六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題 - 奧數(shù)培優(yōu)：幾何與應(yīng)用題 （解析版）全國(guó)通用

小學(xué)奧數(shù)幾何與應(yīng)用題

姓名分?jǐn)?shù)

模型一：同一三角形中，相應(yīng)面積與底的正比關(guān)系：

即：兩個(gè)三角形高相等，面積之比等于對(duì)應(yīng)底邊之比。

S,：S2=a：b;

模型一的拓展：等分點(diǎn)結(jié)論（“鳥頭定理”）

711

如圖，三角形AED占三角形ABC面積的WXL=上

346

模型二：任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定

①Si:S2=S4：S3或者S,XS3=S2XS4

②②A0:0C=(S,+S2):(S4+S3)

模型三：梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）

22

①S,:S3=a:b

②Si：S3：S2：S4=a?：b?：ab：ab;

③S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a+b）

模型四：相似三角形性質(zhì)

①￡.，=￡」

ABCH

②&：S2=a:A'

模型五：燕尾定理

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGC：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB；

【例1】（難度等級(jí)派※※）

如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，陰影部分是直角三角形且面積為54,0D的

長(zhǎng)是16,0B的長(zhǎng)是9.那么四邊形OECD的面積是.

【分析與解】

連結(jié)DE,依題意

S=J_xBOxAO=J.x9x=54,

MOB22

得A0=12.于是可推知

S=-xDOxAO=—xl6xl2=96,

MOD22

又因?yàn)椋?。產(chǎn)S”=54=1x16x0^,

所以0E=6。.

4

1133

這樣可得S.=-XBOXEO=-X9X6-=30-從而有

ABOE2248

S/sECD=S^BCD_S&BOE

【例2】（難度等級(jí)派※※）

如下左圖.將三角形ABC的BA邊延長(zhǎng)1倍到D.CB邊延長(zhǎng)2倍到E,

AC邊延長(zhǎng)3倍到F.如果三角形ABC的面積等于1,那么三角形DEF

的面積是.

【分析與解】

連結(jié)AE、BF、CD（如上右圖）.由于三角形AEB與三角ABC的高相等，

而底邊EB=2BC,所以三角形AEB的面積是2.同理，三角形CBF的面

積是3,三角形ACD的面積是1.

類似地

三角膨AED的面積=三角形AEB的面積=2.

三角形BEF的面積=2X（三角形CBF的面積）=6.

三角形CFD的面積=3X（三角形ACD的面積）=3.

于是三角形DEF的面積等于三角形ABC,AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD的面積之和，即

1+2+3+1+2+6+3=18.

【例3］（難度等級(jí)派※※※）

如圖，三角形ABC的面積是1平方厘米，且BE=2EC,F是CD的中點(diǎn).那

么陰影部分的面積是（）平方厘米.

【分析與解】

21

SABE=*（平方厘米），SACF=-（平方厘米）?

.3?.3

又SACF=SADF,SBCF=SBDF,，

=

所以ACF+S=（平方厘米），

SBCF2SABC2

3/17

BCF）-S

于是SBCF（SACF+SACE

1-1=1（平方厘米）.

236

又SCFF=:SBEF=1x,=」~（平方厘米），

CFF2BEF2612

1+2=4（平方厘米）

故SBDF=SBCF=SBEF+SCEF=

6124

因此,S陰影=SBDF+S|BEF="*"T~~（平方厘米）.

4o12

【例4】（難度等級(jí)派※※※）

如圖，己矢口AE」AC,CD=-BC,BF=】TB,那么

546

三角形DE*J面積_

三角形ABQ勺面積

【分析與解】

連結(jié)輔助線AD.因?yàn)镃D=-

4

S^ACD1

Be,所以-----=一（等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比）

S.BC4A

q5

同理2MCD_=±

5兇8c4

從而S&CDE=5^AABC

連結(jié)輔助線BE、CF,同理可證

1

s

Q=-

°ABDF8△ABC

e_lc

DAAEF-60'AABC

1111

s一kr二里

所以2E

s

°AABC1120

【例5】（難度等級(jí)※※※）

4/17

如圖，BD是梯形ABCD的一條對(duì)角線，線段AE與梯形的

一條腰DC平行，AE與BD相交于。點(diǎn).已知三角形BOE

2

的面積比三角形AOD的面積大4平方米，并且EC=-BC.

5

求梯形ABCD的面積.

【分析與解】

三角形ABE的面積比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD與三角形ACD面積相等（同底等

高），因此也與三角形ACE面積相等，從而三角形ABE的面積比三角形ACE大4平方米.

