湖南省名校2023屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試考前演練一數(shù)學(xué)試題

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試考前演練一

數(shù)學(xué)

滿分150分時量120分鐘

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合A4"』叫,8={x[-l<x<2},則（）

A.{x|-l<x<4}B.{x|0<x<2}

C.{x|-l<x<0}D.[x\2<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】先計算A={x|0WxW4},再進行交集運算即可.

【詳解】A={X|X2-4X<0}={%|0<X<4},8={x|-l<x<2},

AnB={x|0<x<2},

故選：B.

2.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z]=1-21,22=2。+1（。€1^）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為/\Q,若OP_LO0

（。為坐標(biāo)原點），則實數(shù)。=（）

A.-2B.-1C.OD.1

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知得出產(chǎn)Q（2a,l）,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算得出答案.

【詳解】復(fù)數(shù)4=1-2i/2=2a+i,

則尸（1,一2）,e（2a,l）,

則OP=（1,—2）,OQ=（2a,l）,

OP±OQ,

..247-2=0,解得a=l,

故選：D.

3.洞庭濕地保護區(qū)于長江中游的湖南省，面積公頃，為了保護該濕地保護區(qū)內(nèi)的漁業(yè)資源和生物多樣

性，從2003年起全面實施禁漁期制度.該濕地保護區(qū)的漁業(yè)資源科學(xué)研究培殖了一批珍稀類銀魚魚苗，從

中隨機抽取1。0尾測量魚苗的體長（單位：毫米），所得的數(shù)據(jù)如下表：

分組（單位：毫米）[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數(shù)1010tn3515n

若依上述6組數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖中，［95,100）分組對應(yīng)小矩形的高為0.01,則該樣本中的90%

分位數(shù)的銀魚魚苗的體長為（保留一位小數(shù)）（）

A.87毫米B.88毫米C.90.5毫米D.93.3毫米

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)直方圖中［95,100）分組對應(yīng)小矩形的高為0.01,計算頻率，從而可得，然后由百分位數(shù)

概念直接計算可得.

【詳解】由題意可知，［95,100）內(nèi)的頻率為0.05,所以"=100x0.05,

加=100—1（）—10—35—15—5=25，魚苗體長在［70,90）內(nèi)的頻率為0.80,在［70,95）內(nèi)的頻率為

0.95,所以90%分位數(shù)在區(qū)間［90,95）內(nèi)，大小為90+5x§k93.3.

故選：D

4.函數(shù)丁=2/一那在［-2,2］的圖象大致為（）

【答案】D

02/27

【解析】

【詳解】試題分析：函數(shù)/'（x）=2/-e網(wǎng)在［-2,2］上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于）軸對稱,

因為/（2）=8-e2,0<8-e2<l,

所以排除A5選項;

當(dāng)xe［0,2］時，V=4x—e*有一零點，設(shè)為%,當(dāng)了€（0,%）時，/⑸為減函數(shù),

當(dāng)xe（x（）,2）時，f（x）為增函數(shù).

故選：D.

5.在三棱錐A-8CO中，AB1平面88,BCVCD,CD=2AB=23C=4,則三棱錐A-BCD

的外接球的表面積與三棱錐A—BCD的體積之比為（）

3兀3兀一日八

A.—B.—C.27rD.9兀

42

【答案】D

【解析】

【分析】證明.ABO,ACD為直角三角形后可得的中點。為外接球的球心，為半徑，分別計

算外接球的表面積與三棱錐A-BCD的體積即可.

