卷02（天津卷）-2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測試卷（解析版）

卷02(天津卷數(shù)學(xué))-2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測試卷

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

?如果事件A與事件8互斥，那么P(A8)=P(A)+P(8).

?如果事件A與事件B相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(B).

?球的表面積公式S=4?R2,其中R表示球的半徑.

一、選擇題

1.設(shè)集合”={#2<4},集合N={x|l〈x<2},則&N=()

A.{%卜24％<1}B.{-2,-1,0}

C.{x|xK-2}D.{x[0<x<2}

【答案】A

【分析】

化簡集合M,N,根據(jù)補集運算求解即可.

【詳解】

M=[x\x2<4^=[-2,2],N={x|lWx<2},

.?”="2,1),

故選:A

【點睛】

本題主要考查了集合的補集運算，屬于容易題.

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，條件P：復(fù)數(shù)。-1+加(aBwR)是純虛數(shù)，條件4：4=1,則〃是

4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

1

復(fù)數(shù)a-1+沅是純虛數(shù)，必有a=l,b/O,利用充分條件與必要條件的定義可得結(jié)果.

【詳解】

若復(fù)數(shù)。一1+萬是純虛數(shù)，必有所以由P能推出9；

但若a=l,不能推出復(fù)數(shù)a-l+瓦是純虛數(shù).所以由0不能推出P.,

因此P是q充分不必要條件，故選A.

【點睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念以及充分條件與必要條件的定義，屬于簡單題.判斷充要

條件應(yīng)注意：首先弄清條件P和結(jié)論q分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗

試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象

為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等

價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系來處理.

3.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞增，則三個數(shù)

(

a=/(-log313),b=flog,-,c=/(2°)的大小關(guān)系為

［2)

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】C

【分析】

根據(jù)奇偶性得：?=/(log313),通過臨界值的方式可判斷出自變量之間的大小關(guān)系，

再利用函數(shù)的單調(diào)性得到a,4c的大小關(guān)系.

【詳解】

06'

2=log39<log313<log,27=3；log,i=log28=3,()<2<2=2

28

06

即：O<2<log313<logl

2X

/(X)為偶函數(shù)-'-a=f(-log313)=/(log313)

又/(x)在［0，TS)上單調(diào)遞增

(IA

06

?1?/log,->/(log313)>/(2),即Z，>a>c

I2)

本題正確選項：c

【點睛】

2

本題考查利用函數(shù)單調(diào)性判斷大小的問題，關(guān)鍵是能夠利用奇偶性將自變量變到同一單

調(diào)區(qū)間內(nèi)，再通過指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用臨界值確定自變量的大小關(guān)系.

22

4.已知雙曲線事一1=1的右焦點與拋物線丁=2川（〃〉0）的焦點重合，則該拋物

線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度為（）

71455

A.-B.—C.-D.一

3323

【答案】B

【分析】

22

由于雙曲線的右焦點與拋物線y2=2px（p>0）的焦點重合，所以該拋物

線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度就等于雙曲線的通徑，由此可得答案.

【詳解】

22

解：由二一匕=1得。2=9,/=7,所以a=31=J7,

97

22

因為雙曲線土―1=1的右焦點與拋物線/=2px（p>0）的焦點重合，

所以該拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線所截得的線段長度就等于雙曲線的通徑式2b2-=上14，

a3

故選：B

【點睛】

此題考查雙曲線和拋物線，考查雙曲線的通徑，屬于基礎(chǔ)題.

5.在由0,123,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的有（）

A.512個B.192個

C.240個D.108個

【答案】D

【解析】

試題分析：由于能被5整除的數(shù)，其個位必為。或5,由此分兩類：第一類：個位為0

的，有￡=60個；第二類：個位為5的，再分兩小類：第1小類：不含。的，有,￡=24

個，第2小類：含0的，有/-A；=24個，從而第二類共有48個；故在由數(shù)字0,123,4,5

所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)有60+48=108個，故選D.

考點：排列組合.

3

6.我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百一十五里關(guān)，初步健步不

為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還其大

意為：”有一個人走315里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前

一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”則該人第一天走的路程為（）

A.180里B.170里C.160里D.150里

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，設(shè)此人每天所走的路程數(shù)為數(shù)列｛4｝,其首項為4,分析可得｛%｝是以為外

苜項，1■為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前1項和公式可得$6=315,解可得%的

值，即可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)此人每天所走的路程為數(shù)列｛4｝,其首項為可，即此人第一天走的

路程為?

