江蘇省丹陽2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知直線》+>=［與圓％2+9=2/72。6周有公共點，則［4T）的最大值為（）

283232

A.4B.—C.—D.—

997

nIT

2.“e=-g”是“函數(shù)/（x）=sin（3x+0）的圖象關(guān)于直線x=對稱”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.復(fù)數(shù)z滿足z—l=（z+l）i（i為虛數(shù)單位），則z的值是（）

A.1+iB.l-iC.iD.-i

4.已知〃>0,b>0,a+b=L若a=tz+—,/3=b+—,則a+〃的最小值是（）

ab

A.3B.4C.5D.6

22

5.已知K、工分別是雙曲線C：=-4=l（a>0力>（））的左、右焦點，過死作雙曲線c的一條漸近線的垂線，分

a"b~

別交兩條漸近線于點A、B,過點3作了軸的垂線，垂足恰為A,則雙曲線。的離心率為（）

A.2B.6C.273D.V5

6.半正多面體（semiregMarsRW）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

的對稱美.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形為面的半正

多面體.如圖所示，圖中網(wǎng)格是邊長為1的正方形，粗線部分是某二十四等邊體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

81620

A.B.4C.

333

7.設(shè)耳，工分別是雙線=-y2=ig>o）的左、右焦點，。為坐標(biāo)原點，以大居為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近

a

線分別交于A8兩點（A8位于）'軸右側(cè)），且四邊形。4外8為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.x±y=QB.71r±y=（）C.x±VJy=（）D.3x±y=0

8.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋

味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混

合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）

A.20B.24C.25D.26

9.過圓V+y2=4外一點”（4,-1）引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是（）.

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x-y+4=0

10.如圖，已知直線/：y=Z（x+l）僅>0）與拋物線C：V=4%相交于A,8兩點，且4、8兩點在拋物線準(zhǔn)線上的

投影分別是M,N,若I=2忸M,則攵的值是（）

272

D.2夜

亍

U.根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的x值為3時，輸出的y值等于（）

A.1B.ec.e-|D.e-2

12.數(shù)列｛癡｝是等差數(shù)列，at=l,公差dG[L2],且時&(IO+Q16=15,則實數(shù)9的最大值為()

753231

A.-B.—C.-------D.----

219192

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù),y=/(x)的圖象在點例(3,7(3))處的切線方程是y=；x+2,則/(3)+/'(3)的值等于.

14.下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧，兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù)，人數(shù)如下表所示：

不喜歡喜歡

男性青年觀眾4010

女性青年觀眾3080

現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取，?個人做進一步的調(diào)研，若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取

了8人，則"的值為.

22

15.已知6,入分別是橢圓c：=+==1(。＞8＞0)的左、右焦點，過左焦點￡的直線與橢圓C交于A、B兩

ab“

點，且|Af；|=3|明|,|/3卜忸用，則橢圓的離心率為.

16.已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)》＞()時，f(x)=x2-2x,則不等式/(x)＞x的解集用區(qū)間表示為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在三棱錐產(chǎn)一ABC中，平面Q4C_L平面ABC,AB=BC,PASCOE,F,。分別為線

段Q4,PB,AC的中點，點G是線段CO的中點.

B

(1)求證：PA_L平面后3。.

(2)判斷R5與平面所。的位置關(guān)系，并證明.

22

18.(12分)已知ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,a-ab-2b=0.

(1)若C=。，證明：＞/3sinB=sinC.

（2）若。=——，c=7,求AA6C的面積.

3

/、X2V2

19.（12分）已知點B（0,-2）和橢圓M：玄+'=1.直線/:丁=依+1與橢圓/交于不同的兩點p,Q.

（1）當(dāng)攵=2時，求△PBQ的面積；

2

（2）設(shè)直線PB與橢圓M的另一個交點為C,當(dāng)C為PB中點時，求Z的值.

20.（12分）如圖，在四棱錐P-A38中，底面ABC。，底面ABC。是直角梯形，M為側(cè)棱PO上一點,

（I）證明:平面PBCJ_平面PQ；

（H）求二面角A-BM-C的余弦值.

