九年級數(shù)學(xué)(上冊)考點解析2

九年級數(shù)學(xué)（上冊）考點解析

第一章：證明（二）

§1.4角平分線

一、考點解析

1、角平分線的性質(zhì)定理及其應(yīng)用；

2、角平分線性質(zhì)定理的逆定理及其應(yīng)用；

3、角平分線與平行線的簡單組合圖形的相關(guān)考察；

4、角平分線的對稱性；

5、三角形三個內(nèi)角角平分線會交于一點，這個點的位置與三角形形狀之間的關(guān)系以及

這個點相關(guān)性質(zhì)；

6、有關(guān)角平分線的作圖問題.

二、典型例題解析

例1、如圖1,已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE、CF分別是NABC、NBCD的平分線,

與AD的交點分別為E、F,貝ij：_l-

AFED

(1)求證：AF=DE；f7

(2)求證：BE±CF.//

證明：CU...=邊形ABCD是平行四邊形，/\/

.'.ADIIBC,AB=CD,/.ZAEB=ZCBE,0-------------------*

D圖1G

；BE平分/ABC,.-.ZABE=ZCBE,

/_ABE=ZAEB,AE=AB,同理可得，DF=CD,AE=DF,AF=DE,

(2)由四邊形ABCD是平行四邊形得：ABIICD,/.ZABC+ZBCD=180°,

「BE平分/ABC,CF平分/BCD,/ABC=2/CBE,/BCD=2/BCF,

.-.2ZCBE+2ZBCF=180°,/.ZCBF+ZBCF=90°,/.BE1CF.

例2、如圖2,在AABC中，已知AB>AC,AD平分NBAC,CDLAD于點D,E為BC邊的

中點，求證：DE=-(AB-AC).

2

證明：在AB上取一點F,使FA=CA,連接FD,則由AD為NBAC的角平分線得:

/FAD=ZCAD,又AD二AD,

/.AFAD^ACAD,

/.ZFDA=ZCDA=90°,FD=CD,

?/ZFDA+ZCDA=180°,/.C,D、F三點共線,

*.*FD=CD,BE=CE,二DE為ZkCBF的中住線，

DE-BF-(AB-AF)^-(AB-AC).

222

例3、如圖3—1,在aABC中，已知AD垂直于/ABC的平分線BD,AE垂直于NACB的

平分線CE,請判斷線段DE與AABC的三邊AB、BC、CA之間有何關(guān)系？并給出證明.

證明：如圖3—2,在BC上取一點F,使FB=AB,

連接FD,則由BD平分NABC得：ZFBD=ZABD,

又BD=BD,.,.△FBD^AABD,

.-.ZFDB=ZADB=90°,FD=AD,

ZFDB+ZADB=180°,.'.A,D,F三點共線，

在BC上取一點G,使GC=AC,連接GE,則由CE平分/ACB得NGCE=/ACE,

又CE=CE,/.AGCE^AACE,

.-.ZGEC=ZAEC=90°,GE=AE,

.-.ZGEC+ZAEC=180°,/.A.E,F三點共線,

.?.在Z\AFG中，F(xiàn)D=AD,GE=AE,

.,.DEj^AAFG的中核線，

DE^-FG^-(BF+CG-BC^-(AB+AC-BC).

222

例4、如圖4,已知四邊形ABCD的對角線AC、BD分別平分/BCD、ZABC,。為AC與

BD的交點，若BC=AB+CD,求/BOC的度數(shù).

努：在BC上取一點E,使BE=BA,連接。E,則由AC平分NBCD得NAB。=NCB。,

又BA=BE,BO=BO,/.ABAO^ABEO,/.ZAOB=ZEOB,

?.?BC=AB+CD,BC=BE+CE,BA=BE,

，CE=CD,

又由BD平分/ABC得NOCE=NOCD,

又CE=CD,OC=OC,

.'.△BAO^ABEO,ZCOE=ZCOD,

???ZAOB=ZCOD,ZAOB+ZBOE+ZEOC=180°,

NBOE=/COE=60°，/.ZBOC=ZBOE+ZCOE=120°.

i我測評試題

一、選擇題

i、如果一個三角形三內(nèi)角平分線的交點在此三角形內(nèi)，那么這個三角形是（）.

