第四講 行列式計(jì)算及克萊姆法則課件

作業(yè)：P221（1）7（1）第一周作業(yè)點(diǎn)評(píng)第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則復(fù)習(xí)1、n階行列式的展開(kāi)定理2、行列式的計(jì)算方法（三類）1.

定義2.

性質(zhì)

3.

展開(kāi)（降階）.第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則解：根據(jù)行列式性質(zhì)練習(xí)4

計(jì)算行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則解：行和相同練習(xí)5

計(jì)算行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則解：根據(jù)行列式展開(kāi)定理，可作變換鑲邊法例6

計(jì)算行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則鑲邊法適用于相同元素較多的行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則練習(xí)7

計(jì)算行列式解：根據(jù)行列式性質(zhì)化零降階法第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則練習(xí)8

求證Cn=Dn第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則證明：當(dāng)n=1,2時(shí)，D1=2=C1,假設(shè)當(dāng)k≤n-1時(shí)，等式成立，即Dk=Ck當(dāng)k=n時(shí)，把Dn，Cn，按第一行展開(kāi)有：由歸納假設(shè)Dn-1=Cn-1，Dn-2=Cn-2，故Dn=Cn歸納假設(shè)歸納法第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則證明：（遞推法）把Dn，Cn，按第一行展開(kāi)有：即：Dn=Cn故第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則注：歸納法和遞推法適用于原行列式能轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)相同的低階行列式的情況。分析行列式結(jié)構(gòu)和規(guī)律我們把這個(gè)行列式稱作n階范德蒙行列式例

計(jì)算行列式P18第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則即：j=1j=2j=n-1該行列式的值為：第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則解：（歸納法）當(dāng)k=2時(shí)，有：公式成立.假設(shè)當(dāng)k=n-1時(shí)，公式成立，即下證k=n時(shí)，公式成立第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則從最后一行開(kāi)始，每一行減去它相鄰的前一行乘以a1,即作線性運(yùn)算第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則按第一列展開(kāi)，有：第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則每一列均可提取公因子，則：n-1階范德蒙行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則故有：即：證畢第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則解：由范德蒙行列式的計(jì)算公式有：例計(jì)算行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則解：由范德蒙行列式的計(jì)算公式有：練習(xí)計(jì)算行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則關(guān)于范德蒙行列式主要掌握兩點(diǎn)：1、能識(shí)別范德蒙行列式2、會(huì)利用范德蒙行列式的公式進(jìn)行計(jì)算第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則對(duì)稱及反對(duì)稱行列式在行列式Dn=(aij)中，若aij=aji,稱為對(duì)稱行列式；若aij=-aji，稱為反對(duì)稱行列式試證：奇數(shù)階反對(duì)稱行列式等于零及行列式性質(zhì)，有：定義：證明：由問(wèn)題：反對(duì)稱行列式主對(duì)角線上的元素有什么特點(diǎn)？第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則n為奇數(shù)，故D=-D有D=0證畢第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則練習(xí)：判斷下列結(jié)果是否正確。答案：正確答案：錯(cuò)誤第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則練習(xí)：計(jì)算行列式答案：D=0第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則§1.4行列式的應(yīng)用——克萊姆法則1、n元線性方程組（1.17）第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則定義1若bi(i=1,2,…，n)不全為0，則稱（1.17）式為非齊次線性方程組，稱為方程組（1.17）的系數(shù)行列式.定義2若bi=0(i=1,2,…，n)，則稱（1.17）式為齊次線性方程組其系數(shù)aij(i,j=1,2,…，n)構(gòu)成如下行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則對(duì)于齊次線性方程組x1=x2=…=xn=0

一定是它的解,這個(gè)解叫做齊次線性方程組的零解.如果一組不全為零的數(shù)是次線性方程組的非零解.齊次線性方程組一定有零解,但不一定有非零解.方程組的解,則它叫做齊第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則回顧當(dāng)系數(shù)行列式有唯一解克萊姆法則的二階形式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則定理1若方程組（1.17）的系數(shù)行列式則方程組（1.17）有唯一解第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則其中解的表達(dá)式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則對(duì)原方程組作如下變換：任取1≤j≤n，用代數(shù)余子式A1j，A2j，…Anj分別乘以方程組的第1,2，…n個(gè)方程，再相加有：證法一：A1jA2jAnj第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則而可看作如下行列式按第j列的展開(kāi)第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則故由D≠0,有：即上式滿足方程組（1.17），為原方程組的唯一解第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則證法二：先證第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則作線性變換：ri+xjrj(j≠i),得：由原方程組有：第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則即當(dāng)D≠0時(shí)，有故方程組（1.17）的有解且解唯一.證畢第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則練習(xí)1：復(fù)述克萊姆法則練習(xí)2：求解方程組若n元線性方程組的系數(shù)行列式則該方程組有唯一解，表示為：第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則解：由故第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則例要使此方程組有唯一解，求k的取值范圍解：系數(shù)行列式為：第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則由克萊姆法則，要使D≠0,即k≠1故k的取值范圍為：{R|k≠1}克萊姆法可以用于判斷方程組解的唯一性第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則定理2對(duì)齊次線性方程組若系數(shù)行列式D≠0，則方程組只有零解你能證明嗎？對(duì)于齊次線性方程組，克萊姆法則有什么變化？第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則由定理2可得逆否命題：定理3若齊次線性方程組有非零解，則D=0小結(jié)行列式的計(jì)算范德蒙行列式、對(duì)稱行列式克萊姆法則第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則第一章回顧一、n階行列式的定義1）、對(duì)角線法則2）、排列和逆序數(shù)3）、一般項(xiàng)的另一表示方式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則二、行列式的性質(zhì)1）、七個(gè)性質(zhì)（轉(zhuǎn)置相等，數(shù)乘運(yùn)算，拆分，相同行為0，成比例為0，線性運(yùn)算，互換運(yùn)算）2）、數(shù)乘運(yùn)算、線性運(yùn)算、互換運(yùn)算稱為行列式初等運(yùn)算第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則三、行列式的展開(kāi)法則1）、余子式和代數(shù)余子式（實(shí)際上是一個(gè)比原行列式低階的行列式）2）、展開(kāi)法則和性質(zhì)或第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則四、行列式的計(jì)算1）.

直接用定義計(jì)算;2）.

利用性質(zhì)（化簡(jiǎn)或化為三角形行列式）3）.

利用展開(kāi)式定理降階.技巧：歸納、遞推特殊行列式：范德蒙行列式、反對(duì)稱行列式第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則如果線性方程組的系數(shù)行列式D

0,那么它有唯一解五、行列式應(yīng)用——克萊姆法則第四講行列式計(jì)算及克萊姆法則其中Dj

(j=1,2,…,n)

是把系數(shù)行列式D