又由從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，則｛4“｝是以為q首項，3■為公比

的等比數(shù)列，

4（1-：）

又由56=315,即有-----占-=315,解得：4=160；

1——

2

故選：C.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式，關(guān)鍵是依據(jù)題意，建立等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，

屬于基礎(chǔ)題.

7.三棱錐的棱長均為4痛，頂點在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.367rB.727rC.1447rD.2887r

【答案】C

【解析】試題分析：因為三棱錐的棱長均為4茄，所以該三棱錐為正四面體，其外接球

的半徑R=—x4\/6=6,所以其外接球的表面積為S=4nR2=4?rx62=144TT,故選

4

c.

考點：1.正多面體的外接球與內(nèi)切球；2.球的表面積與體積.

【名師點睛】本題考查正多面體的外接球與內(nèi)切球、球的表面積與體積，屬中檔題；與

4

球有關(guān)的組合體的類型及解法有：1.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常通過作出它們的軸截面解題;

2.球與多面體的組合，通常通過多面體的一條側(cè)棱和不球心，或切點、接點作出軸截面,

把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

y2

8.已知雙曲線、=1(a>00>0)的右焦點尸與拋物線尸=8x的焦點重合，過

Q一

尸作與一條漸近線平行的直線/，交另一條漸近線于點A,交拋物線：/=8x的準(zhǔn)線于

點、B,若三角形A08(。為原點)的面積36，則雙曲線的方程為()

2?

B犬＞，21y2

AA.-廠------y---=1iC.-y2=]D.x21

12441233

【答案】D

【分析】

由拋物線方程得出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,聯(lián)立直線/與漸近線方程得出A的坐標(biāo)，聯(lián)立

直線與準(zhǔn)線方程得出5的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積得出。=島，再結(jié)合c=2,

。2=/+〃，可解得結(jié)果.

【詳解】

由y2=8x得p=4,所以F(2,0),

所以直線/：y=^(x—2),拋物線的準(zhǔn)線為：x=-2,

a

b/八、

y=-(x-2)x=l

a

聯(lián)立《可得b?所以A(l,—)，

ba

y=——x

a

戶3d)可得x=-2

4b

聯(lián)立〈4b，所以8(-2,--),

x=-2

144久“c、I°4。11b3b

所以S°-=2(a+T)-(1+2)T2XT-2X1Xa=T

Q11

所以心=36,所以2=百，即8=6a，

aa

又c=2,c2=a2,

所以4=/+342,所以4=1，所以4=31=3,

2

所以雙曲線的方程為X2-^-=l.

3

故選：D.

5

【點睛】

本題考查了拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了三角形的面積，考查了運算求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

9.已知函數(shù)/（x）=J^sin（69x+0）（G＞O）的圖象關(guān)于直線x=—對稱且/（—）=1，

28

./（X）在區(qū)間［一至，一三］上單調(diào)，則?？扇?shù)值的個數(shù)為（）

84

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【分析】

又三角函數(shù)的對稱性及=角函數(shù)的值可得⑦=16（女一〃。+2或

co=l6（k-m）+6,k-m&Z,再結(jié)合三角函數(shù)的周期性可得0＜。＜8,然后求解即

可.

【詳解】

解：由題設(shè)可知一口+0=2%乃+—,——co+（p=2m兀+—,k,meZ,

2284

一兀c,3）3萬c37r,_

或一0+0=2ATTH----,——0）+（0-2nm-\----,k、meZ、

2284

TT7TTT）7T

則GG=2*一臉兀+I或§69=2（攵-m）7T+7,

即G=16（左一〃2）+2或g=16（%-m）+6,k-meZ,

TT3TCT7t

乂由已知有（---）-（----）＜—=—,即0＜（wW8，

4823

則＜y=2或⑦=6,則出的取值個數(shù)為2個，

故選B.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的對稱性及周期性的應(yīng)用，重點考查了運算能力與分析能力，屬中

檔題.

第n卷

注意事項：

i.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

6

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1

個的給3分，全部答對的給5分.

10.二項式+與)，則該展開式中的常數(shù)項是.

【答案】180

【分析】

IO-5r

求得二項展開式的通項(,1=2,03^，令r=2,即可求解展開式的常數(shù)項，得

到答案.

【詳解】

/\10010-5r

由題意，二項式V^+4的展開式的通項為Tr+l=G冢石）6'（彳）'=TC；o.k

令r=2，可得《=22Gz=18(),即展開式的常數(shù)項是180.

故答案為：180.