取的中點0,連接OB,OC,

因為A3工面BCD,BDu面BCD,8u面BCD,

所以?W_L8D,AB_LCD,

所以03=04=0。，

所以BD=JBC、CD2=亞，AD=yjAB2+BD2=74+20=276-

因為C￡>_LBC,ABcBC=8,ABu面ABC,BCu面ABC,

所以CDJ?面ABC,

又因為ACu面ABC,

所以CDLCA,

所以O(shè)C=Q4=OD,所以。A=08=0C=0￡>=LA￡>=6,

2

所以。為三棱錐A—BCD的外接球的圓心,半徑R=#，

所以球的表面積為S=4TIR2=2471，

11Q

三棱錐A-BCD的體積為V=gSsc。?AB=-x—x2x4x2=一,

323

S24兀八

—=------=yjr

故V8

3

故選：D

71sin4。sina…a

6.已知a￡0,，則tan—=)

2/1+cos4acosa-22

B亞「V15

Vx.-----D

315f

【答案】A

【解析】

［分析】由已知利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡已知等式可得tana=岳，結(jié)合

a

利用二倍角公式可求出tan—.

2

sin4asina

【詳解】a0,—I,------------------------,

I2)1+cos4acosa-2

2sin2acos2a_sina

2cos22acosa-2

sin2asin。

得——=------

cos2acosa-2

得sin2acosa-cos2asina=2sin2a,

可得sina=4sinacosa，

cosa=^-,sina=—,tana=V15，

44

-2tana-

又tana=---------=V15,

li-tan~2—a

2

04/27

得JBtan24+2tan4-岳=0,

22

解得tan^=姮.

25

故選：A

7.希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比

為定值2(2*1)的點的軌跡是圓''.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿

氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-4』),B(T,4),若點P是滿足X=’的阿氏圓上的任意一點，

2

點Q為拋物線C:V=16%上的動點，Q在直線x=-4上的射影為R,貝11P81+21PQ|+21QH|的最小

值為()

/77

A.4逐B(yǎng).8X/5C.江D.2765

2

【答案】D

【解析】

【分析】先求出點尸的軌跡方程，再結(jié)合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得

\PB\+2\PQ\+2\QR\=2\PA\+2\PQ\+2\QF\,從而可得出答案.

【詳解】設(shè)尸(%,)，)，

|PA|_J(x+4)2+(y—l)2_1

IPBIJ(x+4『+(y_4)22

化簡整理得(x+4y+y2=4,

所以點P的軌跡為以(-4,())為圓心2為半徑的圓，

拋物線C:y2=16》的焦點尸(4,0),準(zhǔn)線方程為x=T,

^\PB\+2\PQ\+2\QR\^2\PA\+2\PQ\+2\QF\

=2(\PA\+\PQ\+\QF\)>2\AF\=2y[65,

當(dāng)且僅當(dāng)AP,Q,尸(P,Q兩點在AF兩點中間)四點共線時取等號，

所以||+21P。|+21的最小值為2屈.

x+4e,x<0

8.已知函數(shù)/(x)==ex(e是自然對數(shù)的底數(shù))，若存在西<0,々>0,使得

—y,x>。

X

/(%)=■/■(%),則王/(9)的取值范圍是()

(16-2(16-e)e3

A.[*2,0]B.C.nD.[0,4e2]

16’16

【答案】A

【解析】

.v>2

【分析】由/⑷=〃力得到%=第-4e’再研究函數(shù)，3的單調(diào)性‘得到-

表示出來，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.

d0e"

【詳解】:/(%)=/(々)，,?%+4e=—-,/.Xj=---4e,

x2x2

e*

Q玉40,——W4e,

X2

e*?ex-x1-ev-2xe'(x-2)

當(dāng)x>0時，/(x)=-T，/(%)=

x4x3

由/'(x)>0得x〉2,由八無)<0得()<x<2,所以/(x)在(2,+w)上遞增，在(0,2)上遞減,

e2e2

丁./(x)在x=2處取得最小值一v，.二二W——<4e,

44考

06/27

，內(nèi)/（工2）=

人e*

令t=F,則,.“"(/心/-4ef=?-2e)2-4e)

X2

當(dāng)，=2e時，西/（々）取得最小值一/2,當(dāng)f=4e時，取得最大值。，

所以xj（*2）的取值范圍是[Te[,。].

