內(nèi)蒙古鄂爾多斯三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

內(nèi)蒙古鄂爾多斯三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答

題

一.分式的化簡求值（共3小題）

x-3（x-2）>

1.（2022?鄂爾多斯）（1）解不等式組|2x-l、3x+2z并寫出該不等式組的最小整

3>6V②

數(shù)解.

22

（2）先化簡，再求值：（…a二9一+i）一,其中”=4sin30°-（n-3）°,

a2-6a+92a-6

4x-3（x-2）>40

2.（2021?鄂爾多斯）（1）解不等式組Jx-l、x+l-，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

*〉掾-1②

DN

-5-4-3-2-1~6~1~2~3~4~5^

22

（2）先化簡：3二絲七Q（您-殳工），再從-2,0,1,2中選取一個合適的x的值

2x-x2x

代入求值.

'3（x-D<5x+2①

3.（2020?鄂爾多斯）（1）解不等式組］x-2,3-，并求出該不等式組的最小整

1啜H修

數(shù)解.

2

（2）先化簡，再求值：（一生一工.-，）+——，其中a滿足/+2a-15=0.

22

a-2a+l?a-a

二.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共1小題）

4.（2021?鄂爾多斯）如圖，矩形ABCQ的兩邊A8,BC的長分別為3,8,C,。在y軸上,

E是A。的中點，反比例函數(shù)y=K&W0）的圖象經(jīng)過點E,與BC交于點F,且CF-

X

BE=L

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）在y軸上找一點P,使得矩形A88,求此時點尸的坐標.

3

三.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(共2小題)

5.(2022?鄂爾多斯)如圖，己知一次函數(shù))，="尤+6與反比例函數(shù)尸則(x<0)的圖象交于

x

A(-2,4),8(-4,2)兩點，且與x軸和y軸分別交于點C、點。.

(1)根據(jù)圖象直接寫出不等式&<公+〃的解集;

x

(2)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(3)點P在y軸上，且SAAOP=25"OB,請求出點P的坐標.

6.(2020?鄂爾多斯)如圖，一次函數(shù))，=fcr+b的圖象分別與反比例函數(shù))=包的圖象在第一

x

象限交于點A(4,3),與y軸的負半軸交于點B,且04=08.

(1)求函數(shù)和y=包的表達式；

x

(2)已知點C(0,5),試在該一次函數(shù)圖象上確定一點M,使得M8=MC,求此時點

M的坐標.

四.二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）

7.（2022?鄂爾多斯）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花

了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個.

（1）求第二批每個掛件的進價；

（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，

由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利

潤，最大利潤是多少？

8.（2021?鄂爾多斯）鄂爾多斯市某賓館共有50個房間供游客居住，每間房價不低于200

元且不超過320元、如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.已

知每個房間定價x（元）和游客居住房間數(shù)y（間）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是y關(guān)于x

的函數(shù)圖象.

（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當房價定為多少元時，賓館利潤最大？最大利潤是多少元？

9.（2020?鄂爾多斯）某水果店將標價為10元/斤的某種水果.經(jīng)過兩次降價后，價格為8.1

元/斤，并且兩次降價的百分率相同.

（1）求該水果每次降價的百分率；

（2）從第二次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的銷量及儲藏和損耗費用的相關(guān)

信息如下表所示:

時間（天）X

銷量（斤）120-x

儲藏和損耗費用（元）3?-641-+400

已知該水果的進價為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x（天）的利潤為v（元），求y與x（l

WxVIO）之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大，最大利潤是多少？

五.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

10.（2022?鄂爾多斯）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線產(chǎn)a/+fec+2經(jīng)過A（1，0）,

2

B（3,工）兩點，與）'軸交于點C.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在拋物線上，過P作PQLx軸，交直線BC于點。，若以P、D、0、C為頂

點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；

（3）拋物線上是否存在點。，使NQC8=45°?若存在，請直接寫出點。的坐標；若不

備用圖

11.（2021?鄂爾多斯）如圖，拋物線y=7+2x-8與x軸交于A,2兩點（點A在點B左側(cè)）,

與y軸交于點C.

