黑龍江省哈爾濱市第九中學校2023-2024學年高三上學期期中數(shù)學試題含答案解析

哈九中2024屆高三上學期期中考試數(shù)學試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）Ⅰ卷一、單選題：本題共有8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.若復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.20 B.24 C.27 D.294.“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.下列命題中，真命題的是（）A.函數(shù)的周期是 B.C.函數(shù)是奇函數(shù). D.的充要條件是6.設是與的等差中項，則的最小值為（）A. B.3 C.9 D.7.已知中，，，點為中點，點為邊上一動點，則的最小值為（）A27 B.0 C. D.8.在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.數(shù)列滿足：，，，下列說法正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.數(shù)列是遞減數(shù)列 D.的前項和10.下列說法中正確的是（）A.在中，，，，若，則為銳角三角形B.非零向量和滿足，，則C.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是D.在中，若，則與的面積之比為11.已知函數(shù)，則（）A.若，則B.若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.若上單調，則D.若時，且在上單調，則12.已知，若恒成立，則不正確的是（）A.的單調遞增區(qū)間為B.方程可能有三個實數(shù)根C.若函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點，則D.過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線Ⅱ卷三、填空題：本題共有4個小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式______．14.已知的面積，，則________；15.若，則________．16.，為一個有序實數(shù)組，表示把A中每個-1都變?yōu)椋?，每個0都變?yōu)椋?，每個1都變?yōu)?，1所得到的新的有序實數(shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項為1，則的前項和為________．四、解答題：本題共有6個小題，共70分．17.設向量（I）若（II）設函數(shù)18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，且點分別為和中點.（1）求證：直線平面；（2）求與平面所成角的正弦值.19.已知數(shù)列滿足，且．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的前項和．20.在中，內角，，所對的邊分別為，，，的面積為．已知①；②；③，從這三個條件中任選一個，回答下列問題．（1）求角；（2）若．求的取值范圍．21.已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求通項公式；（2）設，的前項和分別為，.若的公差為整數(shù)，且，求.22.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）當時，若不等式恒成立，求取值范圍；（3）設，證明：．哈九中2024屆高三上學期期中考試數(shù)學試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）Ⅰ卷一、單選題：本題共有8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合，根據(jù)集合的并集運算即得答案.【詳解】因為，，所以，故選：D.2.若復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出復數(shù)，得到的共軛復數(shù)，即可得到答案.【詳解】因為復數(shù)滿足，所以，所以的共軛復數(shù).其虛部為：2.故選：D3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.20 B.24 C.27 D.29【答案】D【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【詳解】解：，所以，又，所以，所以，故選：D4.“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式和特殊角的三角函數(shù)，結合充分必要條件的概念即可判斷.【詳解】，時，，，時，，所以“，”是“”的充分而不必要條件，故選:.5.下列命題中，真命題的是（）A.函數(shù)的周期是 B.C.函數(shù)是奇函數(shù). D.的充要條件是【答案】C【解析】【分析】選項A，由可判斷；選項B，代入，可判斷；選項C，結合定義域和，可判斷；選項D，由得且，可判斷【詳解】由于，所以函數(shù)的周期不是，故選項A是假命題；當時，故選項B是假命題；函數(shù)的定義域關于原點對稱，且滿足，故函數(shù)是奇函數(shù)，即選項C是真命題；由得且，所以“”的必要不充分條件是“”，故選項D是假命題故選：C6.設是與的等差中項，則的最小值為（）A. B.3 C.9 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差中項的定義，利用對數(shù)的運算得到，然后利用這一結論，將目標化為齊次式，利用基本不等式即可求最小值.