272

但EC=-BC,所以三角形ACE的面積是三角形ABE的——=一，從而三角形ABE的面積是

55-23

4。（1一±）=12（平方米），

3

梯形ABCD的面積

=12X（1+±X2）=28（平方米）

【例6】（難度等級(jí)派※※※）

如圖，平行四邊形的花池邊長(zhǎng)分別為60米與30米.小明和

小華同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，沿著平行四邊形的邊由A-B-C-DT

A…順序走下去.小明每分鐘走50米，小華每分鐘走20米，

出發(fā)5分鐘后小明走到E點(diǎn)，小華走到F點(diǎn).連結(jié)AE、AF,則四邊形AECF的面積與平

行四邊形ABCD的面積的比是.

【分析與解】

小明5分鐘共走了

50X5=250（米），

這時(shí)，小明走過了路線是ATBfCTDTATBTE,其中CE=20米（如'AD

圖）.小華5分鐘共走了20X5=100（米），米米

這時(shí)，小華走過的路線是ATBTCTF,其中CF=10米（如圖）.連結(jié)J-------------米

輔助線AC,

S^AEC：S^ABC=20：60=1:3,

SAACF:SAACD=10：30=I:3.

所以SAAEC+SAACF=-(SAABC+SAACD)>

即四邊形AECF與平行四邊形ABCD的面積之比是1:3.

【例7】（難度等級(jí)派※）

圖中正方形周長(zhǎng)是20厘米.那么圖形的總面積是平方厘米.

【分析與解】

從圖中可以看出，正方形的邊長(zhǎng)也是圓的半徑.

由此可知這兩個(gè)圓是等圓.因?yàn)檎叫蔚拿總€(gè)角都是90?

所以圖中的兩個(gè)扇形的圓心角都是270。.兩個(gè)扇形的面積是：

314x52

-———x270X2=117.75（平方厘米）.

360

正方形的面積是5X5=25（平方厘米）.

圖形的總面積是

117.75+25=142.75（平方厘米）.

【例8】（難度等級(jí)※派）

如圖中，陰影部分的面積是5.7平方厘米，三角形ABC的面積是.

平方厘米.（〃取3.14）

【分析與解】

根據(jù)對(duì)稱性，可知原圖中陰影部分的面積是

C

%R2+4—R?+2=[（乃-2）+4]R2=Q285R2

45-

根據(jù)題意，有0.285R2=5.7X2,所以R2=40,從而

,11

SAABC=R-x-=40x-=10(平方厘米).AB

44

【例9］（難度等級(jí)派※※）A

圖中，已知圓心是0,半徑r=9厘米，Z1=Z2=15°,那么陰影部分的面積是

平方厘米.〃（g3.14）

【分析與解】

因?yàn)閳A的半徑都相等，于是0A=0B.在等腰三角形A0B中兩個(gè)底角N1=N2=15°.又知道三

角形內(nèi)角之和是180°,所以，三角形A0B的頂角

ZA0B=180°—（15°+15°）=150°.

同理NA0C=150°.因此，

NB0C=360°-（150°+150°）=60°

這就是說，陰影部分扇形的面積是圓面積的六分之一，即

1,1,

-XXY2?-X3.14x92=42.39（平方厘米）.

66

【例10】（難度等級(jí)※※※）1版

圖中陰影部分的面積是一平方厘米.（乃仁3.14）

【分析與解】

半圓面積是

lx3.14x52=39.25（平方厘米），

2Ac

北”……，幅7

△ABC面積是，A/

\R

（?1x10x10=50平方厘米）.

2

因此陰影面積是

39.25+39.25-50=28.5（平方厘米）.

【例11］（難度等級(jí)派※）

圖中兩個(gè)陰影部分面積的和是多少平方厘米?

【分析與解】

20

3.14x（二y+2=157（平方厘米），

2

3.14x（蛆了+2=100.48（平方厘米），

2

3.14x（Uy+2=56.52（平方厘米），

2

12X16+2=96（平方厘米），

157-96=61（平方厘米），

因此，陰影部分面積為

100.48+56.52—61=96（平方厘米）.

【例12］（難度等級(jí)派）

如右圖，ABCD是正方形.E是BC邊的中點(diǎn)，三角形ECF與三角

形ADF面積一樣大，那么三角形AEF（陰影部分）的面積是正方形

ABCD面積的百分之.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）

【分析與解】

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,因?yàn)槿切蜤CF與三角形ADF面積一樣大，

121

而EC=-,AD=1,所以CF=2XDF.從而CF=-,DF=-..

233

三角形AEF的面積

1-—x（—xl+—x—x2）=—=41.67%.

222312

即是正方形ABCD面積的百分之41.67.