（1）求A,B,C三點的坐標；

（2）連接AC,直線（-4</n<0）與該拋物線交于點E,與AC交于點。，連接

0D.當OD_LAC時，求線段OE的長；

（3）點M在），軸上，點N在直線AC上，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在點

使得以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

12.(2020?鄂爾多斯)如圖1,拋物線y=f+bx+c交x軸于A,B兩點，其中點A的坐標為

(1,0),與)，軸交于點C(0,-3).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點。為)，軸上一點，如果直線8。與直線8C的夾角為15°,求線段CQ的長度；

(3)如圖2,連接4C,點P在拋物線上，且滿足/出8=2/AC。，求點P的坐標.

六.三角形綜合題(共1小題)

13.(2022?鄂爾多斯)在△A8C中，AB^AC,ZBAC=90a,AO是△ABC的角平分線.

(1)如圖1,點E、B分別是線段B。、上的點，且DE=DF,AE與CF的延長線交

于點M,則AE與C尸的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

(2)如圖2,點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE=DF,EA的延長線交CF

于點M.

①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由:

②連接求的度數(shù)；

③若DM=6如,ED=12,求EM的長.

圖1圖2

七.四邊形綜合題（共1小題）

14.（2021?鄂爾多斯）旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時往往可以通

過旋轉(zhuǎn)解決問題.

圖③

（1）嘗試解決：如圖①，在等腰RtZ\ABC中，NBAC=90°,A8=AC,點M是8c上

的一點，BM=lctn,CM=2cm,將△A8M繞點A旋轉(zhuǎn)后得到△ACN,連接MM則AM

_______cm.

（2）類比探究：如圖②，在“箏形"四邊形ABCO中，AB=AD=a,CB=CD,AB1BC

于點8,ADLCD于點D,點尸、。分別是A8、A。上的點，且/PC8+NQ8=NPCQ,

求△APQ的周長.（結(jié)果用“表示）

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，已知四邊形ABC。，AD=CD,NAOC=60°,N4BC=75°,

AB=2圾,BC=2,求四邊形ABCQ的面積.

八.切線的判定與性質(zhì)(共2小題)

15.(2022?鄂爾多斯)如圖，以AB為直徑的。。與AABC的邊BC相切于點B,且與AC

邊交于點。，點E為BC中點，連接DE、BD.

(1)求證：QE是。。的切線；

(2)若。E=5,COSZABD=A,求OE的長.

16.(2021?鄂爾多斯)如圖，在△4BC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交AC于點￡>,

BC于點、E,直線EFL4C于點凡交AB的延長線于點H.

(1)求證：”尸是OO的切線；

(2)當E8=6,cos/ABE=Lirt,求tanH的值.

3

九.圓的綜合題(共1小題)

17.(2020?鄂爾多斯)我們知道，頂點坐標為(h,k)的拋物線的解析式為)，=〃2+k

(a#0).今后我們還會學(xué)到，圓心坐標為(a,b),半徑為r的圓的方程(x-?)2+(y

-b)2=/,如：圓心為p(-2,1),半徑為3的圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=9.

(1)以M(-3,-1)為圓心，為半徑的圓的方程為.

(2)如圖，以8(-3,0)為圓心的圓與y軸相切于原點，C是OB上一點，連接OC,

作BO_LOC,垂足為。，延長8。交y軸于點E,已知sin/AOC=旦.

①連接EC,證明：EC是。8的切線；

②在BE上是否存在一點Q,使QB=QC=QE=QO?若存在，求點Q的坐標，并寫出以

。為圓心，以QB為半徑的OQ的方程；若不存在，請說明理由.

一十.幾何變換綜合題（共1小題）

18.（2020?鄂爾多斯）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點

上.

①請按要求畫圖：將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點8的對應(yīng)點為點夕，點C

的對應(yīng)點為點C'.連接BB'；

②在①中所畫圖形中，ZAB'B=°.