故選：A

【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和

放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.以下說法正確的是（）

A.命題p:Hx（）e[l,+8）,e~+l的否定是：VxG[l,+oo）,er<x+l

B.若VXG（0,+8）,OX<X2+1,則實數(shù)ae（-oo,2]

C.已知a,Z?eR,是aIaI〉切切的充要條件

D.“函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于（天）,O）中心對稱”是“sin.q=0”的必要不充分條件

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)命題的否定可判斷A,根據(jù)恒成立以及基本不等式可判斷B,根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷C,

根據(jù)正切函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.

v

【詳解】對于A,命題〃：丸w[l,+8）,e*>x0+l的否定是:Vxs[l,+oo）,e<x+l,故A正確,

對于B,VXG(0,+QO),OX＜X2+1,則＜7＜上土=》+^■對Vxe(0,M)恒成立，故”卜+3,由于

XXI”)min

X＞0,Xd--22,故。＜2,因此B錯誤,

X

對于C,a,。e4,若a>Z?NO,則。|4|="2>加加=/，若o?a。，此時

a\a\=-a2>b\b\=-b2,若a>0>b,則a|a|=/>川切=_/,因此對任意的。>6,都有

a\a\>b\b\,充分性成立，若a|a|>b|6|,如果。<0/<0,則由

a\a\>b\b^-a2>-b2^a2<b2^0>a>b,如果a>0/>0,則由

a\a\>b\b\=^>a2>b2a2>b2a>b>0,若。>0,匕<0,顯然滿足aIa|>切。I,止匕時

a>0>b,如果a<0<。，不滿足a|a|>口。I，綜合可知：a>h,所以必要性成立，故是

a|a|>勿的充要條件,故C正確，

對于D,y=tanx的對稱中心為1萬,0>&eZ,所以sin；■不一定為0,sinx0=0,則

玉)=E,Z:eZ,此時tanE=(),故(E,0),ZcZ是y=tanx的對稱中心，故函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于

(xo,O)中心對稱”是“sin/=0”的必要不充分條件，故D正確，

故選：ACD

10.已知0<c<l,log,.a<log,6<0,則下列結(jié)論正確的是()

A.ca<cb<\B.abc<bac

C.3"+3>>3"+3。D.?log/?c</?log?c

【答案】ACD

【解析】

【分析】由0<。<1［。8,.4<1。8<功<0可得。>。>1,進而可借助導(dǎo)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基

本性質(zhì)對選項逐一進行分析.

【詳解】0<c<l,log,.a<k>g,2<0可得a>b>\,

0<c<l時;y=c”為遞減函數(shù)，故c"<c"<l，故A正確；

取a=4/=2,c=；,則4X2；>2X，，故B錯誤；

令y=3*-3x,y'=3'ln3-3,尤>1時，y'=3"n3—3>0恒成立，

故y=3、-3x在(1,+8)上單調(diào)遞增，

a>b>l時,有3"—3。>3”—38，故3“+3》>3"+3。，故C正確；

08/27

0<c<La>b>\,則log〃c<log“c<0,

則一108〃0—108〃0。，又。＞匕＞1＞0

貝i]-alog,,c>-blog“c,故alogfcc<blog?c,故D正確;

故選：ACD.

11.如圖1,在一ABC中，NACB=90。，AC=26CB=2,的中位線，沿QE將

VAOE進行翻折，連接A8,AC得到四棱錐A-BCED（如圖2）,點F為A8的中點，在翻折過程中下

列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)點4與點。重合時，三角形AOE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為百

3

B.四棱錐A-BCED的體積的最大值為彳

2

若三角形ACE為正三角形，則點F到平面ACD的距離為亞

C.

2

A

若異面直線AC與3。所成角的余弦值為"2,則4、C兩點間的距離為⑺

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A項，分析點A與點C重合時三角形AOE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體類型，即可得到幾何體的表面

積；B項，通過/AEC表達(dá)出A-BCEO的體積，即可求出四棱錐A—BCE。的體積的最大值；C項，

通過三角形的等面積法即可求出點F到平面ACD的距離；D項，通過C項的三角形ACE為正三角形時，

由余弦定理得到異面直線AC與8。所成角的余弦值為立，即可求出異面直線AC與8。所成角的余弦值

4

為正時，A、C兩點間的距離.