【例13］（難度等級(jí)派※）

在圖中，已知矩形GHCD的面積是矩形ABCD面積的L,矩形

4

MI1CF的面積是矩形ABCD面積的,，矩形BCFE的面積等于3

6

8/17

平方米.矩形AEMG的面積等于平方米.

【分析與解】

因?yàn)镚M:MH=（1-1）:1=1:2,所以矩形AEFD的面積等于矩形

466

1］3

BCFE面積的即3X_=，（平方米）.

222

13

又因?yàn)锳G:AD=（1-_）：1=3:4,所以矩形AEMG的面積等于矩形AEFD面積的即

44

331

二（平方米）.

248

【例14］（難度等級(jí)派※※※※）

園林小路，曲徑通幽.如圖所示，小路由白色正方形石板和青、紅

兩色的三角形石板鋪成.問：內(nèi)圈三角形石板的總面積大，還是外

圈三角形的總面積大?請(qǐng)說明理由.

【分析與解】

兩個(gè)相接觸的正方形夾著一個(gè)外圈三角形石板和一個(gè)內(nèi)圈三角

形石板.如圖所示，ZEAF與NBAC互補(bǔ).

將ABAC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°補(bǔ)到三角形

EAD的位置.因?yàn)镹DAE+NEAF=180°,

所以D、A、F在一條直線上.

又AD=AC.從而AD=AF.可知，EA為三角形EDF的DF邊上的中線，于是三角形EAF與三角

形EAD面積相等.也就是三角形EAF與三角形ABC面積相等.

由于兩個(gè)相接觸的正方形石板所夾的外圈三角形面積等于內(nèi)圈三角形面積，所以內(nèi)圈三角

形石板總面積等于外圈三角形石板的總面積.

【例15］（難度等級(jí)派※※）

圖中正六邊形ABCDEF的面積是54,AF=2PF,CQ=2BQ,求陰

影四邊形CEPQ的面積.

9/17

【分析與解】

如圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個(gè)小正三角形.根據(jù)平行

四邊形對(duì)角線平分平行四邊形面積，

△PEF面積=3,

△CDE面積=9.

四邊形ABQP面積=11.

上述三塊面積之和為3+9+11=23.

因此，陰影四邊形CEPQ面積為54-23=31.

【例16］（難度等級(jí)※※※）

已知四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為3,BE=1.5,AF=L求陰影

（劃線）部分的面積.

【分析與解】

延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于H,由于E是BC中點(diǎn)

所以BH=CD=3.

連DF,設(shè)DE與CF相交于G.

因?yàn)镃D：FH=3：(2+3)：3：5,所以DG:GH=3:5.

△DGF與ZiGHF的面積的比=DG:GH=3：5.

113

△ADH的面積一x3X(3+3)=9,AADF的面積=-x3xl=

222

所以4DGF的面積=9-二3=上15，4GHF的面15積5=725

2223+516

BEH的面積Jxl.5x3=2,所求面積是變-2=受.

2416416

【例17］（難度等級(jí)派※）

圖中ABCD是直角梯形，其中，AD=12厘米，AB=8厘米，BC=15

厘米.且三角形ADE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等.那

么三角形EBF的面積是平方厘米.

10/17

【分析與解】

直角梯形ABCD的面積是

（12+15）X8+2=108（平方厘米）.

因?yàn)槿切蜛DE、四邊形DEBF、三角形CDF的面積相等，并且這三個(gè)圖形的面積之和等于

梯形ABCD的面積.所以它們的面積都等于

108+3=36（平方厘米）.

在三角形ADE中，AD=12厘米，所以人￡=36+12*2=6（厘米）.

又知AB=8厘米，所以EB=8-6=2（厘米）.

因?yàn)槿切蜟DF的高=AB=8（厘米）.于是

FC=36+8X2=9（厘米）.

由于BC=15厘米，可知BF=15-9=6（厘米）.

因?yàn)镹B=90°（g2,所以三角形EBF的面積是

2

-EB?BF=2X6+2=6（平方厘米）.

2

【例18］（難度等級(jí)派※※）AED

正方形ABCD的面積是160平方厘米，連接這個(gè)正方形4條

F

邊的中點(diǎn)，又得到一個(gè)正方形EFGH.像這樣重復(fù)幾次后得到

下圖，圖中涂黑色部分的面積是一平方厘米.

B

【分析與解】

白色的三角形分為三層：

第I層的面積占總面積的L；

2

第2層的面積占總面積的=

428

第3層的面積占總面積的_Lx_L=_L；

16232

121

一共占—十—+——=—.