（2）【問題解決】

如圖2,在中，BC=\,NC=90°,延長。到。，使C￡>=1,將斜邊A8繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到AE,連接￡>E,求NAOE的度數(shù).

（3）【拓展延伸】

如圖3,在四邊形ABC。中，AE1BC,垂足為E,NBAE=NADC,BE=CE=1,CD=

3,AD=kAB（A為常數(shù)），求8。的長（用含火的式子表示）.

圖1

一十一.解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）

19.（2021?鄂爾多斯）圖①是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在

托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長AB=115"wn支撐板長C￡）=70/w〃，板4B

固定在支撐板頂點C處，且CB=35,〃〃?，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，支撐板可繞點。

轉(zhuǎn)動，NCDE=60°.

（1）若/OCB=70°時，求點A到直線QE的距離（計算結(jié)果精確到個位）；

（2）為了觀看舒適，把（1）中/Z）CB=70°調(diào)整為90°,再將CD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn),

使點8落在直線OE上即可，求C￡＞旋轉(zhuǎn)的角度.

（參考數(shù)據(jù)：sin50°=0.8,cos50040.6,tan50°=1.2,sin26.6°-0.4,cos26.60==0.9,

tan26.6°七0.5,收七1.7）

圖①圖②備用圖

20.（2020?鄂爾多斯）圖1是掛墻式淋浴花灑的實物圖，圖2是抽象出來的幾何圖形.為使

身高175cm的人能方便地淋浴，應(yīng)當使旋轉(zhuǎn)頭固定在墻上的某個位置O,花灑的最高點

B與人的頭頂?shù)你U垂距離為15c〃?，已知龍頭手柄OA長為10。*,花灑直徑AB是8c〃?，

龍頭手柄與墻面的較小夾角NCQ4=26°,/OAB=146°,則安裝時，旋轉(zhuǎn)頭的固定點

。與地面的距離應(yīng)為多少？（計算結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin26°^0.44,cos26°

比0.90,tan26°=0.49)

一十二.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共1小題）

21.（2022?鄂爾多斯）旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿ABLCD

于點&某一時刻，旗桿的一部分影子2。落在上，另一部分影子。E落在坡面

DN上,已知80=1.2機，DE=\Am.同一時刻，測得豎直立在坡面DV上的1〃?高的標

桿影長為0.25機（標桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°,求

旗桿AB的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°七0.98,cos80.5°?=0.17,tan80.5°g6）

一十三.列表法與樹狀圖法（共3小題）

22.（2022?鄂爾多斯）為了調(diào)查九年級學(xué)生寒假期間平均每天觀看冬奧會時長情況，隨機抽

取部分學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計圖

“平均每天觀看冬奧會時長”頻數(shù)分布表

觀看時長頻數(shù)（人）頻率

（分）

0V啟1520.05

15<x^60.15

30

30VxW18a

45

45VxW0.25

60

60cxW40.1

75

（1）頻數(shù)分布表中，4=,請將頻數(shù)分布直方圖補充完整；

（2）九年級共有520名學(xué)生，請你根據(jù)頻數(shù)分布表，估計九年級學(xué)生平均每天觀看冬奧

會時長超過60分鐘的有人；

（3）校學(xué)生會擬在甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中，隨機抽取兩名同學(xué)做“我與冬奧”主題

演講，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到甲、乙兩名同學(xué)的概率.

“平均每天觀看冬奧會時長”頻數(shù)分布直方圖

23.（2021?鄂爾多斯）某中學(xué)對九年級學(xué)生開展了“我最喜歡的鄂爾多斯景區(qū)”的抽樣調(diào)查

（每人只能選一項）：A-動物園；8-七星湖；C-鄂爾多斯大草原；康鎮(zhèn)；E-蒙古

源流，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，其中2對應(yīng)的圓心角為

90°,請根據(jù)圖中信息解答下列問題.