21.（12分）為增強學(xué)生的法治觀念，營造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”

活動，并組織全校學(xué)生進行法律知識競賽.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計他們的競賽成績，已知這50名

學(xué)生的競賽成績均在［50,100］內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)51515123

（1）將競賽成績在170,100］內(nèi)定義為“合格”，競賽成績在［50,70）內(nèi)定義為，，不合格”.請將下面的2x2列聯(lián)表補充完

整，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？

合格不合格合計

高一新生12

非高一新生6

合計

（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨

機抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競賽成績都合格的概率.

n(ad-bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)：K-=，其中〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K』°)().1(X)0.05()0.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=x+a?+lnx(。為常數(shù))

(I)當(dāng)a=—5時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(H)若/(x)為增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)/+9=2-產(chǎn)〃€?表示圓和直線x+>=r與圓x2+y2=2/T2?wH)有公共點，得到owg,再利用

二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

因為4+〉2=2￡-，(￡€用表示圓,

所以2-—>o,解得0<，<2,

因為直線x+>=f與圓￡+>2=27—/2?€/?)有公共點,

所以圓心到直線的距離dWr,

即4L4極-產(chǎn),

V2

4

解得0</<—,

4

此時0<%<一，

3

04

因為〃f)=M4T)=T2+4f=-(r—2)-+4,在0,-遞增,

故選：C

【點睛】

本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

2.A

【解析】

717

先求解函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線彳=-G對稱的等價條件，得到。=后7+6肛左eZ,分析即得解.

OO

【詳解】

7T

若函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=對稱，

8

mIOII1冗1r-f

貝(J3x1——I+^9=k九4--,GZ,

7

解得%》肛攵￡Z,

8

7T7T

故“°=-g”是“函數(shù)/(x)=sin(3%+(P)的圖象關(guān)于直線x=-g對稱”的充分不必要條件.

88

故選：A

【點睛】

本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可.

【詳解】

由z-l=(z+l)/.得：z=￥==i

1-z(l+zj(l-zj

本題正確選項：C

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用，考查計算能力.

4.C

【解析】

根據(jù)題意，將。、?代入a+尸，利用基本不等式求出最小值即可.

【詳解】

V?>0,Z?0,a+b=l,

C1,1,1、，1u

a+P=aH—=1H-----21H------------T-=5

二abab+J,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-時取“=”號.

2

答案：C

【點睛】

本題考查基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”

的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是

最后一定要驗證等號能否成立，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

bh-

設(shè)點3位于第二象限，可求得點5的坐標(biāo)，再由直線8g與直線>=-X垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為-1可得出一

aa-

的值，進而可求得雙曲線C的離心率.

【詳解】

縱坐標(biāo)為為=幺，即點

設(shè)點8位于第二象限，由于軸，則點8的橫坐標(biāo)為與=~C,

aakaJ

h,b2c

由題意可知，直線B居與直線丁=一8垂直，1

a—=a2

aBF「2c-2ab

因此，雙曲線的離心率為e=￡=F^=JiI^=g.

故選：B.

【點睛】

本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關(guān)鍵就是得出。、b.<二的等量關(guān)系，考查計算能力，屬于中等題.

6.D

【解析】

根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示，求出該幾何體的棱長，可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中

點截去8個三棱錐所得到的，可求出其體積.

【詳解】

如下圖所示，將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長為2的正方體中，由三視圖可知，該幾何體的棱長為血，它是由

棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，

該幾何體的體積為V=2x2x2-8x』xklxlxl=型，

323

故選：D.

本題考查三視圖，幾何體的體積，對于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點得到，屬于中檔題.

7.B

【解析】

由于四邊形。4KB為菱形，且|06卜所以A4。鳥為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.

【詳解】

如圖，因為四邊形。何鳥6為菱形，|。6|=|。川=|。即，所以△"＞鳥為等邊三角形，NAO用=60°,兩漸近線的斜

率分別為G和-

【點睛】

此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為+C；+C：,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).

【詳解】

混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為+C；++C；=20+5+1=26(種)，

故選：D.

【點睛】

本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.

9.A

【解析】

過圓x2+y2=r外一點(m,ri),

引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為“y-，=o,故選A.

10.C

【解析】

直線y=Mx+l)(Z>0)恒過定點P(-1,0),由此推導(dǎo)出=由此能求出點3的坐標(biāo)，從而能求出左的值.

【詳解】

設(shè)拋物線C：V=4x的準(zhǔn)線為/:x=—1,

直線y=攵(》+1)化>0)恒過定點P(—l,0),

如圖過A、5分別作AM_L/于M,BN工I于N,

由|AMk2忸N|,貝!||E4|=2|/回，

點5為AP的中點、連接。3,則可，

：.\OB\=\BF\,點3的橫坐標(biāo)為;，

.?.點8的坐標(biāo)為唱，及,把嗚，回代入直線尸Z(x+l)(Z>0),

解得k=述,

3

故選：c.