283232

所以黑色部分占總面積的涂黑色的面積是

3232

160x11=55（平方厘米）.

32

11/17

【例19］（難度等級(jí)※※※※）

如圖，三個(gè)一樣大小的正方形放在一個(gè)長(zhǎng)方形的盒內(nèi)，A和B是

兩個(gè)正方形的重疊部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是

矩形，它們的面積比是A：B：C：D：E=l：2：3：4：5,那么

這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之比是.

【分析與解】

為統(tǒng)一起見，對(duì)圖中的矩形，橫向稱為長(zhǎng)，縱向稱為寬.因?yàn)锳

與B的寬相等，所以設(shè)A的長(zhǎng)為x,則B的長(zhǎng)為2x（見左上圖）.因

為C:D:E=3:4：5,C、D、E的寬相等，所以設(shè)C的長(zhǎng)為3y,

則D、E的長(zhǎng)分別為4y和5y.因?yàn)閳D中的三個(gè)正方形相同，邊長(zhǎng)

相等，于是得到5y+x=2x+4y,

化簡(jiǎn)得x=y.由此推知，若A的長(zhǎng)為1,則B、C、D、E的長(zhǎng)依次

為2、3、4、5（見右上圖），正方形的邊長(zhǎng)為6,大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為

6X2+3=15.因?yàn)锳與C面積之比與長(zhǎng)之比都是1:3,所以它們

的寬應(yīng)相等，同為正方形邊長(zhǎng)的一半，即64-2=3,所以大長(zhǎng)方形的寬為6+3=9,長(zhǎng)與寬之

匕匕為15:9=5:3.

【例20］（難度等級(jí)※※派）

五環(huán)圖由內(nèi)圓直徑為8,外圓直徑為10的五個(gè)圓環(huán)組成，其

中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等，已知五

個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是132.5,求每個(gè)小曲邊四邊形的面積（圓

周率〃取3.14).

【分析與解】

每個(gè)圓環(huán)的面積是乃（52-42）=9〃

如果五個(gè)圓環(huán)彼此沒有重合的部分，則它們的總面積是

5X9乃=45萬.

12/17

因?yàn)槲瀛h(huán)蓋住的總面積是132.5.

所以每個(gè)小曲邊四邊形的面積是

1111

【例21](難度等級(jí)※※※)

已知四邊形ABCD是直角梯形，上底AD=8厘米，下底BC=10

厘米，直角腰CD=6厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，

2

BF=-BC,G為DC上的點(diǎn)，三角形DEG的面積與三角形CFG

3

的面積相等.那么，三角形ABG的面積是平方厘米.

【分析與解】

由題意可得：

IxEDxDG=1XCGXFC

22

FC=10X(1—2)=12(厘米)，ED=4(厘米)

33

CGED4,36

DG-FC-io"10-5’

DG=6^(1+-)=2—(厘米)，

511

S+S

ADGBCG=（2+3）sDEG=5x]]=27

s梯形ABCD=gx（8+10）x6=54（平方厘米）.

所以三角形ABG的面積是：

54-27a=26上（平方厘米）.

1111

【伊J22].A和B兩個(gè)數(shù)的比是8：5,每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，試求這兩個(gè)

數(shù).

【分析與解】

方法一：設(shè)A為8x,則B為5x,于是有(8x-34):(5x-34)=2：1,x=17,所以A為136,

13/17

B為85.

方法二：因?yàn)闇p少的數(shù)相同，所以前后A、B的差不變，開始時(shí)差占3份，后來差占1

份且與B一樣多，也就是說減少的34,占開始的3-1=2份，所以開始的1份為344-2=17,

所以A為17X8=136,B為17X5=85.

【伊】23],近年來火車大提速，1427次火車自北京西站開往安慶西站，行駛至全程的

（?再向前56千米處所用時(shí)間比提速前減少了60分鐘，而到達(dá)安慶西站比提速前早了2

小時(shí).問北京西站、安慶西站兩地相距多少千米？

【分析與解】設(shè)北京西站、安慶西站相距多少千米？

（―x+56）：x=60：120,即（』x+56）：x=l：2,即x=Lx+112,解得x=1232.

111111

即北京西站、安慶西站兩地相距1232千米，

【仍】24],兩座房屋A和B各被分成兩個(gè)單元.若干只貓和狗住在其中.已知：A房第一

單元內(nèi)貓的比率（即住在該單元內(nèi)貓的數(shù)目與住在該單元內(nèi)貓狗總數(shù)之比）大于B房第一單

元內(nèi)貓的比率；并且A房第二單元內(nèi)貓的比率也大于B房第二單元內(nèi)貓的比率.試問是否整座

房屋A內(nèi)貓的比率必定大于整座房屋B內(nèi)貓的比率？

【分析與解】如下表給出的反例指出：對(duì)所提出問題的回答應(yīng)該是否定的.表中具體

寫出了各個(gè)單元及整座房屋中的寵物情況和貓占寵物總數(shù)的比率.