4

【詳解】由題意,

在-ABC中，ZACB=90°,AC=2瓜CB=2,OE是的中位線，

/.tanA=—=^-,DE=-BC=l,AE=CE^-AC^yf3,AC=2^3

AC322

A=3Q°,AD=BD=~AB=--2BC=2,

22

對于A項，

當(dāng)點A與點C重合時，三角形AOE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為以2為半徑高為1的半個圓錐，

...三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為：

S=g（?！?兀產(chǎn)）+：AC-DE=gx]兀X6,JF+（可+71XJ+-^x2-^3x1=V3+^-^-+A/3^71

故A正確；

對于B項，

設(shè)ZA￡C=e,則。?0,可，

設(shè)點A到CE的距離為萬，

則h=AEsin6=石sin0>

二四棱錐A-3CED的體積為：

匕——叫區(qū)星瓜n"為e

71-33232"2

在丁=5皿。中，ye[-1,1],

3「33"

^A-BCDE=-sine,

3

.??四棱錐A—BCE。的體積的最大值為一，故B正確；

2

對于C,D項，

當(dāng)三角形ACE為正三角形時，ZAEC=60°,AC=AE=CE=也,

過點產(chǎn)作EGAAC,連接DG,

取BC的中點H,連接FH,EH,EG

10/27

B

A

在△ABO中，A0=BD,點F為AB的中點，

由幾何知識得，F(xiàn)G人DF,AC1BC

在，ACD中，AO=CO=2,

???AG=CG=』AC=3，G為AC的中點，AGVAC

22

在中，G為AC的中點，，點F為A3的中點，AC1BC

AFGAAC,ABy]AC2+BC2=,AF=BF=-AB=—

22

在△4X7中，DG=VAD2-AG2=J22=與

在四邊形。EGR中，由幾何知識得，DE1EG,DEBCFG,

於

...四邊形。EGR是矩形，DG=EF=-，

設(shè)點F到平面ACD的距離為%,

在一。FG中，DG%=DFFG,即巫./?=3、1，解得：九=獨1,故c錯誤,

212"13

由幾何知識得，EH//BD,FH//AC,

尸”=!AC=且，此時N/77E即為異面直線AC與BD所成的角，

22

由余弦定理，

EF2=FH2+EH2-2FH?EHcosZFHE，

代入數(shù)據(jù)，解得：cosNFHE=?，

.?.異面直線AC與80所成角的余弦值為且，則4、C兩點間的距離為G，

4

故D正確;

故選：ABD.

【點睛】本題考查兒何體的表面積，體積，空間點到平面的距離，異面直線所成的角，余弦定理等，具

有極強的綜合性。

22

12.己知橢圓：r：=+±=l(a>G)的左、右焦點分別為不入，右頂點為A,點例為橢圓「上一

a3

點,點/是△加耳工的內(nèi)心，延長交線段于M拋物線y2=[(a+c)x(其中c為橢圓下的半焦

8

距)與橢圓「交于B,C兩點，若四邊形是菱形，則下列結(jié)論正確的是()

A.|8。|=羋B.橢圓「的離心率是更

2

149D扇\IN\的值嗚i

c西+麻j的最小值為了

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用橢圓與拋物線的對稱性得到根=/(a-c),從而將3(/耳〃)代入拋物線方程得到

〃=乎，進而得以判斷；對于B,將3(〃?,〃)代入橢圓「的方程得到a=2c,由此得以判斷；對于C,

利用橢圓的定義與基本不等式“1”的妙用即可判斷；對于D,利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)與三角形角平分線的性

質(zhì)，結(jié)合比例的性質(zhì)即可判斷.

