巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)-雙線性變換法

課程設(shè)計(jì)任務(wù)書2023—2023學(xué)年第一學(xué)期專業(yè)：通信工程學(xué)號(hào)：080110509姓名：郭威課程設(shè)計(jì)名稱：數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)題目：巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)—雙線性變換法完成期限：自2023年1月3日至2023年1月9日共1周一．設(shè)計(jì)目的1．穩(wěn)固所學(xué)的理論知識(shí)。2．提高綜合運(yùn)用所學(xué)理論知識(shí)獨(dú)立分析和解決問題的能力。3．更好地將理論與實(shí)踐相結(jié)合。4．掌握信號(hào)分析與處理的根本方法與實(shí)現(xiàn)。5．熟練使用MATLAB語言進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。二．設(shè)計(jì)內(nèi)容四階歸一化低通巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)為，編寫MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)從設(shè)計(jì)3dB截止頻率為的四階低通巴特沃斯數(shù)字濾波器。三．設(shè)計(jì)要求設(shè)采樣周期為，用雙線性變換法進(jìn)行設(shè)計(jì)；繪出濾波器的的幅頻響應(yīng)曲線并分析所得結(jié)果是否滿足技術(shù)指標(biāo)；和同組另一同學(xué)采用的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的結(jié)果進(jìn)行比擬分析。四．設(shè)計(jì)條件計(jì)算機(jī)、MATLAB語言環(huán)境五、參考資料[1]丁玉美，高西全.數(shù)字信號(hào)處理.西安：電子科技大學(xué)出版社，2006.[2]陳懷琛，吳大正，高西全.MATLAB及在電子信息課程中的應(yīng)用.北京：電子科技大學(xué)出版社，2003.[3]樓順天，李博苗.基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)一信號(hào)處理西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1998.指導(dǎo)教師〔簽字〕：教研室主任〔簽字〕：批準(zhǔn)日期：年月日摘要數(shù)字濾波器是一種用來過濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)字處理來到達(dá)頻域?yàn)V波的目的。本文是設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器。根據(jù)濾波器的設(shè)計(jì)思想，通過雙線性變換法將巴特沃斯模擬低通濾波器變換到數(shù)字低通濾波器，利用MATLAB繪制出數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)幅頻函數(shù)曲線。關(guān)鍵詞：數(shù)字濾波器；雙線性變換法；巴特沃斯；MATLAB目錄1課題描述12設(shè)計(jì)原理12.1IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理12.2巴特沃斯低通濾波器的原理22.3雙線性變換法33設(shè)計(jì)過程64結(jié)果分析8總結(jié)11參考文獻(xiàn)121課題描述數(shù)字濾波器是一種用來過濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來到達(dá)頻域?yàn)V波的目的。可以設(shè)計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，讓它滿足一定的要求，從而對(duì)通過該系統(tǒng)的信號(hào)的某些特定的頻率成分進(jìn)行過濾，這就是濾波器的根本原理。如果系統(tǒng)是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，那么濾波器稱為模擬濾波器。如果系統(tǒng)是一個(gè)離散系統(tǒng)，那么濾波器稱為數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的運(yùn)算處理。輸入數(shù)字信號(hào)〔數(shù)字序列〕通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)那么，使其按照這個(gè)規(guī)那么完成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性:其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性〔或稱為頻譜特性〕,是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的，適中選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。2設(shè)計(jì)原理2.1IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般是利用目前已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來進(jìn)行設(shè)計(jì)，通常采用模擬濾波器原型有butterworth函數(shù)、chebyshev函數(shù)、bessel函數(shù)、橢圓濾波器函數(shù)等。