“我最喜歡的景區(qū)”條形統(tǒng)計圖

（1）求抽取的九年級學(xué)生共有多少人？并補全條形統(tǒng)計圖；

（2）扇形統(tǒng)計圖中〃?=,表示。的扇形的圓心角是度；

（3）九年級準備在最喜歡4景區(qū)的5名學(xué)生中隨機選擇2名進行實地考察，這5名學(xué)生

中有2名男生和3名女生，請用樹狀圖或列表法求選出的2名學(xué)生都是女生的概率.

24.（2020?鄂爾多斯）“學(xué)而時習(xí)之，不亦說乎？”古人把經(jīng)常復(fù)習(xí)當作是--種樂趣.某校

為了解九年級（一）班學(xué)生每周的復(fù)習(xí)情況，班長對該班學(xué)生每周的復(fù)習(xí)時間進行了調(diào)

查，復(fù)習(xí)時間四舍五入后只有4種：1小時，2小時，3小時，4小時，已知該班共有50

人，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖表，該班女生一周的復(fù)習(xí)時間數(shù)據(jù)（單

位：小時）如下：

1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4

九年級（一）班女生一周復(fù)習(xí)時間頻數(shù)分布表

復(fù)習(xí)時間頻數(shù)（學(xué)生人數(shù)）

1小時3

2小時a

3小時4

4小時6

（1）統(tǒng)計表中。=,該班女生一周復(fù)習(xí)時間的中位數(shù)為小時；

（2）扇形統(tǒng)計圖中，該班男生一周復(fù)習(xí)時間為4小時所對應(yīng)圓心角的度數(shù)為°；

（3）該校九年級共有600名學(xué)生，通過計算估計一周復(fù)習(xí)時間為4小時的學(xué)生有多少名？

（4）在該班復(fù)習(xí)時間為4小時的女生中，選擇其中四名分別記為A,B,C,D,為了培

養(yǎng)更多學(xué)生對復(fù)習(xí)的興趣，隨機從該四名女生中選取兩名進行班會演講，請用樹狀圖或

者列表法求恰好選中B和D的概率.

九年級（-）班男生一周

復(fù)習(xí)時間扇形統(tǒng)計圖

1小時10%^---、

3小時

20%

內(nèi)蒙古鄂爾多斯三年(2020-2022)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答

題

參考答案與試題解析

一.分式的化簡求值(共3小題)

x-3(x-2)>40

1.(2022?鄂爾多斯)(1)解不等式組|2x-l、3x+2<<并寫出該不等式組的最小整

3.6-1②

數(shù)解.

22

(2)先化簡，再求值：(一亙二9—+1)—,其中。=4sin30°-(IT-3)0.

a2-6a+92a-6

【解答】解：(1)由①得：x<l,

由②得：X2-2,

不等式組的解集為：-2WxVl,

該不等式組的最小整數(shù)解為x=-2.

(2)原式=卒二2g+Q+i卜之?二32

(a-3)2a2

=(a+3*a-3)?2(a-3)

a-3a-3/

=2a,2(a-3)

2

a-3a

-_-4-，

a

當“=4sin30°-(it-3)°=4X」-1=2-1=1時，

2

原式=4.

4x-3(x-2)

2.(2021?鄂爾多斯)(1)解不等式組JX-1.x+i-，并把解集在數(shù)軸上表示出來.

號〉掾-1②

bN

-5-4-3-2-1~0~1~2~3~4~5^

22

(2)先化簡：三芻;4T(2x-41Z)j再從-2,0,1,2中選取一個合適的x的值

2x-x2x

代入求值.