第一單元第二單元整座房屋

A貓1,狗0,貓率=1/1貓1,狗3,貓率=1/4貓2,狗3,貓率=2/5

B貓3,狗1,貓率=3/4貓0,狗1,貓率=0貓3,狗2,貓率=3/5

【伊125],家禽場(chǎng)里雞、鴨、鵝三種家禽中公籬與母籬數(shù)量之比是2：3,已知雞、鴨、

鵝數(shù)量之比是8：7：5,公雞、母雞數(shù)量之比是1：3,公鴨、母鴨數(shù)量之比是3：4.試求

公鵝、母鵝的數(shù)量比.

【分析與解】公雞占家禽場(chǎng)家禽總數(shù)的

15:(3x-x5+4x-x4)=45:46:(3x-x5+4x—x4)=46:47.—

333345

8113

-----------------X----------一,母雞占總數(shù)的士；

8+7+51+31010

公鴨占總數(shù)的一--X—,母鴨占總數(shù)的4；

8+7+53+42020

21332342

公鵝占總數(shù)的------（—+—）=—,母鵝占總數(shù)的一(---1---)=---，公鵝、母

3+21020203+2102020

鵝數(shù)量之比為』：2：3：2.

2020

14/17

M26],在古巴比倫的金字塔旁，其朝西下降的階梯旁6m的地方樹立有1根走子，其

影子的前端正好到達(dá)階梯的第3階（箭頭）.另外，此時(shí)樹立1根長(zhǎng)70cm自桿子，其影子的

長(zhǎng)度為175cm,設(shè)階梯各階的高度與深度都是50cm,求柱子的高度為多少？

【分析與解】70cm的桿子產(chǎn)生影子的長(zhǎng)度為175cm;

所以影子的長(zhǎng)度與桿子的長(zhǎng)度比為：175：70=2.5倍.

于是，影子的長(zhǎng)度為6+1.5+1.5X2.5=11.25,所以桿子的長(zhǎng)度為11.25+2.5=4.5m.

【伊】27],已知三種混合物由三種成分A、B、C組成，第一種僅含成分A和B,重量比為

3：5；第二種只含成分B和C,重量比為I：2；第三種只含成分A和C,重量之比為2：3.以

什么比例取這些混合物，才能使所得的混合物中A,B和C,這三種成分的重量比為3：5：2?

【分析與解】注意到第一種混合物種A、B重量比與最終混合物的A、B重量比相同，均為3：

5.所以，先將第二種、第三種混合物的A、B重量比調(diào)整到3：5,再將第二種、第三種混合物

中A、B與第一種混合物中A、B視為單一物質(zhì).

第二種混合物不含A,第三種混合物不含B,所以1.5倍第三種混合物含A為3,5倍第

二種混合物含B為5,即第二種、第三種混合物的重量比為5：1.5.

于是此時(shí)含有C為5X2+1.5X3=14.5,在最終混合物中C的含量為3A/5B含量的2

倍.有14.5+2-1=6.25,所以含有第一種混合物6.25.

即第一、二、三這三種混合物的比例為6.25：5：1.5=25：20：6.

【仍1281現(xiàn)有男、女職工共1100人，其中全體男工和全體女工可用同樣天數(shù)完成同樣

的工作；若將男工人數(shù)和女工人數(shù)對(duì)調(diào)一下，則全體男25天完成的工作，全體女工需36

天才能完成，問：男、女工各多少人？

【分析與解】直接設(shè)出男、女工人數(shù)，然后在通過方程求解，過程會(huì)比較繁瑣.

設(shè)開始男工為“1”，此時(shí)女工為“k”，有1名男工相當(dāng)k名女工.男工、女工人數(shù)對(duì)

調(diào)以后，則男工為“k”，相當(dāng)于女工"k"',女工為“I”.

15/17

有k?：1=36：25,所以k=9.

5

于是，開始有男工數(shù)為」一XI100=500人，女工600人.

1+k

【伊】29],有甲乙兩個(gè)鐘，甲每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢5分鐘，而乙每天比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快5分鐘,

在3月15日的零點(diǎn)零分的時(shí)候兩鐘正好對(duì)準(zhǔn).若已知在某一時(shí)刻，乙鐘和甲鐘時(shí)針與分針

都分別重合，且在從3月15日開始到這個(gè)時(shí)候，乙鐘