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：①按照一定規(guī)那么把給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)；②根據(jù)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)為響應(yīng)的模擬低通濾波器；③跟據(jù)脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器；④如果要設(shè)計(jì)的濾波器是高通、帶通或帶阻濾波器，那么首先把它們的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)為數(shù)字低通濾波器，最后通過頻率轉(zhuǎn)換的方法來得到所要的濾波器。在MATLAB中，經(jīng)典法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器主要采用以下步驟：模擬濾波器原型buttap,cheb1ap模擬濾波器原型buttap,cheb1ap頻率變換模擬離散化bilinear,impinvarIIR數(shù)字濾波器圖2.1IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟2.2巴特沃斯低通濾波器的原理巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是同頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最為平坦，沒有起伏，而在組頻帶那么逐漸下降為零。在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波特圖上，從某一邊界見頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐漸減少，趨向于負(fù)無窮大。一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻20分貝，二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝，三階的衰減率為每分貝18分貝，如此類推，巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下降，并且濾波器的結(jié)束越高，在組頻帶振幅衰減速度越快，其他濾波器高階的振幅對(duì)角頻率圖和低階數(shù)的振幅對(duì)角頻率有不同的形狀。上述函數(shù)的特點(diǎn)是等距離分布在半徑為的圓上。因此，極點(diǎn)用下式表示為的表示式：為了使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為令,稱為歸一化頻率，稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為式中，，為歸一化極點(diǎn)，用下式表示:2.3雙線性變換法雙線性變換法是將平面壓縮變換到某一中介平面的一條橫帶里，再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此帶變換到整個(gè)z平面上去，這樣就使平面與平面之間建立一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性。為了將平面的軸壓縮到平面的軸上的到一段上，可以通過以下的正切變換來實(shí)現(xiàn)：這樣當(dāng)由經(jīng)變化到時(shí)，由經(jīng)過0變化到，也映射到了整個(gè)軸。將這個(gè)關(guān)系延拓到整個(gè)平面和平面，那么可以得到再將平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面，即令得到同樣對(duì)z求解，得到這樣的變換叫做雙線性變換。為了驗(yàn)證這種映射具有s平面的虛軸映射到z平面單位圓上的特性，考慮,，得除了使s平面的虛軸映射到單位圓上之外，s平面的左半局部映射到單位圓的內(nèi)部，s平面的右半局部映射到單位圓的外部。如下圖圖2.2雙線性變化映射關(guān)系示意圖觀察式子，發(fā)現(xiàn)的實(shí)部為負(fù)時(shí)，因子的幅度小于1，相當(dāng)于單位圓的內(nèi)部。反之，當(dāng)?shù)膶?shí)部為負(fù)時(shí)，該比值的幅度大于1，相當(dāng)于單位圓的外部。這樣就可以看出使用雙線性變換可從穩(wěn)定的模擬濾波器得到穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。雙線性變換法還防止了使用脈沖響應(yīng)不變法所遇到的混疊問題，因?yàn)樗哑矫娴倪@個(gè)虛軸映射到平面的單位圓上。然而，付出的代價(jià)是在頻率軸上引入了失真。因此，只有當(dāng)能容忍或補(bǔ)償這種失真時(shí)，使用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的方法才是實(shí)用的。僅在零頻率附近時(shí)與之間的頻率變換關(guān)系接近于線性關(guān)系，所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變。對(duì)于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸變來加以校正，也就是將臨界頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的頻率上。通過的關(guān)系變換成一組模擬頻率。圖2.3雙線性變化法的頻率關(guān)系為了克服沖擊響應(yīng)不變法產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象，我們需要使平面與平面建立一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，即求出，然后將其代入就可以求得，即3設(shè)計(jì)過程四階歸一化低通巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)為，編寫MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)從設(shè)計(jì)3dB截止頻率為的四階低通巴特沃斯數(shù)字濾波器。步驟一：將設(shè)計(jì)內(nèi)容題所給歸一化巴特沃斯低通濾波器以3dB截止頻率為進(jìn)行去歸一化。