【解答】解：(1)由①得，

4x-3x+624,

xN-2；

由②得，

2(x-1)>5(x+1)-10,

2x-2>5x+5-10,

-3x>-3,

x<L

所以不等式組的解集是：-24V1,

它們的解集在數(shù)軸上表示如下：

-5-4-3-2-1~0~1~23~4~5^

29

(2)-YX+4+⑵.4+x，)

2x-x2x

—(x-2)2.z2x24+x2x

-x(x-2),xx

x-2.X2-4

-xX

=X-2x>

-x(x+2)(x-2)

=-

x+2

WO,2,-2,

???當x=i時，原式

3

3(x-1)<5x+2①

3.(2020?鄂爾多斯)(1)解不等式組，x-2,3…，并求出該不等式組的最小整

1詈47多②

數(shù)解.

2

(2)先化簡，再求值：(一qT一一工)+——，其中。滿足/+2。-15=0.

a-2a+lbaa-a

【解答】解：(1)解不等式①，得：

2

解不等式②，得：xW4,

則不等式組的解集為-互＜xW4,

2

二不等式組的最小整數(shù)解為-2；

（2）原式=］（3+1）——?——

2

（a-l）a-1a（a-1）

=（、a+lj.1）?a（aT）

a-1a-12

=a+2.a（aT）

TT2-

_a（a+2）

~2~

_a2+2a

-----------,

2

?：cr+2a-15=0,

?*.a2+2a=15,

則原式=」五.

2

二.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共1小題）

4.（2021?鄂爾多斯）如圖，矩形ABCQ的兩邊AB,BC的長分別為3,8,C,。在y軸上,

E是AO的中點，反比例函數(shù)y=K（ZW0）的圖象經(jīng)過點E,與BC交于點F,且CF-

X

BE=1.

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）在y軸上找一點P,使得S^CEP=2S矩形A8CQ,求此時點尸的坐標.

3

【解答】解：（1）???E是AO的中點,

22,

在中，由勾股定理得：^￡=^3+4=5

?/CF-BE=1,

:.CF=6,

???尸的橫坐標為-6,

設(shè)尸(-6,機)，則E(-4,m+3),

???￡,/都在反比例函數(shù)圖象上，

:.-6tn=-4(m+3),

解得加=6,

：.F(-6,6),

：.k=-36,

...反比例函數(shù)尸-超.

X

(2)■:S&CEP=2矩形A8C。，

3

.12

??yXCPX4=yX8X3^

：.CP=8,

：.P(0,14)或(0,-2).

三.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(共2小題)

5.(2022啷爾多斯)如圖，已知一次函數(shù)y=or+8與反比例函數(shù)丫=典(x<0)的圖象交于

x

4(-2,4),8(-4,2)兩點，且與x軸和y軸分別交于點C、點￡>.

(1)根據(jù)圖象直接寫出不等式皿Vax+6的解集：

X

(2)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

(3)點尸在y軸上，且SAAOP=-15Z\4O8,請求出點P的坐標.

【解答】解：(1)當了=必的圖象在圖象的下方時，皿V級+b成立，

XX

.,?-4<X<-2.

(2)將A(-2,4)代入y=典得：-8=加，

X

???反比例函數(shù)為：y=--.

x

將A(-2,4),B(-4,2)代入y=ax+匕得：(4=-2a+b,

I2=_4a+b

解得：卜=1,

Ib=6

???一次函數(shù)的表達式為：y=x+6.

(3)在y=x+6中，當y=0時，x=-6,

：.C(-6,0).

?*.S^ABO=SMOC-SABOC

=—OCX(ya-)歸)

2

=AX6X2

2

=6,

SMOP=工X6=3,

2

丁尸在y軸上，

：.1.OPX\XA\=3,

2

??.OP=3.

：.P(0,3)或(0--3).

6.(2020?鄂爾多斯)如圖，一次函數(shù))="+。的圖象分別與反比例函數(shù)>=3的圖象在第一

x

象限交于點A(4,3),與y軸的負半軸交于點3,且。4=。8.