22

【詳解】對于A,因為橢圓r：「+L=l(a>6)的左、右焦點分別為耳、K，右頂點為A,則

a~3

A（a,0）,4（一。,0）,鳥（一c,0）,從=3,

12/27

因為拋物線y2="(a+c)x(其中c為橢圓下的半焦距)與橢圓「交于B,C兩點,

8

所以由橢圓與拋物線的對稱性可得，氏C兩點關(guān)于x軸對稱，不妨設(shè)C(m-n),/7>0,

因為四邊形是菱形，所以3c的中點是A6的中點，

所以由中點坐標(biāo)公式得2〃2=Q-C，則m=g(Q-C),

將代入拋物線方程V="m+c)x得，n2=—(df+c)m=—(?+c)(tz-c)=—(tz2-c2),

881616v7

所以/=—b~——,則幾=3后,所以13cl=2〃=當(dāng)叵，故A正確；

161642

對于B,由選項A得莖］,再代入橢圓方程得=

(24)4a216x3

化簡得("一0=L則巴==',故q=2c,所以e=￡=』，故B錯誤；

°24a2a2

對于C,由選項B得a=2c,所以62=a2—c2=3c2=3,則c=l,a=2,

所以|叫|+|Mg|=2a=4,不妨設(shè)|叫|=s,|"g|=/,則s+f=4,且s>0,/>0,

當(dāng)且僅當(dāng)工=史且S+1=4,即s=g,r=g,即|叫|=今四用=：時，等號成立,

StjJJJ

14Q

所以TT而1+%3I的最小值為一，故c正確；

附耳|\MF2\4

對于D,連接口和/鳥,如圖,

因為的內(nèi)心為/,所以用為的平分線，則有需=瑞，

四=幽\MF\\MI\

同理:2=

EM|w|'所士（

N|\F2N\|W|'

所以叩I歸“+泥N|2c''^\MI\2故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點是利用橢圓與拋物線的對稱性，可設(shè)用C的坐標(biāo)，再由菱形的性質(zhì)與

中點坐標(biāo)公式推得根=g（a-c）,從而求得，的值，由此得解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，多空題，第一空2分，第二空3分，共20分.

13.（2x+l）fx-->|的展開式中含/項的系數(shù)為_________.

IX）

【答案】-10

【解析】

【分析】先求（x—工］展開式中/項，然后乘以2x可得.

kxj

【詳解】（尤一^）展開式的通項為4M=C"5-1—=（_I）'C05Q,

令5-2廠=4或5-2r=3,得r=g（舍去），r=l，n=

所以（2X+1）［X-L）展開式中含/的項為2XX（—5/）=一IO/.

故答案為：-10

14.已知的非零數(shù)列｛%｝前n項和為S.，若％=2嗎=3,。,￡川=25?+2,則Sl0的值為.

14/27

【答案】65

【解析】

【分析】根據(jù)S“,凡的關(guān)系可得a,.一%=2,進而根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及分組求和即可求解.

【詳解】由的,用=2S“+2得：an+ian+2=2Sn+i+2,

aaa

故兩式相減得On+\n+2~nn+\=2s,用+2-（2S“+2）=2<1,I+|=>??+1（。”+2-4,）=〃+1，

由于｛凡｝為非零數(shù)列，故4+2一。"=2,所以｛。,,｝的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項也成等差數(shù)列，且等差

均為2,

=5x4ecu5x4c

所以$10=+%+《+”8+4o）+（4+tZj+tz5+tz7+）2x5+----x2+3x5+x2=65,

2-----------2

故答案為：65

15.已知雙曲線E:：?-3=l(a〉0,b>0)的右焦點/(3,0),點A是圓(x+3>+(y+4)2=8上一個動

ab"

點，且線段AF的中點3在雙曲線E的一條漸近線上，則雙曲線E的離心率的取值范圍是.

