課件平時補充極坐標系

極坐標從這向北2000米。請問：去??中學怎么走？請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從這向北走2000米！出發(fā)點方向距離

在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。1、引入OxyMNxyo·M一.極坐標系和點的極坐標2、極坐標系的定義：在平面內(nèi)任取一個定點O，叫做極點，引一條射線ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)，對于平面內(nèi)任意一點M，用表示線段OM的長度，表示從ox逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的角度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角，有序數(shù)對就叫做點M的極坐標，表示為這樣建立的坐標系叫做極坐標系。Ox

在一般情況下，極徑都是取正值，但是在某些必要的情況下，也允許取負值。當時，點的位置可以按以下規(guī)則確定：作射線OP，使，在OP的反向延長線上取一點M使，M就是極坐標為的點。OM·x3、極坐標系下點與極坐標的對應關系規(guī)定：當點M在極點時，它的極坐標為，可以取任意值。例：在極坐標系下，寫出A、B、C、D、E、F、

G各點的極坐標?！·E·F·G···ABCo角也可以取負值，如：·D·E·F·G···ABCo

當時，寫出A、B、C、D、E、F、G各點極坐標?！·E·F·G···ABCo例：在極坐標系下，作出下列各點：·DE··B·CA·例：在極坐標系下說點、、、的位置關系。·Ox···

一般地，如果是一個點的極坐標，那么、都可以作為它的極坐標。

如果限定，，那么除極點外，平面內(nèi)的點和極坐標可以一一對應。

不作特殊說明時，認為。

極坐標二、極坐標與直角坐標的互化極坐標系和直角坐標系是兩種不同的坐標系，同一點可以有極坐標，也可以有直角坐標；同一條曲線可以有極坐標方程，也可以有直角坐標方程。為了研究問題方便，有時需要把在一種坐標系中的方程化為在另一種坐標系中的方程。1、極坐標和直角坐標的互化公式：

把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位。

設M是平面內(nèi)任一點，它的直角坐標為極坐標是，從點M作，由三角函數(shù)定義，可得出之間的關系。xyOyMNx(1)(2)公式(1)是用極坐標表示直角坐標的表達式公式(2)是用直角坐標表示極坐標的表達式在一般情況下，由確定極角時，可根據(jù)點M所在的象限取最小正角。(1)(2)2、極坐標與直角坐標互化公式的應用例1、解：例2、解：例3.化圓的直角坐標方程x2+y2-2ax=0為極坐標方程。例3.化圓的直角坐標方程x2+y2-2ax=0為極坐標方程。解題時，應用公式，注意整體替代。把

x2+y2=

2，x=cos代入直角坐標方程得

2-2acos=0(-2acos)=0

所示的極坐標方程是=0或-2acos=0=0是極點，=2acos

表示以(a，0)為圓心，a為半徑，且過極點的圓，所以

=0不必寫出來。??ox(a，0)

例4.化

=-4sin+cos為直角坐標方程

例4.化

=-4sin+cos為直角坐標方程注意整體替代。把原極坐標方程兩邊同乘

2=-4sin+cos

，

2=x2+y2

，

cos=x，

sin=y，它的直角坐標方程是x2+y2=-4y+x(x-—)2+(y+2)2=——

在直角坐標系xoy中,方程表示的是以(—，-2)為圓心，—為半徑的圓。12417?oxy12217例5、解：例5、解：

例6：把極坐標方程

2sin2=2tg化為直角坐標方程解：把原方程化為sin?cos=tgx=cos，y=sin，—=tg

它的直角坐標方程是

xy=—y(x2-1)=0y(x-1)(x+1)=0

從極坐標方程直接看不出方程表示的曲線是什么，化為直角坐標方程后知道它表示的是三條直線：y=0或x=1或x=-1xyyx曲線的極坐標方程一、極坐標系下，曲線與方程的對應關系。（1）定義：在極坐標系中，曲線可以用含有、這兩個變數(shù)的方程來表示，這種方程叫做曲線的極坐標方程。（2）說明：方程的每一個解為坐標的點都是曲線上的點；曲線上每一個點的無窮多個坐標中，至少有一個坐標滿足方程。

極坐標三、常見曲線的極坐標方程求曲線的極坐標方程的方法和步驟：和求直角坐標方程類似，就是把曲線看作適合某種條件的點的集合或軌跡，將已知條件用曲線上點的極坐標、的關系式表示出來，就得到曲線的極坐標方程。1、直線的極坐標方程例：求極坐標系下，經(jīng)過定點且關于極軸的傾斜角為的直線方程（其中為定值）·Ox解：如圖，設所求直線上任一點，與極軸所在直線交于N點，連接OM、OP

在中，由正弦定理得：即方程（定值）

··OxN

當時，代入方程方程化為（定值)Ox·當時，代入方程方程化為（定值）Ox··當表示極點時，代入方程

方程化為（表示極點）或即或若允許，則方程可寫為：Ox·2、圓的極坐標方程例：求極坐標系下，以定點為圓心，為半徑的圓的方程。解：如圖，設所求圓上任一點，在中，由余弦定理：即為所求圓方程?！?/p>

當圓心表示極點時，代入則圓方程化為：x·O當圓心在極軸上，且圓經(jīng)過極點時，

則圓方程化為即：Ox·

5?2曲線的極坐標方程在極坐標系中，用，=0表示曲線的方程。一些基本曲線的方程：

=r=0(0)=0(R)??oxox

0

0rooxxoPP(2，P(

，2/3??=2=—2

3c(a，-/2)

ooooxxxxc(a，0)c(a，

/2)????c(a，

)????P(

，)P(

，)P(

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，)=2acos=2acos(-)=-2acos=2acos(-3/2)=-2asin=2asin????

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