(1)求函數(shù)y=Ax+Z?和)，=包的表達式；

x

(2)已知點C(0,5),試在該?次函數(shù)圖象上確定一點M,使得MB=MC,求此時點

M的坐標.

y

【解答】解：(1)把點A(4,3)代入函數(shù)丫=且得：〃=3X4=12,

x

?\,=12

x

OA=V32+42=5,

"：OA=OH,

：.OB=5,

.,.點8的坐標為(0,-5),

把B(0,-5),A(4,3)代入得：

[b=-5

l4k+b=3

解得：『二2

lb=-5

.\y=2x-5.

(2)方法一：??,點M在一次函數(shù)y=2x-5上，

工設(shè)點M的坐標為(x,2x-5),

9：MB=MC,

??、]乂2+(2x-5+5)*=4j+(2乂-5-5)?

解得：尤=2.5,

???點M的坐標為(2.5,0).方法二：(0,-5)、C(0,5),

.\BC=10,

???8C的中垂線為：直線y=0,

當y=0時，2%-5=0,即x=2.5,

???點M的坐標為(2.5,0).

四.二次函數(shù)的應(yīng)用(共3小題)

7.(2022?鄂爾多斯)某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花

了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個.

(1)求第二批每個掛件的進價；

(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，

由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利

潤，最大利潤是多少？

【解答】解：(1)設(shè)第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為LLr元，

根據(jù)題意可得，6600+5O=800CLr

1.lxX

解得x=40.

經(jīng)檢驗，x=40是原分式方程的解，且符合實際意義，

第二批每個掛件的進價為40元.

(2)設(shè)每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，

根據(jù)題意可知,w=(^-40)[40+10(60-y)]=-10(y-52)2+1440,

V-10>0,

...當x》52時，y隨x的增大而減小，

V40+10(60-y)W90,

；.y255,

.?.當y=55時，w取最大，此時w=-10(55-52)2+1440=1350.

當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元.

8.(2021?鄂爾多斯)鄂爾多斯市某賓館共有50個房間供游客居住，每間房價不低于200

元且不超過320元、如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.已

知每個房間定價x(元)和游客居住房間數(shù)y(間)符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是y關(guān)于x

的函數(shù)圖象.

(1)求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當房價定為多少元時，賓館利潤最大？最大利潤是多少元？

【解答】解：（1）由題意，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為），=履+6,

把（280,40,）,（290,39）代入得：

（280k+b=40j

1290k+b=39'

解得：K10,

b=68

???y與x之間的函數(shù)解析式為y=-告"68（200WxW320）；

（2）設(shè)賓館的利潤為卬元，

2

則w=（x-20）y=（x-20）（-JL_X+68）=-Ay+70x-1360=--350）+10890,

101010

：_J^<o,

10

...當x<350時，w隨x的增大而增大，

；2OO0W32O,

.?.當x=320時，w取得最大值，最大值為10800元，

答：當每間房價定價為320元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是10800元.

9.（2020?鄂爾多斯）某水果店將標價為10元/斤的某種水果.經(jīng)過兩次降價后，價格為8.1

元/斤，并且兩次降價的百分率相同.

（1）求該水果每次降價的百分率；

（2）從第二次降價的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的銷量及儲藏和損耗費用的相關(guān)

信息如下表所示：

時間（天）X

銷量（斤）120-x

儲藏和損耗費用（元）3?-64x+400

已知該水果的進價為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元)，求y與x(1

WxVIO)之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大，最大利潤是多少？

【解答】解：(1)設(shè)該水果每次降價的百分率為X,

10(1-%)2=8.1,

解得,xi=0.1,X2—1.9(舍去)，

答：該水果每次降價的百分率是10%;

(2)由題意可得，

y=(8.1-4.1)X(120-x)-(37-64x+400)=-3f+60x+80=-3(x-10)2+380,

?.TWxVIO,且x為整數(shù),

.?.當x=9時，)，取得最大值，此時＞=377,

由上可得，y與x(IWxVIO)之間的函數(shù)解析式是y=-3f+60x+80,第9天時銷售利

潤最大，最大利潤是377元.

