湖南省重點高中2023屆高三下學期高考模擬數(shù)學試題

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一、單選題

1.設(shè)集合，若A的所有三元子集的三個元素之和組成的集合為，則集合（）

A．

B．

C．

D．

2.已知，若對任意，，則一定為（）

A．銳角三角形

B．鈍角三角形

C．等腰三角形

D．直角三角形

3.過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于A，B兩點，若實數(shù)使得的直線恰有3條，則（）

A．2

B．3

C．4

D．6

4.設(shè)，為正實數(shù)，，，則（）

A．

B．

C．1

D．

5.已知，，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

6.已知（，2，?，95），則數(shù)列中整數(shù)項的個數(shù)為（）

A．13

B．14

C．15

D．16

7.在直三棱柱中，，已知G與E分別為和的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點）.若，則線段DF長度的取值范圍為

A．

B．

C．

D．

8.甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)的期望為（）

A．

B．

C．

D．

二、多選題

9.已知采用分層抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)由兩部分組成，第一部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；第二部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)，則以下命題正確的是（）

A．設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則

B．設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則

C．設(shè)總樣本的方差為，則

D．若，則

10.如圖，為正方體.任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則（）

A．S為定值

B．S不為定值

C．l為定值

D．l不為定值

11.已知函數(shù)，實數(shù)，滿足，，則（）

A．

B．

C．

D．

12.已知曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．則下列結(jié)論正確的是（）

A．數(shù)列的通項公式為

B．若數(shù)列的前項和為，則

C．當時，

D．當時，

三、填空題

13.直線與拋物線交于、兩點，為拋物線上的一點，.則點的坐標為______.

14.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，，則________

15.一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球表面永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是（）．

16.如圖，在的長方形棋盤的每個小方格中各放一個棋子.如果兩個棋子所在的小方格共邊或共頂點，則稱這兩個棋子相連.現(xiàn)從這56個棋子中取出一些，使得棋盤上剩下的棋子沒有五個在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連.則最少取出______個棋子才可能滿足要求.

四、解答題

17.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數(shù)列.

(1)若，的面積為2，求的周長；

(2)求的取值范圍.

18.已知數(shù)列滿足：，.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，試比較與的大小.

19.類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．

（1）當、時，證明以上三面角余弦定理；

（2）如圖2，四棱柱中，平面平面，，，

①求的余弦值；

②在直線上是否存在點，使平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．

20.公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計學家德梅赫向另一位著名的數(shù)學家帕斯卡提請了一個問題，帕斯卡和費馬討論了這個問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學家都給出了正確的解答該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立.在甲贏了局，乙贏了局時，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.

（1）甲、乙賭博意外終止，若，則甲應分得多少賭注？

（2）記事件為“賭博繼續(xù)進行下去乙贏得全部賭注”，試求當時賭博繼續(xù)進行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當時，事件是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機事件為小概率事件.

21.作斜率為的直線與橢圓交于、兩點（如圖）