A、銳角三角形B、直角三角形

C、鈍角三角形D、以上情況都有可能

2、下列結(jié)論中，錯誤的一個是（）.

A、在平面內(nèi)，到已知角兩邊距離相等的點都在同一條直線上

B、到角的兩邊距離相等的點與角的頂點的連線平分這個角

C、?條直線上有一個點到已知角兩邊的距離相等，這條直線平分這個角

I）、角內(nèi)有兩點各自到角的兩邊的距離相等，經(jīng)過這兩點的直線平分這個角

3、在AABC中，NACB=90°，AC=BC,AD是NBAC的平分線，DE_LAB于點E,若AB

=10cm,則4BDE的周長為（）.

A、8cmB、9cmC、10cmD、12cm

4、如圖5,已知在△ABC中,D為NABC與NACB的角平

分線的交點，且NBDC=130°,則/BAC=().

A、80°B、65°C、55°D、50°

5、如圖6,已知在aABC中，AD平分NBAC交

B

BC邊于D,且AB=CB,AC=AB+CD,則/BACD

=().

9、如圖9,已知在△ABC中，D為/ABC和NACB

的角平分線的交點，過點D作EF〃BC與邊AB、AC

分別交于點E、F,若AB=5cm,AC=3cm,貝ijAAEF

的周長為（）cm.

10、在一個三角形中，如果一個角的平分線恰好是這個角的對邊上的高，那么這個三

角形一定是（).

三、解答題

11、如圖10,已知0A、OB分別是從0城到A、B兩城的

兩條筆直的公路，C、D是這個區(qū)域內(nèi)的兩個小鎮(zhèn).請你

作出點P,使點P到兩條公路OA、0B的距離相等，到兩

個小鎮(zhèn)C、D的距離也相等.（保留作圖痕跡，寫出作法）

12、如圖11,在aABC中，已知AD垂直于/ABC

外角的平分線BD,AE垂直于NACB外角的平分線

CE,請判斷線段DE與aABC的三邊AB、BC、CA之

間有何關(guān)系？并給出證明.

參考答案：

一、選擇題

答案：1、D2、C3,C4、A5、C

提?。?、三角形的三個內(nèi)角平分線的交點一定在三角形內(nèi)，而與三角形本身的形狀

沒有關(guān)系，因此應(yīng)選擇D.

2、由角平分線的基本性質(zhì)及判定定理即可判斷答案為C.

3、由D點在NCAB的平分線上以及NC=90°、DE±AB得CD=ED,因此aBDE

的周長為BD+DE+EB=BD+CD+EB=BC+BE=AE+EB=AB=10,應(yīng)選擇C.

4、由BD平分NABC,CD平分NACB得：NABC+NACB=2(NDBC+NDCB)

=2X(180°-130°)=100°,.*.ZA=180o-100°=80°,故選A.

5、在AC上取一點E,使AE=AB,連接DE,則由AD平分NBAC得：NBAD=

ZEAD,AD=AD,.,.△BAD^AEAD,.*.AB=AE,ZAED=ZB=180°一(ZBAC+ZC)

=180°-2ZBAC,，NCED=2NBAC,而AC=AB+CD=AE+CE,ACD=CE,即NCDE

=NCED=2NBAC,又NC+NCED+NCDE=NBAC+2NBAC+2NBAC=180°,AZBAC

=36°,所以應(yīng)選擇C.

二、填空題

答案：6、123°7、44°或76。8、49,810、等腰三角形

提示：6、由NBAC=66°可知NABC+NACB=180°-66°=114°,點P到三角形

三邊BC、CA、AB的距離PD、PE、PF恰好相等，因此點P是三角形三內(nèi)角平分線的交

點..*.NPBC+NPCB=11404-2=57°,.\ZBPC=180°一(ZPBC+ZPCB)=180°

-57°=123°.

7、分三角形為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論：當頂角為銳角時,

底角為76°；當頂角為鈍角時，底角為44°.

8、具體畫圖驗證即可，但應(yīng)該注意這樣的點并不一定在三條直線所圍成的三

角形內(nèi)，還可以在三角形外.

9、由BD平分/ABC得NABD=/CBD,又EF〃BC,/.ZEDB=ZCBD=ZEBD,

.*.DE=BE；同理，DF=CF,，ZXAEF的周長為AE+ED+DF+FA=AE+EB+FC+AF