【答案】［0,+8)

【解析】

【分析】先表示出點B的坐標(biāo)，然后代入雙曲線的漸近線方程，可得2的范圍，然后可得結(jié)果.

a

【詳解】因為點A是圓(x+3)2+(y+4)2=8上一個動點，所以設(shè)碓亞cos?！?,2夜sin，—4),

則3"cos6,及sin”2),不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=勺，

因為點B在雙曲線的一條漸近線上，所以&sin?！?=^x0cose,即sin6-2cose=&；

aa

因為sin6-2cos6=J1+2rsin(。-0)=夜，其中tan°=2,

a\aa

因為sin(e-e)<l,所以J1+Q&,即離心率6=￡='1+y2及.

故答案為：［啦,+8)

16.若函數(shù)卜=/與丁=6"。11%+。)的圖像有兩個不同的公共點，則。的取值范圍為.

【答案】(l,+oo)

【解析】

【分析】令〃力=6'-6"(111%+4)E>0,根據(jù)題意了(%)在(0,+8)有兩個零點，求導(dǎo)借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)

性分析得，/(x)的極小值/(/)<0,其中/eM=e",進而轉(zhuǎn)化為能成立問題，借助基本不等式求解即

可.

【詳解】令f(x)=eA-ea(Inx+tz),x>0,

函數(shù)丁=?*與y=e"(lnx+〃)的圖像有兩個不同的公共點，

等價于/(x)在(0,+8)有兩個零點，

//(x)=et-—,x>0,

令r(x)=o,則xe*-e"=0，

令g(x)=xe*-e",x>0,g'(x)=e*+xe*,x>0,易得g'(x)>0恒成立，

故g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，易得Jimg(x)<0,Jimg(x)>0,

故存在與w(0,+oo),使得g(Xo)=O,即/'(40)=0，即x()e*=e",

當(dāng)兀€(0,%)時，g(x)<0,等價于/'(x)<0,則/(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，g(x)>0,等價于用x)>0,貝i"'(x)在(毛,+。。)上單調(diào)遞減，

故/(小)為極小值，因為/(力在(0,+8)有兩個零點，

則/(%o)<。,即e"—e"(InX。+“)<。,

b

因為尤oe*=e",則x0=e"7,lnx0=a-x0,

1c

則e”>-Xoe%(2a-Xo)<O,即一+x0<2a,解得1<。

故答案為：(l,+oo).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.

17.已知正項等比數(shù)列｛4｝的的前"項和為S“，且滿足：4=2,S4=3(q+a,)，

(1)求數(shù)列｛%｝的通項；

(2)已知數(shù)列出｝滿足b?=(2〃-1)凡,求數(shù)列也｝的前〃項和T?.

【答案】(1)a?=2"

16/27

（2）7；,=（2M-3）2,,+I+6

【解析】

【分析】（1）求等比數(shù)列的通項公式用公式法，基本量代換；

（2）由⑴可得2=（2〃一1卜2",利用錯位相減法即可求得數(shù)列也｝的前〃項和小

【小問1詳解】

設(shè)｛4｝的公比為4，“＞（）,

：S4=3（4+%）,q+/+q+g=3（4+%），

+%），即

a2+a4=2（（/（qq+%q=2（q+q）,

：.q=2,又％=2,.?.為=22'T=2".

【小問2詳解】

???2=（2〃—l）q,=（2〃f-2",

1r

：.Tn^l-?!+3-2+5-^+7-^++（2〃-1）?2",

/.27；=1-22+3?23+5?24+7?25++（2n-l）-2n+1,

相減得，一＜=2+23+24+25+.+2"|—（2〃-1）-2日，

23（1-2"叫

7H,,+IH+I

?--Tn=2+2-（2-1）-2=-6-（2-3）-2"＞

所以7；=（2〃—3）2用+6.

18.已知函數(shù)/（x）=26sinxcosx-2cos

（1）求函數(shù)y=log2/（x）的定義域和值域；

（2）已知銳角_A3C的三個內(nèi)角分別為A,B,C,若/［萬）=0,求丁的最大值.