【點睛】

本題主要考查了二項式定量的應(yīng)用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準(zhǔn)確運算是解

答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

%+1,%,,0

11.已知函數(shù)/(幻=,,八，則/(/(0))=一

2-l,x>0

【答案】1

【分析】

推導(dǎo)出/(0)=1,從而/(/(o))=/(l)，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

x+1,X,,0

解：函數(shù)/(x)=2,八，：./(0)=0+1=1,

2-l,x>0

/(/(0))=/(1)=2-1=1.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件).若這

兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x+y的值為.

7

甲組乙組

65--9-

25617y

x478

【答案】8

【分析】

已知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，可以求出》；甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù),

根據(jù)平均數(shù)的定義可列式求出工.

【詳解】

由題意易知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65,由于兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得y=5；甲組數(shù)據(jù)的

平均數(shù)等于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以可得

56+62+65+70+X+7459+61+67+65+78

55'

x=3,，x+y=8.

所以本題答案為8.

【點睛】

本題考查了根據(jù)莖葉圖求平均數(shù)，根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)求原始數(shù)據(jù)，考查/計算能力,

屬基礎(chǔ)題.

13.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項為s〃，若S‘=3,$5=4,則。9=.

【答案】:7

【分析】

4x3,.,,?

S=4a+------d=4a.+6d=3

4t21

首先根據(jù)題意列出不等式組《，解不等式可得到四,

經(jīng)d=5q+10d=4

2'

d,再計算6即可.

【詳解】

4x3

S4=4tf|+d=4%+6d=3

F31

由題知：，,解得：a=-,d=—

5x4}510

+——J=5?,+10J=4

2

77

%=q+8d=—.故答案為：—

55

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，同時考查學(xué)生的計算能力，屬于簡單題.

8

14.已知正實數(shù)a,人滿足2。+匕=3,則生土^+發(fā)匚的最小值是.

a〃+2

13

【答案】y

【分析】

,2/+1b~—2,1（〃+2）“—4（〃+2）+2小珀匚工4巾甘小丁皿一口n—r「人〃

由--------1------=2an—+---------------------,代換后利用基本不等式即可求解.

ab+2aZ?+2

【詳解】

正實數(shù)a,b滿足2a+b=3,

2a+b+2=5，

則y2a+—32"b+2+L」4

ab+2ab+2ab+2

I2112

=!+-+----=1+—(-+-----)[2a+(b+2)J

ab+25ab+2

1b+24aI,“八13

5ab+25V)5

"ilLU當(dāng)—=—11.2a+b=3即a=-.b=，時取等’，：,

ab+242

即鋁+痣的最小值吟.

13

故答案為M

【點睛】

在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊''等技巧，使其滿足基本不等式中

“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、”等（等號取得的

條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤

15.某校在高一年級一班至六班進(jìn)行了“社團(tuán)活動''滿意度調(diào)查（結(jié)果只有“滿意”和“不

滿意”兩種），從被調(diào)查的學(xué)生中隨機抽取了50人，具體的調(diào)查結(jié)果如表：

班號一班二班三班四班五班六班

頻數(shù)451181012

滿意人數(shù)328566

現(xiàn)從一班和二班調(diào)查對象中隨機選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查，則選中的4人中恰有2人不滿

意的概率為;若將以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)中學(xué)生持滿意態(tài)度的頻率視為概率，在高

一年級全體學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，記其中滿意的人數(shù)為X,則隨機變量X的數(shù)學(xué)期

9

望是____________

【答案】-

215

【分析】

第一空：利用古典概型的概率公式計算即可；

第二空：X的所有可能取值為0,1,2,3,求出分布列，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)期望計算公式即

可得出.

【詳解】

解：第一空：從一班和二班調(diào)查對象中隨機選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查，則選中的4人中恰

C2c210

有2人不滿意的概率為P==~；

第二空：在高一年級全體學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生,

3+2+8+5+6+63

其滿意概率為p=

505

X的所有可能取值為0,I,2,3.

36

/一=1）=唱圖

125

分布列如下：

X0123

8365427

p

125125125125

36c54c279…109

E（X）=---i-2x---i-3x---=一.故答案為：—；—.

,）1251251255215

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力,

屬于中檔題.

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分14分）

在ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,Ac,且2"?瓦二照￡

cosA

io

（1）求角A的值;

（2）若3=邊上的中線AM=近，求ABC的面積.

6

【答案】（1）A=-；（2）73.

6

【分析】

（1）利用正弦定理、兩角和的正弦公式化簡題設(shè)中的邊角關(guān)系可得

（2）結(jié)合（1）可得A3C為等腰三角形，在八4。0中利用余弦定理可求C4=2,

從而可求A6c的面積.

【詳解】

,,,士十五…可?曰2sin8-GsinCcosC

（1）由正弦定理可得-----尸---------=------,

V3sinAcosA

整理得到2sinBcosA=>73（sinAcosC+cosAsinC）=V3sinB.