【點睛】

本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，屬

于中檔題.

11.C

【解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時結(jié)束對X的計算，可得y值.

【詳解】

由題x=3,x=x-2=3-L此時x>0繼續(xù)運行，x=l-2=-l<0,程序運行結(jié)束，得y=故選C.

【點睛】

本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出入=母'由2］，能求出實數(shù)?.取最大值.

【詳解】

,數(shù)列｛@n｝是等差數(shù)列,?1=1>公差dG[l,2],且a4+Xaio+ai6=15,

Al+3d+X(l+9d)+l+15d=15,解得入=於一陶,

l+9d

13-18d15

Vd￡[l,2],-----------2-H--是---減---函-數(shù),

l+9dl+9d

1Q_1Q1

時'實數(shù)入取最大值為入=工廠一5

故選D.

【點睛】

本題考查實數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.

【詳解】

由已知，f(3)=；，/(3)=；x3+2=3,故/(3)+/'(3)=號.

故答案為：—.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點的切線與過某點的切線的區(qū)別，本題屬于基礎(chǔ)題.

14.32

【解析】

由已知可得抽取的比例，計算出所有被調(diào)查的人數(shù)，再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.

【詳解】

81

由題可知，抽取的比例為F==，被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為40+10+3()+80=16()人，

405

則分層抽樣的樣本容量是gx160=32人.

故答案為：32

【點睛】

本題考查分層抽樣中求樣本容量，屬于基礎(chǔ)題.

15.亞

5

【解析】

設(shè)忸制=3則|A6|=331ABl=忸閭=必,由忸制+忸閭=|A周+|A閭=2a知，5左=2a,|A閭=23作

BC1AF2，垂足為C,則C為AF2的中點，在用AABC和AA6K中分別求出cosZBAF2，進而求出c,k的關(guān)系式，即可

求出橢圓的離心率.

【詳解】

如圖，設(shè)忸用=仙則|然|=3%,|AB|=怛周=奴，

由橢圓定義知，忸制+忸瑪|=|A4|+|A閭=2。，

因為忸耳|+|明|=5左，所以5Z=2a,|A用=2人，

作BCLAF?,垂足為C,則C為AF2的中點,

在RtMBC中，因為NBCA=90°，

所以3/%。=生=工=K=>

ABAB4k4

在A4片心中，由余弦定理可得,

|A用RA研一恒樓j

cosZFAF=

i221MH整|一4,

即"『+(20、4c2

解得c4

2x3kx2k

呵r-

所以橢圓的離心率為2

e5k~5

T

故答案為:典

5

【點睛】

本題考查橢圓的離心率和直線與橢圓的位置關(guān)系;利用橢圓的定義,結(jié)合焦點三角形和余弦定理是求解本題的關(guān)鍵;屬于

中檔題、?？碱}型.

16.(-3,0)U(3,4W)

【解析】

設(shè)％<0,貝II—xX),由題意可得/(-x)=—/(x)=(-x)2-2(—x)=/+2x,.?./(￡)=—/一2為故當(dāng)x<0時,

x>0x<0

f(x)=-x2-2x.由不等式/(x)>x,可得*

-'叫—x2-2x>x

求得x>3,或—3VxV0,故答案為(一3,0)。(3,+8).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析(2)FG//平面EBO.見解析

【解析】

(1)要證P4_L平面EBO,只需證明OE1PA,即可求得答案；

(2)連接AE交防于點Q,連接Q。，根據(jù)已知條件求證PG〃QO,即可判斷FG與平面E6。的位置關(guān)系，進

而求得答案.

【詳解】

(1)

VAB^BC,。為邊AC的中點，

BO1AC,

???平面Q4C_L平面ABC,平面PAC。平面ABC=AC,80u平面ABC,

50,平面P4C,

B01PA,

?.?在△/%(?內(nèi)，。，￡為所在邊的中點，

???OEHPC,

又.PALPC,OE1PA,

Q4_L平面仍0.

(2)判斷可知，F(xiàn)G”平面EB0,

證明如下：

連接AF交于點。，連接Q。.

;E、F、。分別為邊外、PB、AC的中點，

.*=2.

0G

又：。是的重心,

.箜=2=也

"QF0G'

FGHQO,

???FGcz平面EBO,QOu平面EBO,

FG//平面EBO.

【點睛】

本題主要考查了求證線面垂直和線面平行，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判定定理和線面平行判斷定理，考查了分析能力

和空間想象能力，屬于中檔題.