/JTJTA

【答案】（1）\-+kTt,-+kTt\,k&7..（-oo,0］

（2）2

【解析】

【分析】（1）先化簡f（x）,然后利用真數(shù)大于0可得sin（2x-當(dāng)］＞?，即可求出定義域，繼而求出值域;

(2)先利用(1)可得A=g,結(jié)合銳角三角形可得四<8〈工，然后利用正弦定理進行邊變角即可求出答

362

案

【小問1詳解】

/(x)=2>/3sinxcosx-2cos2x=>/3sin2x-cos2x-l=2sin(2x-^)-1,

所以要使y=log2〃x)=log22sin(2x-^卜有意義，

只需2sin(2x-e)-l>0,即sin^2x--^-j>g,

JlTT)TTTVTT

所以一+2kn<2x—<--F2kn,keZ,解得一?\-kn<x<—+kn,keZ

66662

，兀71、

所以函數(shù)y=log2/(x)的定義域為17+也,萬+也卜462,

由于0<2sin(2x+E)-141,所以log2/(x)<log?1=0,

所以函數(shù)y=log27（x）值域為（Y）,。］;

【小問2詳解】

由于，［3)=2sin(A-F)T=。，所以sin(A_.)=；,

因為0<A<￥,所以---<A---<—,所以A---=—即A=巴,

2663663

由銳角..ABC可得:2，所以7:1〈Bv771,

八"2兀n兀62

0<C=----B<—

32

,.工4『b+csinB+sinC2「.八.（n八、

由正弦定理可得-----------------——尸sinB+sin—I-B

asinA。3|_\3）_

=^r\sinB+^'CosB=V3sinB+cosB=2sin（3+^）,

「、，兀c71”…兀c712K,r-力+C/C

因為一<8<一,所以一<8+—v—，所以J3v----<2,

62363a

所以如上的最大值為2.

a

19.2022年12月15至16日，中央經(jīng)濟工作會議在北京舉行.關(guān)于房地產(chǎn)主要有三點新提法，其中“住房改

18/27

善”位列擴大消費三大抓手的第一位.某房地產(chǎn)開發(fā)公司旗下位于生態(tài)公園的樓盤貫徹中央經(jīng)濟工作會議精

神，推出了為期10天的促進住房改善的惠民優(yōu)惠售房活動，該樓盤售樓部統(tǒng)計了惠民優(yōu)惠售房活動期間

到訪客戶的情況，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：（注：活動開始的第i天記為七，第，天到訪的人次記為必，

i=l,2,3,?）

（單位：天）1234567

（單位：人次）12224268132202392

（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，通過建模分析得到適合函數(shù)模型為y=（c,d均為大于零的常數(shù)）.請根據(jù)統(tǒng)

計數(shù)據(jù)及下表中的數(shù)據(jù)，求活動到訪人次y關(guān)于活動開展的天次x的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天售

樓部來訪的人次;

177

參考數(shù)據(jù)：其中匕=館v,"=彳X匕=L84,2XM=58.55,10°84?6.9；

7i=i/=i

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,巧）,（〃2，口），，（〃"，匕），其回歸直線￡=0+6〃的斜率和截距的最小二乘

n

2（%一1）（4一/）_〃而

估計公式分別為：p=J------------=V---------,6=v-pu.

E（?,-W）2??；_.2

1=11=1

（2）該樓盤營銷策劃部從有意向購房的客戶中，隨機通過電話進行回訪，統(tǒng)計有效回訪發(fā)現(xiàn)，客戶購房

意向的決定因素主要有三類：A類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生態(tài)環(huán)境，B類是樓盤的品質(zhì)與房子的設(shè)計布

局，C類是樓盤的品質(zhì)與周邊的生活與教育配套設(shè)施.統(tǒng)計結(jié)果如下表：

類別A類B類C類

頻率0.40.20.4

從被回訪的客戶中再隨機抽取3人聘為樓盤的代言人，視頻率為概率，記隨機變量X為被抽取的3人中A

類和C類的人數(shù)之和，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）y=6.9xlOO25\690

（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為裝

【解析】

【分析】（1）將^=八"'轉(zhuǎn)換為lgy=lgd?xIge,由最小二乘法求回歸直線方程，再換回y=c-d'形

式;

（2）,結(jié)合二項分布的概率公式及期望公式即可求.