因為Be（O,乃），故sinB>0,故cosA=#，

因為A￡（0,;T）,故4=工.

6

（2）因為A=工，8=f,故。=—三，故A3C為等腰三角形且4C=BC.

663

由余弦定理可得AM?=V+L-2x'xxxcos生=2/,故AM=EX=J7，

42342

所以X=2,故S/、A8C=gx2xG.

【點睛】

在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定

理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式，另外解三角形時注意分析已知哪

些條件，這樣就可以選擇合適的定理來解決問題.

17.（本小題滿分15分）

如圖，在四棱柱ABC?！狝gGA中，側(cè)棱AA_L底面ABC。，ABI/CD,ABLAD,

11

AD=CO=1,AA=A3=2,E為4A的中點.

(1)證明：ICE.

(2)求二面角g—CE—G的正弦值；

(3)設(shè)點M在線段GE上，且直線A"與平面A。。4所成角的正弦值是也，求線

9

段AM的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)叵;(3)巫.

74

【分析】

(1)由題意可知，AD-AB，Ad兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐

uumi

標(biāo)系，求出4G和CE，由4G￡七=0得到4a_LCE；

(2)求出平面耳CE和平面CEG的一個法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利

用同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出其正弦值；

(3)利用共線向量基本定理把M的坐標(biāo)用E和G的坐標(biāo)及待求系數(shù)之表示，求出平

面ADR4的一個法向量，利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADDX\所成

角的正弦值，代入"求出力的值，則線段AM的長可求.

9

【詳解】

(1)以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

依題意得A(O,O,0,3(0,0,2),C(l,0,l),4(。22),C,(1,2,1),E(0,l,0).

UU1

則4G=(1,0,T)，C￡=(-l,l,-l),

BjC,_LCE；

12

(2)4cKU)，

設(shè)平面B,C￡的法向量為m=(x,y,z)，

,m-B,C=x-2y-z=0”,c

則｛1',取z=l，得x=—3,y=-2.

m-CE=-x+y-z=O

rn=(-3,-2,1).

由(I)知4GLeE,又CG，B,C,,4G1平面CEC],

故4G=(1,0,-1)為平面。石。1的一個法向量，

于是儂7r-乎?

從而sin(九4c?)=Jl—(—乎門=耳?

二面角5,-CE-C,的正弦值為亙；

7

(3)AE=(0,1,0),Eg=(1,1,1),

設(shè)==(44%),噌收1，

有AM=AE+EM=(Z,Z+1,Z).

ULU

取AB=(0,0,2)為平面A。4A的一個法向量，

設(shè)。為直線AM與平面ADD^所成的角，

I/\|?麗222

則sin6=cos(AM,AB)[=----------L=/——二.=

1'"|AM|.|AB|7^2+M+1)2+/t2x2J342+2/1+1

.口26

于是I=—".

5/342+24+19

解得％=J_(噴收1).

4

喇=回=爐/A乎.

二線段AM的長為邁.

4

13

【點睛】

本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了線面角和二面角的求法，運用了空間向量法,

運用此法的關(guān)鍵是建立正確的空間坐標(biāo)系，理解并掌握利用向量求線面角及面面角的正

弦值和余弦值公式，屬于中檔題.

18.(本小題滿分15分)

已知橢圓C:*+}=1(a泌＞0)經(jīng)過點(石,1),且離心率e=*.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/與橢圓C相交于48兩點,且滿足/408=90。(0為坐標(biāo)原點),求|/1用的取值范

圍.

【答案】(1)三+工=1:(2)[婭,26].

843

【分析】

(1)點的坐標(biāo)代入可得一個關(guān)系式3+《=1,離心率得￡=也，結(jié)合/=從+。2

a-lra2

可求得a,b,得橢圓方程；

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時，設(shè)直線/為:x=m,代入計算當(dāng)直線的斜率存在時,

設(shè)直線為：y=Ax+，"(x,y),8(x',y'),代入橢圓中整理，由韋達(dá)定理得X+代入

OA-OB=0得出N機的關(guān)系，計算|A8|，用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的取值范圍得出

結(jié)論.

