）可取5，6，7，8，9，10，求出對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的概率，從而可求出分布列，再根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為，再根據(jù)導(dǎo)出求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案.【詳解】（1）解：可取5，6，7，8，9，10，，，，，，，分布列如下：5678910所以（分）；（2）解：設(shè)一天得分不低于3分為事件，則，則恰有3天每天得分不低于3分的概率，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.6．某市居民用天然氣實(shí)行階梯價(jià)格制度，具體見下表：階梯年用氣量（立方米）價(jià)格（元/立方米）第一階梯不超過228的部分3.25第二階梯超過228而不超過348的部分3.83第三階梯超過348的部分4.70從該市隨機(jī)抽取10戶（一套住宅為一戶）同一年的天然氣使用情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下：居民用氣編號(hào)12345678910年用氣量（立方米）95106112161210227256313325457（1）求一戶居民年用氣費(fèi)y（元）關(guān)于年用氣量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意抽取3戶，求抽到的年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）若以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市居民的年用氣情況，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，其中恰有k戶年用氣量不超過228立方米的概率為，求取最大值時(shí)的值．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）6．【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)結(jié)合題意，即可求得一戶居民年用氣費(fèi)y（元）關(guān)于年用氣量x（立方米）的函數(shù)關(guān)系式；（2）由題意知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶，得到隨機(jī)變量可取，利用超幾何分布求得相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而求得期望；（3）由，列出不等式組由，求得的值，即可求解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以年用氣費(fèi)y關(guān)于年用氣量x的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由題知10戶家庭中年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶有3戶，設(shè)取到年用氣量超過228立方米而不超過348立方米的用戶數(shù)為，則可取，則，，，，故隨機(jī)變量的分布列為：0123P所以.（3）由題意知，由，解得，，所以當(dāng)時(shí)，概率最大，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)模型的性質(zhì)及其應(yīng)用，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.7．某小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購(gòu)買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購(gòu)買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購(gòu)買量在（單位：）的概率是多少？②若抽取的5戶中購(gòu)買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將某戶某天購(gòu)買甲類生活物資的量與平均購(gòu)買量比較，當(dāng)超出平均購(gòu)買量不少于時(shí)，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.【答案】（1）①；②詳見解析；（2）.【解析】（1）事件“從小區(qū)超市購(gòu)買甲類物資的居民戶中任意選取1戶，購(gòu)買量在，”發(fā)生的概率為．①記事件“從小區(qū)超市購(gòu)買甲類物資的居民戶中任意