【詳解】解：是與的等差中項，，即，即，則，當且僅當，即時取等號.故選C.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中項概念和對數(shù)運算，難度中等.當已知（都是正實數(shù)，且為常數(shù)），求，為常數(shù)的最小值時常用方法，展開后對變量部分利用基本不等式，從而求得最小值；已知（都是正實數(shù)，且為常數(shù)），求，為常數(shù)的最小值時也可以用同樣的方法.7.已知中，，，點為的中點，點為邊上一動點，則的最小值為（）A.27 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖形特點，建立直角坐標系，由題設數(shù)量關系得出A，B，C的坐標，再設出點M的坐標，將所求問題轉化為函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，由題意可知，，，，設，其中，則，，故，所以當時，有最小值.故選：D.8.在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計算n輪傳染后感染的總人數(shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)：，∵，∴當感染人數(shù)增加到1000人時，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程．二、多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.數(shù)列滿足：，，，下列說法正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.數(shù)列是遞減數(shù)列 D.的前項和【答案】AB【解析】【分析】推導出，，從而數(shù)列為首項為，公比為3的等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的性質能求出結果．【詳解】解：數(shù)列滿足：，，，，，，數(shù)列為首項為，公比為3的等比數(shù)列，故正確；，，故正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，故錯誤；數(shù)列的前項和為：，的前項和，故錯誤．故選：．10.下列說法中正確的是（）A.在中，，，，若，則為銳角三角形B.非零向量和滿足，，則C.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是D.在中，若，則與的面積之比為【答案】BD【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的定義得到角C為鈍角，從而否定A；利用向量的和、差的模的平方的關系求得，進而判定B；注意到與同向的情況，可以否定C；延長交于,∵共線，利用平面向量的線性運算和三點共線的條件得到,進而，然后得到，利用分比定理得到，從而判定D.【詳解】即,∴,∴為鈍角，故A錯誤；，，，，故B正確；，當時，與同向，夾角不是銳角，故C錯誤；∵，∴，延長交于,如圖所示.∵共線，∴存在實數(shù)，，∵共線，∴,∴,∴，∴，∴.∴，∴，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則（）A.若，則B.若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.若上單調，則D.若時，且在上單調，則【答案】BD【解析】【分析】將代入求出函數(shù)值，根據(jù)的范圍即可判斷選項A；根據(jù)偶函數(shù)的性質即可判斷選項B；根據(jù)在上單調，則即可判斷選項C；根據(jù)整體思想以及正弦函數(shù)的性質即可判斷選項D.【詳解】對于選項A，若，則，即，∵，∴，則A錯誤；對于選項B，若函數(shù)為偶函數(shù)，則或，即，則B正確；對于選項C：若在上單調，則，但不一定小于，則C錯誤；對于選項D：若，則，當時，，∵在上單調，∴，解得，則D正確．故選：BD．12.已知，若恒成立，則不正確的是（）A.的單調遞增區(qū)間為B.方程可能有三個實數(shù)根C.若函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點，則D.過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線【答案】ABC【解析】【分析】A選項，根據(jù)，得到，畫出函數(shù)圖象，可得單調區(qū)間；B選項，結合函數(shù)圖象得到方程的根的個數(shù)；C選項，分和兩種情況，得到或；D選項，設上一點，分M為切點和不是切點，結合函數(shù)圖象可得過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)的8條切線.【詳解】A選項，因為函數(shù)，時，由于恒成立，故要想恒正，則要滿足，時，恒成立，，當時，在恒成立，故在單調遞增，又當時，，故在上恒成立，滿足要求，當時，令，故存，使得，當時，，當時，，故在上單調遞減，又當時，，故時，，不合題意，舍去，綜上：，當時，，，且，畫出函數(shù)圖象如下，故的單調遞增區(qū)間為，A錯誤；B選項，可以看出方程最多有兩個實數(shù)解，不可能有三個實數(shù)根，B錯誤；C選項，當時，，則，則函數(shù)在處的切線方程為，將代入切線方程得，解得，當時，，則，則函數(shù)在處的切線方程為，將代入切線方程得，，其中滿足上式，不滿足，故C錯誤；D選項，當時，設上一點，，當切點為，則，故切線方程為，此時有一條切線，當切點不為時，設切點為，則，此時有，即，其中表示直線的斜率，畫出與的圖象，最多有6個交點，故可作6條切線，時，當切點不為時，設切點為，則，，，，，結合圖象可得，存在一個點，使得過點的切線過上時函數(shù)的一點，故可得一條切線，當M點在時的函數(shù)圖象上時，由圖象可知，不可能作8條切線，綜上，過圖象上任何一點，最多可作函數(shù)f(x)的8條切線，D正確.