【詳解】

(1)由題意:e=￡=立,3+4=1,〃2=6+,2,解得:出=8,按=4,所以橢圓的方程為：

a2a-b-

14

22

—+—=i

84

"72

(2)當(dāng)直線/的斜率不存在時,設(shè)直線/為:,>'),代入橢中：)2=4(1——),

8

N4OB=90°,QA?OB-°,x'+yyr=fn2-4(1—)=0,/.m2——

83

,"DII4li/篦24A/6

..\AB\=\y-y|=4Jl---=^—

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為:y=fci+，〃,A(x,)%B(x',y'),代入橢圓中整理得:

(1+242)爐+4如?/+2/7?2-8=0,

=3，+hg+x,)+，"2

1+2左21+2左2

2k2nr-Sk2-4k2Mm2+2k'm2nr-8k2

---------------------1---------------1-------------------=--------------,

1+2&2l+2k2l+2k21+2-

，f22

***ZAOB=90°J^xx+yy=0,/.2m-8+/n-8X=0,，3加2=8+8/,

\AB\

=717旦/(升3尸皿，：/7淳也2+4;病=生卮El1__________1

、1+2公3\2(1+2/)2-1+2左2

令t=]+2%2S(0,11，所以IABI=J]-;,?—)'

119

當(dāng)f=不,g(f)=l-7(盧-。最大為三上1時,g⑺取得最小值1,

22o

綜上所述：|AB|的取值范圍|生&,26I.

3

【點睛】

本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交中的范圍問題.解決圓錐曲線中的取

值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等

量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

15

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)

的取值范圍.

19.(本小題滿分15分)

已知等差數(shù)列｛??｝的前〃項和為S“，且4=2,邑=30,數(shù)列也｝的前n項和為Tn,

且7；=2"-l.

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式.

b?.、

(2)設(shè)%=他+])(廠+[),數(shù)列｛%｝的前"項和為加“，求

(3)設(shè)d.=(-l)"(a也+lnS“)，求數(shù)列｛4｝的前〃項和.

【答案】⑴4=2〃；b“=21'(2)一手\⑶

(-irin(n+l)-1-^l-(-2r+,

【分析】

(1)由題意結(jié)合等差數(shù)列的前〃項和公式、通項公式即可求得??；由仇,與7；間的關(guān)

系可得"；

(2)由題意%由裂項相消法即可得解；

2,,-1+12"+1

(3)由題意將4分為(-l)"a也與(-l)”lnS,的兩部分，分別利用錯位相減法、裂項相

消法求出其前〃項和A“、Bn,即可得解.

【詳解】

(1)數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，S,為其前〃項和，q=2,

5x4

S5=56H—-—d=10+10d=30,:.d=2,4=q+(〃-l)d=2〃；

對數(shù)列｛2｝,當(dāng)〃時，4=1=2|—1=1,

當(dāng)〃22時，2=7；-7；-二(2"—1)—(2"T-1)=2"T,

當(dāng)咒=1時也滿足上式，...2=2"，

1

_bn_2"-

(2)由題意一3,+1)(%+1廠(2〃T+1)(2"+1)

16

(2"+1)—(2"，1)=]_______

-(2"-'+1)(2,,+1)-2"-1+1-2"+1'

?.M"=uP°+_l_2'q+lJ+fU'-+_l_22M+lJ+-4(—2"T_+1_2H+1J22"+l

⑶由題意為=(-1)"(。也+lnS“)=(-l)Za,+(-l)"lnS“，

4+an_(2+2n)n

s“=n(ji+1),lnSz/=In+1)]=\nn+ln(n+1),

n1

而(~l)anbn=(-1)"-2n.2"-=n.(-2)"

設(shè)數(shù)列｛(一1)"。/"｝的前〃項和為A,，數(shù)列｛(-D"ln5”｝的前n項和為B?,

則A,=1-(-2)'+2.(-2猿+3?(-2)3++〃.(一2)”①,

-2A=1?(—2)2+2?(—2>+3?(―2/++(〃—1).(—2)”+”?(一2)"i②,

1,,+,

①一②得3A；1=1-(-2)+(一2>+(—2)3++(-2)"—n-(-2)

當(dāng)”為偶數(shù)時，

Bn=-(In14-In2)+(In2+In3)-(In3+In4)++[Inn+ln(n+1)]=ln(〃+1)；

當(dāng)〃為奇數(shù)時，

Bn=-(In1+In2)+(In2+In3)-(In3+In4)4--[lnn+ln(?4-l)J=-ln(n+l)；

由以上可知紇=(-l)”ln5+l)

所以數(shù)列｝的前〃項和A,+B“=(-l)nln(?+1)---十一?(一2)用.

【點睛】

本題考查了利用基本量運算求等差數(shù)列的通項及利用％與S”的關(guān)系求數(shù)列通項，考查

了裂項相消法、錯位相減法及分組求和法求數(shù)列前〃項和的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.(本小題滿分15分)

設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l),g(x)=ex-l.

(1)求函數(shù)g(x)的圖象在x