步驟二：用雙線性變化法將低通模擬濾波器變換為低通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)程序如下：clearall;clc;closeallT=1;fs=1/T;N=4;wc=pi/2;omegach=2*tan(wc/2)/T;M=1;N=[1,2.6131,3.4142,2.6131,1][h,w]=freqs(M,N,512);%模擬濾波器的幅頻響應(yīng)subplot(2,1,1);plot(w,20*log10(abs(h)));grid;axis([0,10,-90,0])xlabel('Hz');ylabel('幅度');title('歸一化模擬低通濾波器');[Ms,Ns]=lp2lp(M,N,omegach);%對(duì)低通濾波器進(jìn)行頻率變換[hs,ws]=freqs(Ms,Ns,512);%模擬濾波器的幅頻響應(yīng)subplot(2,1,2);plot(ws,20*log10(abs(hs)));grid;axis([0,10,-90,0])xlabel('Hz');ylabel('幅度');title('去歸一化模擬低通濾波器');[Mz,Nz]=bilinear(Ms,Ns,1/T);%對(duì)模擬濾波器雙線性變換[h1,w1]=freqz(Mz,Nz);%數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)figureplot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));grid;xlabel('ω/π');ylabel('幅度(dB)');title('數(shù)字低通濾波器');axis([0,1,-160,0])運(yùn)行結(jié)果如下列圖所示：圖3.1模擬濾波器的幅頻響應(yīng)圖形圖3.2低通數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)圖形4結(jié)果分析比擬脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的低通濾波器和雙線性法設(shè)計(jì)的低通濾波器進(jìn)行比擬：優(yōu)點(diǎn)：是頻率坐標(biāo)變換是線性的，即，如果不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器會(huì)很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率特性。另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域逼近性好。缺點(diǎn)：是會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象適合低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。雙線性變換法防止了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象?？梢栽O(shè)計(jì)高通、帶阻濾波器。模擬頻率與數(shù)字頻率不再是線性關(guān)系，所以一個(gè)線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得到的數(shù)字濾波器不再保持原有的線性相位了。與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到S平面與Z平面的單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，整個(gè)軸單值對(duì)應(yīng)于單位圓一周，這個(gè)關(guān)系就是式所表示的，其中和為非線性關(guān)系。如圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關(guān)系，進(jìn)一步增加時(shí)，增長變得緩慢，時(shí)(終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻局部超過折疊頻率而混淆到低頻局部去的現(xiàn)象。雙線性變換法的缺點(diǎn)：與的非線性關(guān)系，導(dǎo)致數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。例如，一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是線性關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器。假設(shè)那么另外，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，濾波器就不再有線性相位特性。雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶局部要求逼近一個(gè)衰減為∞的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。置換過程：頻響：這些都比脈沖響應(yīng)不變法的局部分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對(duì)于IIR的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變換?？偨Y(jié)本次設(shè)計(jì)使用了濾波器設(shè)計(jì)中的最根本的方法：雙線性變換法。濾波器設(shè)計(jì)原理來比擬簡單，在MATLAB中有專門的函數(shù)可用來調(diào)用，實(shí)現(xiàn)濾波器的。由于對(duì)MATLAB了解的不多，甚至連根本的函數(shù)語句都得查書才能知道，這就大大增加了我們?cè)O(shè)計(jì)的時(shí)間。有時(shí)在調(diào)用函數(shù)時(shí)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，得不到正確結(jié)果，程序運(yùn)行時(shí)也會(huì)有很多的錯(cuò)誤。這讓我深深體會(huì)到，要想正確得出一個(gè)波形，需要花很多的時(shí)間和很大精力。個(gè)人感覺濾波器的設(shè)計(jì)比擬難，而且設(shè)計(jì)內(nèi)容龐大，使得時(shí)間非常緊張。不過收獲特別大，在不斷錯(cuò)誤的過程中，我學(xué)到了新的知識(shí)，同時(shí)也磨練了自己的意志。做完本設(shè)計(jì)，