五.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

10.(2022?鄂爾多斯)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=0?+法+2經(jīng)過A(」，0),

2

B(3,工)兩點,與y軸交于點C.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸在拋物線上，過P作尸。_Lx軸，交直線BC于點。，若以P、D、。、C為頂

點的四邊形是平行四邊形，求點尸的橫坐標；

(3)拋物線上是否存在點。，使NQCB=45°?若存在，請直接寫出點。的坐標；若不

備用圖

【解答】解：⑴將點A(-X0),B(3,1)代入到y(tǒng)=o?+〃x+2中得:

-ja-yb+2=0a=-l

,解得：<b4,

9a+3b+2=q

，拋物線的解析式為y=-/+,+2；

(2)設(shè)點P(〃?，-M?+[m+2),

2

；y=-X2+—X+2,

2

：.C(0,2),

設(shè)直線BC的解析式為y^kx+c,

\7f1

.3k+c=q,解得.k為

c=2c=2

直線BC的解析式為y=L+2,

2

；.￡)(?n.L〃+2),

2

.,.PD=\-nr+—m+2-L?-2|=|/-2>m\,

22

???POLx軸，OCLx軸，

J.PD//CO,

...當PO=C。時，以P、。、0、c為頂點的四邊形是平行四邊形,

|m2-3ml=2,解得m—1或2或老■或2H

_22

點p的橫坐標為1或2或3WI7或3-VT7；

22

（3）①當。在BC下方時，如圖，過B作8H_LCQ于〃，過，作MN_Ly軸，交y軸于

M,過B作BNLMH于N,

AZBHC=ZCMH=ZHNB=90°,

VZeCB=45°,

是等腰直角三角形，

:?CH=HB,

:./CHM+/BHN=4HBN+/BHN=90°,

:"CHM=/HBN,

:,△CHM/AHBN(AAS),

:?CM=HN,MH=BN,

,:H(.m,〃)，

VC(0,2),B(3,工)，

2

2-n=3-mm=7

7，解得?

q-n二m5

:.H(9,5),

44

設(shè)直線CH的解析式為y=p"q,

9,_51

...，下+q=z,解得,P『,

q=2q=2

直線CH的解析式為y=--lx+2,

3

2+7門

y=-xyx+2

聯(lián)立直線CF與拋物線解析式得《

y=-4-x+2

xT

...Q胃,11),

②當。在BC上方時，如圖，過B作BH_LCQ于“，過”作MV_Ly軸，交y軸于M,

22

綜上，存在，點Q的坐標為(罵，」足)或(工，工).

61822

11.(2021?鄂爾多斯)如圖，拋物線y=/+2x-8與x軸交于A,B兩點(點A在點8左側(cè)),

與y軸交于點C.

(1)求A,B,C三點的坐標；

(2)連接AC,直線x=m(-4<w<0)與該拋物線交于點E,與AC交于點。，連接

OD.當OOJ_AC時，求線段DE的長；

(3)點/在y軸上，點N在直線AC上，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點

使得以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

【解答】解：(1)在y=7+2x-8中，令)=0,得f+2x-8=0,

解得：xi=-4,X2=2,

：.A(-4,0),B(2,0),

令x=0,得y--8.

