海南省儋州2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

x+y-l<0

1.若X,y滿足約束條件<x—y+3W0,則f+產(chǎn)的最大值是（）

x+2>0

A.-B.C.13D.J13

22

2.如圖，棱長為1的正方體ABC。-44GA中，P為線段A4的中點，分別為線段4G和棱與G上任意

一點，則2PM+0MN的最小值為（）

A.—B.V2C.73D.2

2

3.在ZVU5c中，|通+蔗|=|通一拓。，43=4,AC=3,則死在而方向上的投影是（）

A.4B.3C.-4D.-3

3

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的5=士，則①處應(yīng)填寫（）

i=is=6]

A.k<3?B.%,,3?C.k?5?D.k<5?

5.已知等差數(shù)列伍“}的前13項和為52,則(—2)%+%=()

A.256

6.若函數(shù)y=/(x)的定義域為M={X|-2WXW2},值域為N={y|0WyW2},則函數(shù)y=/(x)的圖像可能是()

7.在函數(shù)：①y=cos|2x|；②y=|cos尤|；③y=cos12x+[J；④了=tan[2尤一(]中，最小正周期為萬的所有

函數(shù)為()

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

8.己知拋物線C:V=2Px(p>0)的焦點為/，準線為/,點M,N分別在拋物線C上，且標+3標=0，直線MN

交/于點P,NN'±l,垂足為N',若AMNP的面積為24JJ,則E至！1/的距離為()

A.12B.10C.8D.6

2x-y>0

9.不等式組表示的平面區(qū)域為。，貝ij()

x+y—3<0

,

A.V（x,y）eQ,x+2y〉3B.3（x,>）eQ,x+2y〉5

C.V（x,y）eC,>3D.3（x,y）eQ,~>5

x—1x-1

10.已知定點￡（-4,0）,工（4,0）,N是圓。：/+?2=4上的任意一點，點耳關(guān)于點N的對稱點為M,線段6M

的垂直平分線與直線F2M相交于點p,則點p的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

11.正三棱柱ABC-A4G中，AA=&AB,。是8。的中點，則異面直線AO與4。所成的角為（）

12.如圖，平面a與平面￡相交于3C,AB^a,CDu/3,點A任3C,息D隹BC,則下列敘述錯誤的是（）

A.直線AO與BC異面

B.過AO只有唯一平面與BC平行

C.過點。只能作唯一平面與8C垂直

D.過AO一定能作一平面與BC垂直

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

,3t-4,x<0,

13.已知函數(shù)f(x)=〈八若關(guān)于x的不等式/(x)>a的解集為（。2,+0O）,則實數(shù)。的所有可能值之和為

log2x,x>0,

14.已知平面向量“、坂的夾角為期，且|￡+@=1,貝（137+27坂的最大值是

x--8+—rX=3s?

15.在直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為〈2

。為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為r（S為

y=26s

y=-

-2

參數(shù)）.

(1)求直線/和曲線C的普通方程；

(2)設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線/距離的最小值及此時P點的坐標.

16.在A4BC中，內(nèi)角A,6,C所對的邊分別為a,b,c,

若2cosA(Zx:osC+ccos8)=a=Ji5,AABC的面積為3百，

貝IIA=，b+c=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱柱ABCO—AgGA中，底面ABC。為菱形，

(1)證明：平面，平面A3CO；

(2)若m出=60。，AOB也是等邊三角形，求二面角A-80-J的余弦值.

A+C

18.(12分)在AA6c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且。sin(A+8)=csin---.

(1)求8；

(2)若AABC的面積為周長為8,求b.

19.(12分)選修4-2：矩陣與變換(本小題滿分10分)

ak~\rk

已知矩陣人=(厚0)的一個特征向量為a=,

01—1

A的逆矩陣Ar對應(yīng)的變換將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1).求實數(shù)a,k的值.

20.(12分)a,上c分別為△A8C的內(nèi)角的對邊.已知a(sinA+4sinB)=8sinA.

IT

(1)若b=l,A=—,求sin5；

6

n

(2)已知C=：,當(dāng)AAf?。的面積取得最大值時，求AABC的周長.

21.(12分)已知函數(shù).”x)=|x+l|—|4-2x|.

(1)求不等式/(x)…;(x—l)的解集；

21

(2)若函數(shù)/(%)的最大值為加，且2a+b=m(a>0,b>0),求一+7的最小值.

ab

22.(10分)已知。＞0,力＞0,a+b=2.

(I)求,+」一的最小值;

a/7+1

<n)證明：

baab

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值.

【詳解】

X+y~1-0

解：f+y2表示可行域內(nèi)的點(X,),)到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由十:

?x+2=0

y=3

解得J即4-2,3)

點4(—2,3)到坐標原點(0,0)的距離最大，即(X2+/J=(-2)2+32=13.