18.(1)見解析(2)氈

2

【解析】

(1)由余弦定理及已知等式得出c,b關(guān)系，再由正弦定理可得結(jié)論；

(2)由余弦定理和已知條件解得“力，然后由面積公式計算.

【詳解】

解：(1)由余弦定理得C?="-2a〃cosC=a2+/一人―2〃+3必，

由a2-ab-2b2=0得到c2=3b2，由正弦定理得sin2C=3sin2B.

因為8,。€(0,%)，所以百sin8=sinC.

(2)由題意及余弦定理可知/+〃+,出=49,①

由一〃一2b2=0得(。+匕)(。一3)=。即。=2人，②

聯(lián)立①@解得b=a=2幣.所以述.

【點睛】

本題考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面積公式，由已知條件本題主要是應(yīng)用余弦定理求出邊.解題時要注

意對條件的分析，確定選用的公式.

19.(1)S/B°=4；(2)后=一1^1或左=2^1

1414

【解析】

(1)聯(lián)立直線/的方程和橢圓方程，求得交點的橫坐標(biāo)，由此求得三角形PBQ的面積.

（2）法一：根據(jù)P,5的坐標(biāo)求得C的坐標(biāo)，將P,C的坐標(biāo)都代入橢圓方程，化簡后求得戶的坐標(biāo)，進而求得Z的值.

法二：設(shè)出直線心的方程，聯(lián)立直線心的方程和橢圓的方程,化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合當(dāng)=2%求得P點

的坐標(biāo)，進而求得攵的值.

【詳解】

⑴設(shè)2（百，％）,。（工2，%），

若％=g,則直線/的方程為y=；x+l,

I/V2

由＜4]2,得3/+4工一4=0,

V=—X+1

12

2

解得玉=-2,x2=-,

設(shè)直線/與）,軸交于點A（O,1）,貝ij|43|=3且

S.PB2=g|明x（,|+k2|）=gx3x[：+2）=4.

（2）法一：設(shè)點。（毛，%）

x-五

因為P（冷yj,B（0,-2）,所以/

"2

又點P（N，X）,。（毛,％）都在橢圓上，

-1

42

所以仔

142

-V14V14

玉二下一X'=~~T~

解得《2或2

11

卜=-5

所以人一血或小正.

1414

法二：設(shè)。(七,%)

顯然直線心有斜率，設(shè)直線總的方程為y=^x-2

22

工+匕=1

由,42得（2攵;+11-84x+4=0

y=k{x-2

A=16（2^2-l）＞0

所以《%1+工

2k；+1

4

X/326+1

1

V14V14

玉

22

解得或

3V14

&=一

14114

V14Vu

所以《2或“2

11

X

22

3V14t,3V14

所以左=或女=-------

1414

【點睛】

本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

2。.⑴證明見解析；(II).等.

【解析】

(I)先證明BCLPD,再證明平面P/犯，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；

(11)根據(jù)題意以八4,。。,小為工軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面43M和平面BMC的向量，利用公式

即可求解.

【詳解】

(I)證：由已知得+

又PD_L平面A5CO,-.-BCczYffiABCD,BCLPD,

而PDcBD=D故,BC，平面

:BCu平面P8C,，平面P8CJ-平面PBD

(II)由(I)知推理知梯形中A3//CD,AD±AB,ADIDC,

有NADB+ZBr>C=90°,又NBCD+NBDC=9。，故NADB=4BCD

b,、,5，,-ABBDAB2._,

所以AABZ）相似ABDC）故有--=----，即----=—=AB=1

BDDC24

：.AD=4BCr-AB1=722-12=百

所以，以萬4,覺，而為X軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-pz,

則0(0,0,0),A(6,0,()),B(A1.0),C(0,4,0),M(0,(),3)

^5=(0,1,0),BC=(->/3,3,()),麗=(一百1,3),設(shè)平面ABM的法向量為片=(%,%,4),則

n,■AB=0X=°

<_L____n〈

%-BM-0［一J?%-y+3ZI=0

令斗=3,則.??1=3,0,6)是平面408的一個法向量

設(shè)平面BMC的一個法向量為后=（馬,%，Z2），

n^BC=Q卜氏+3%=0

n,-BM=0_百々_必+3z?=0

令々=3,則%=G

4用

叼=3,73,是平面8MC的一個法向量

37

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胴E

又二面角A-BM-C為鈍二面角，其余弦值為一曲.