故選：ABC【點睛】應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點求斜率,即求該點處的導數(shù)；(2)已知斜率求切點,即解方程；(3)已知切線過某點(不是切點)求切點,設出切點,利用求解.Ⅱ卷三、填空題：本題共有4個小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式______．【答案】【解析】【分析】當時求得；當時，利用可知數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式可求得結果.【詳解】當時，，解得：；當時，，，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.故答案為：.14.已知的面積，，則________；【答案】【解析】【分析】由三角形的面積可解得，再通過數(shù)量積的定義即可求得答案【詳解】由題可知，因為，所以解得由數(shù)量積的定義可得【點睛】本題考查三角形的面積公式以及數(shù)量積的定義，屬于簡單題．15.若，則________．【答案】【解析】【分析】由，結合誘導公式和二倍角公式得出答案．【詳解】，．，．故答案為：16.，為一個有序實數(shù)組，表示把A中每個-1都變?yōu)椋?，每個0都變?yōu)椋?，每個1都變?yōu)?，1所得到的新的有序實數(shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項為1，則的前項和為________．【答案】【解析】【分析】設中有項為0，其中1和的項數(shù)相同都為，由已知條件可得①，②，進而可得③，再結合④可得，分別研究為奇數(shù)與為偶數(shù)時的通項公式，運用累加法及并項求和即可求得結果.【詳解】因為，依題意得，，，顯然，中有2項，其中1項為，1項為1，中有4項，其中1項為，1項為1，2項為0，中有8項，其中3項，3項為1，2項為0，由此可得中共有項，其中1和的項數(shù)相同，設中有項為0，所以，，從而①，因為表示把A中每個都變?yōu)椋?，每個0都變?yōu)椋?，每個1都變?yōu)?，1所得到的新的有序實數(shù)組，則②，①+②得，③，所以④，④-③得，，所以當為奇數(shù)且時，，經(jīng)檢驗時符合，所以（為奇數(shù)），當為偶數(shù)時，則為奇數(shù)，又因為，所以，所以，當為奇數(shù)時，，所以的前項和為.故答案為：.【點睛】本題的解題關鍵是根據(jù)題目中集合的變換規(guī)則找到遞推式，求出通項公式，再利用數(shù)列的特征采取分組求和解出.四、解答題：本題共有6個小題，共70分．17.設向量（I）若（II）設函數(shù)【答案】（I）（II）【解析】【詳解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，從而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，當x∈時，－≤2x－≤π，∴當2x－＝時，即x＝時，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，且點分別為和中點.（1）求證：直線平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，根據(jù)題意證得且，得到四邊形為平行四邊形，從而得到，結合線面平行的判定定理，即可得證；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得向量和平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，在中，因為分別為的中點，可得且，又因為為的中點，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：因為底面是菱形，且，連接，可得為等邊三角形，

又因為為的中點，所以，則，又由平面，以為坐標原點，以所在的直線分別為和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為底面是菱形，且，，可得，則，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知數(shù)列滿足，且．（1）求通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用累加法求出，進而得；（2）求得，利用錯位相減法可求出答案.【小問1詳解】因為，所以，所以．【小問2詳解】因為，所以當時，，得；當時，，所以（時也成立）．因為，所以，所以，故．20.在中，內角，，所對的邊分別為，，，的面積為．已知①；②；③，從這三個條件中任選一個，回答下列問題．（1）求角；（2）若．求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①時：利用面積和數(shù)量積公式代入化簡即可；選②時：利用正弦定理代入，結合余弦定理得到；選③時：正弦定理進行邊角轉換，結合角度的范圍即可確定角.（2）結合（1）的角度，和邊的大小，用余弦定理進行代換，結合基本不等式即可得到最終范圍.【小問1詳解】選①，由可得：，故有，又∵，∴；選②，∵，由正余弦定理得，∴，又，∴；選③，∵，由正弦定理可得，∴，∵，∴，∴，又，∴．【小問2詳解】由余弦定理得∵，∴．又有，當且僅當時取等號，可得．即的取值范圍是．21.已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.