故選：C.

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

取AC中點￡,過M作ME，面A4CQ|,可得為等腰直角三角形，由AAPM￡A4E0，可得DM=，

6

當(dāng)MN_LB|G時，MN最小，由MF=—MN,故

2

（五、

2PM+?MN=2PM+—MN=2（EM+MF）22AA=2,即可求解.

\2）

【詳解】

取AC中點￡,過“作面A|B|G。，如圖:

則△A/>M=AAEM，故PM=EM,

而對固定的點M,當(dāng)MN_L4G時，MN最小.

此時由MF上面A#G。，可知AA〃W為等腰直角三角形，MF=叵MN,

2

（五、

故2PM+丘MN=2PM+—MN=2（￡M+MF）＞2A4,=2.

、2j

故選：D

【點睛】

本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

3.D

【解析】

分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得通,衣，再結(jié)合圖形求出及與巨方向上的投影即可.

詳解：如圖所示:

BiD

C

■：\AB+AC\=\AB-AC\,

：.ABAC=Q^

■-AB±AC>

又AB=4,AC=3,

.-.BC^CA方向上的投影是：|元|cosBC,CA^|BC|cos(^-NACB)=-|BC|cosZACB=-3,

故選D.

點睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.

4.B

【解析】

模擬程序框圖運行分析即得解.

【詳解】

左=1,5=0;左=2,S=OH——=—；

2-+26

A=3,S=工+-=—；Z;=4,S=—+f-1---=—3.

632+34442+410

所以①處應(yīng)填寫“匕,3?”

故選：B

【點睛】

本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

5.A

【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.

【詳解】

由&=13%=52,%=4,得(—2)%+，=(—2)8=256.選A.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.

6.B

【解析】

因為對A不符合定義域當(dāng)中的每一個元素都有象，即可排除；

對B滿足函數(shù)定義，故符合；

對C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；

對D因為值域當(dāng)中有的元素沒有原象，故可否定.

故選B.

7.A

【解析】

逐一考查所給的函數(shù)：

y=cos|2x|=cos2x,該函數(shù)為偶函數(shù),周期7=與=萬；

將函數(shù)y=cosx圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到y(tǒng)=|cosX的圖象，該函數(shù)的周期為

Ic

—x2)二》?

2

函數(shù)y=cos(2x+￡|的最小正周期為7言="；

函數(shù)y=tan(2x-的最小正周期為T=]=]；

綜上可得最小正周期為萬的所有函數(shù)為①②③.

本題選擇A選項.

點睛：求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子，否則很容易出現(xiàn)錯

誤.一般地，經(jīng)過恒等變形成"y=Asin@v+°),y=4cos(tyx+0),y=4tan?x+e)”的形式，再利用周

期公式即可.

8.D

【解析】

作W/,垂足為“，過點N作垂足為G,^\NF\=m(m>0),貝！23加，結(jié)合圖形可

n\MG\=2m,從而可求出NWG=60°,進而可求得|叱|=6帆，=由AM/V'P的面

積%^戶=，|腦/卜加'耳=246即可求出加，再結(jié)合尸為線段MP的中點，即可求出產(chǎn)至11/的距離?

【詳解】

如圖所示，

作垂足為“，i§:\NF\=m(m>0),由M戶+3標=0，W|MF\=3m,則加，=

過點N作NG_LM0',垂足為G,則=|MG|=2〃Z,

所以在昭&郎6中，|欣7|=2根，|〃仙=4加，所以cos/GMN=|丫?!=],

'1|MN|2

所以NNMG=6()。，在&APW中，1肪0'|=3/〃，所以|“尸|=網(wǎng)上=6加，

11cos600

所以|M0|=2m,|N9=g/n,

所以S^MN,P=^-\MM'\-\N'P\=--?>m-^3m=24^.解得m=4,

因為IEP|=|/W|+1NP|=3根=|月0],所以尸為線段MP的中點，

?,IMM'I3m/

所以vl尸到/的距離為p=―--=—=6.

故選：D

【點睛】

本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識，屬于中檔題.

9.D

【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)馬=x+2y,Z2=9,分析4*2的幾何意義,

x-i

可得z,,z2的最小值，據(jù)此分析選項即可得答案.

【詳解】

其表示的平面區(qū)域如圖所示,

設(shè)Z|=x+2y,則y=4的幾何意義為直線y=《+楙在軸上的截距的2倍,

由圖可得：當(dāng)＞=-＞會過點8。,2）時，直線馬=x+2y在＞軸上的截距最大，即x+2y＜5,

當(dāng)^=一1+1過點原點時，直線4=x+2）'在）'軸上的截距最小，即x+2yN0,

故AB錯誤；

設(shè)Z2=g,則z?的幾何意義為點（x,與點。,-2）連線的斜率，

X—1

由圖可得4最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯誤，D正確;

故選：D.