：.C(0,-8)；

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=fcv+b,

VA(-4,0),C(0,-8),

..J-4k+b=0,

"lb=-8

解得：(k=-2,

Ib=~8

??.直線AC的解析式為y=-2x—8,

???直線(-4<AH<0)與該拋物線交于點E,與AC交于點Q,

:?E(zn,毋+2/%-8),D(加，-2m-8),

DE=-2m-S-(n?+2m-8)=-m2-4m,

設(shè)。上交工軸于點F,則/(加，0),

:.OF=~m,

.\AF=m-(-4)=〃?+4,。尸=2m+8,

VOD1.AC,EF.LOA,

：.ZODA=ZOFD=ZDFA=ZAOC=90°,

AZDOF+ZCOD=ZOCD+ZCOD=90°,

：.ZDOF=ZOCD,

:.△ACOs^DOF,

.OA=DF

**ocOF)

：.OC'DF=OA'OF,

，8(2，〃+8)=4(-M,

解得：機=-K,

5

/.DE=-m2-4/M=-(--l^L)2-4X(-=.^￡；

5525

(3)存在,

如圖2,：)，=/+2%-8=(x+1)2-9,

拋物線對稱軸為直線x=-1,

；以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形，

二分三種情況：CM對角線或CN為對角線或CP為對角線，

①當CP為對角線時，CM//PN,CM=PN=CN,

點為直線AC與拋物線對稱軸的交點，即N(-l,-6),

CN=7(-1-0)2+(-6+8)2—疾，

:.CM=PN=娓,

：.M\(0,-8+遙)，M2(0,-8-遙)；

②當CN為對角線時，CM//PN,CM=PN=CP,

設(shè)CM=a,則M(0,-8+a),尸(-1,-6-a),

(-1-0)?+(-6-(z+8)2=/,

解得：a=2

4

：.M3(0,一紅)，

4

③當CM對角線時，PN與CM互相垂直平分，設(shè)P(-1,b),則N(l,b),M(0,26+8),

,：N(1,h)在直線y=-2r-8上,

:.b=-2X1-8=-10,

：.M4(0,-12),

綜上所述，點M的坐標為：Mi(0,-8+75),M2(0,-8-?),M3(0,-27),

4

M4(0,-12).

12.(2020?鄂爾多斯)如圖1,拋物線)，=/+bx+c交x軸于A,B兩點，其中點A的坐標為

(1,0),與)，軸交于點C(0,-3).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點。為)，軸上一點，如果直線30與直線BC的夾角為15°,求線段CD的長度：

(3)如圖2,連接4C,點P在拋物線上，且滿足NR1B=2N4CO,求點P的坐標.

【解答】解：(1).??拋物線y=f+/?+c交x軸于點A(L0),與y軸交于點C(0,-3),

解得：，b=2,

lc=-3

，拋物線解析式為：y=x2+2x-3；

(2)?.?拋物線y=7+2x-3與x軸交于A,5兩點,

.?.點8(-3,0),

:點8(-3,0),點C(0,-3),

，OB=OC=3,

；.NOBC=NOC8=45°,

如圖1,當點。在點C上方時，

.,.ZOBD=30°,

，tan/OBO=毀=近，

_BO3

：.OD=立-義3=痘,

3

.\CD=3-A/3；

若點。在點C下方時，

；NOBC=15°,

080=60°,

：.tanZDBO=^-=J3,

BO

。。=3禽，

：.DC=3y/3-3,

綜上所述：線段CD的長度為3-百或33；

(3)如圖2,在80上截取OE=OA,連接CE,過點E作EF_L4C,

;點A(1,0),點C(0,-3),

：.OA=\,OC=3,

二4c=VOA2-K)C2=71+9=VTo'

\"OE=OA,ZCOE=ZCOA=90°,OC=OC,

:.△OCEqXOCN(SAS),

AZACO^ZECO,CE=AC=A/10.

：.ZECA^2ZACO,

'：ZPAB=2ZAC0,

：.ZPAB=ZECA,

S^AEC=X\EX0C=LCXEF,

22

FP=2X3=3V10

V1T5’_______

CF=7CE2_EF2=^

AtanZECA=M.=2,

CF4

如圖2,當點P在48的下方時，設(shè)4P與y軸交于點N,

"：ZPAB^ZECA,

...tan/EC4=tan/fi48=Ql=旦,

AO4

ON=3,

4

.?.點N(0,-S),

4

又\?點4(1,0),

直線AP解析式為：y=lx-l,

-44

33

聯(lián)立方程組得：y44

y=x2+2x-3

9

Xi=1X2=W

解得：或，

Yl=039

了2=下

.,.點尸坐標為:7一金

當點P在AB的上方時,同理可求直線AP解析式為：y=-&r+3,

44

y

聯(lián)立方程組得：

2

y=xz+2x-3

15

x=1