【小問1詳解】

由y=c-d'得Igy=lgd?xIge,

[77

由匕=lg%"=5工匕=L84,2玉匕=58-55,x=4,

7；=1/=]

7

^x,2=l2+22+32+42+52+62+72=140,

/=1

蒼匕-7xv

a58.55-7倉也1.84

二Igdi=l________

2

J9-2140-7?4

ax；-7%

/=i

lgc=v-lgJ?x1.84-0.25?4=0.84,Igy0.25x+0.84.

則所求回歸方程為：y=10°-84+0-25x=6.9xlOo25x.

當(dāng)x=8時，y=6.9x10°25x8=690,故預(yù)測活動推出第8天售樓部來訪的人次為690；

【小問2詳解】

由題意得，A類和C類被抽取得概率為0.4+04=0.8,X可取0,1,2,3,且乂~83,1

3

...P（X=0）=C；，P（X=1）=C；

P（X=2）=需

15蔡尸”I需

7

.?.X的分布列為

X0123

1124864

P

125125125125

412

X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=3X1=M.

20.如圖，在四棱錐P—A8CD中，底面ABC。是直角梯形，ABJ.BC,AD//BC,

AD^DC-IBC,NADC=60°,側(cè)面是等腰三角形，PA=PD.

20/27

p

（2）若側(cè)面BAD，底面ABC。，側(cè)棱PB與底面ABCD所成角的正切值為》，M為側(cè)棱PC上的動

2

點，且PM=義/＞。（/16[0』]）.是否存在實數(shù);1,使得平面R4。與平面M4O的夾角的余弦值為g?若

存在，求出實數(shù)4若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

2

（2）存在，2=-.

3

【解析】

【分析】（1）通過證明線面垂直，即可證明BC_LPC：

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，得到各點的坐標(biāo)，設(shè)出點M坐標(biāo)，求出平面B4Q與平面的法向量，通

過兩平面夾角的余弦值即可求得實數(shù)A的值.

【小問1詳解】

由題意，

在四棱錐P—ABCD中，取的中點為E，連接PE,CE,

在等腰.24。中，PA=PD，：.PE_LAD,

在直角梯形A8CD中，

ABJ.BC,AD//BC,AD=DC=2BC,ZADC=60。，

:.BC上PE,BC=AE=DE,AB〃CE,四邊形A3CE是矩形,

BC±CE,CE_LAD,AB-CE>BC-AE=DE=—CD,

2

，NDCE=30°,ZCDE=60°,AB=CE=43DE=-J3AB,

???BCz面PCE,PEu面PCE,CEu面PCE,PECE=E,

：.BC上面PCE,

'：PCu面PCE,

BC1PC.

小問2詳解】

由題意及（1）得，PE人AD，CEA.AD,AB=CE,BC=AE,

在四棱錐P-A3CD中，側(cè)面P4D_L底面ABC。，面P4Dc底面A8CD=4）,

PEICE,

?.?側(cè)棱P8與底面ABC。所成角的正切值為立，A5=CE=垂,DE=乖1AB

2

設(shè)PE=6a，

二由幾何知識得，BE=2a,四邊形8CDE是平行四邊形，

BE//CD,ZAEB=NCDE=60°,

在直角_ABE中，AE=BEcosZAEB=a,AB=BEsinZAEB-s[3a>

AB=CE=也a,BC=AE=DE=a

建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

.?.￡（（）,0,0）,A（0,-4Z,0）,B16a,-a,0）,C（島,0,0b0（O,a,O）,尸（0,0,岳）,

：M為側(cè)棱PC上的動點，且PM=e[0,1]）,

設(shè)M(X”,0,z”)

由幾何知識得，為■二PE-3%=型=幾,解得：M(5la,0,G(l—X”),

PEP

u

在面PAD中，其一個法向量為4=(1,0,0),

22/27

在面MW中，AD=（O