【點睛】

本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對目標函數(shù)幾何意義的認識，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.

【詳解】

因為線段耳M的垂直平分線與直線F2M相交于點p,如下圖所示:

所以有每一用工，而O,N是中點，連接ON,故MF?=2ON=4,

因此「鳥―P片=4（4〈與耳）

當(dāng)N在如下圖所示位置時有，所以有==Pg+M用，而O,N是中點，連接QV,

故MF?=2ON=4,因此尸￡-尸鳥=4（4＜乙片），

綜上所述：有歸￡一戶周=4（4＜鳥耳），所以點P的軌跡是雙曲線.

故選：B

【點睛】

本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學(xué)運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.

11.C

【解析】

取dG中點E,連接4E,CE,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出4E〃A。，則NCAE即為異面直線A。與4c所

CE

成角'求出tan/*E=港'即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：如圖，取BC中點E,連接AE,CE,

由于正三棱柱ABC-A^C,,則BB]1底面A4G,

而AEu底面A4G，所以BB|_LAE，

由正三棱柱的性質(zhì)可知，△AWG為等邊三角形,

所以4七，4￡,且AECI耳G=E,

所以4七，平面BgGC,

而ECu平面BBCC，則4ELEC,

則4E〃A。，“EC=90。，

NCA|E即為異面直線AO與4c所成角，

設(shè)AB=2,則=20,AE=拒,CE=3>

CE3/-

則tanZC4￡=——=-/==V3,

\EV3

7T

/.NCAE=§.

故選：c.

【點睛】

本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計算能力.

12.D

【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對選項中的命題判斷.

【詳解】

A.假設(shè)直線AZ)與共面，則A,D,B,C共面，則AB,CD共面，與ABua,CDu/?矛盾，故正確.

B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過只有唯一平面與5c平行，故正確.

C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.

D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過AD不一定能作一平面與8c垂直，故錯誤.

故選：D

【點睛】

本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.6

【解析】

由分段函數(shù)可得4,0不滿足題意；”>0時，log2x>?,可得x>2",即有〃=2",解方程可得。=2,4,結(jié)合指數(shù)

函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和.

【詳解】

y-4<o

解：由函數(shù)，(幻=,'%八，可得

log,x,x>0

fM的增區(qū)間為(-00,0),(0,+co),

x<0時，/U)6(0,3力，x〉0時，/(x)GR,

當(dāng)關(guān)于x的不等式/(x)>。的解集為面，-KO),

可得火。不成立，

。>0時，0<%L時，不成立；

/(x)>a,即為

可得x>2"，即有片=2%

顯然。=2,4成立；由y=2'和)，=》2的圖象可得在x>()僅有兩個交點.

綜上可得。的所有值的和為1.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查化簡運算能力，屬于中檔題.

14.3+2百

【解析】

建立平面直角坐標系，設(shè)NAOC=e,可得甌1=1,進而可得出國=2sin6,網(wǎng)=2sin(K-“，由此將

3片+27B轉(zhuǎn)化為以。為自變量的三角函數(shù)，利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意建立平面直角坐標系如圖所示,設(shè)［赤，石=礪，以。4、QB為鄰邊作平行四邊形OACB，則近=Z+B,

NOAC=NOBC=%,且函=1,

I西1

在AOBC中，由正弦定理；=一~=2sin6,即忖=2sin6,

sin"Sin-

6

1

網(wǎng)5TT。,即同=2sinf-

在AQ4C中，由正弦定理sin(g-6.兀，得。4=2sin

sin—11I6)

6

則

3a+2a-b=3x2sin^-^--^]一4次sinesin(V_6)=12$1112(第一6)—4百sin6sin(第-e

l-cos產(chǎn)-2。］

=61--cos2^4-^-sin20-6sin2^-^sin2^

=12x--------------------4>/3sinsin^+—cos^122J

22

7

1。=百

=6-3cos2^+3V3sin2^-6x-^^-A/3sin23+2sin29,

2

當(dāng)sin26=l時，3￡2+2￡/取最大值3+26.

故答案為：3+2省.

【點睛】

本題考查了向量的數(shù)量積最值的計算，將問題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于難

題.

15.(1)X-百y+8=0,>2=4X；(2)(3,2>/3).

【解析】

(1)利用代入消參的方法即可將兩個參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；

(2)利用參數(shù)方程，結(jié)合點到直線的距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問題，即可求得.

【詳解】

(1)直線/的普通方程為X-百y+8=0.

在曲線C的參數(shù)方程中，y2=12/=4x,

所以曲線C的普通方程為丁=4x.

(2)設(shè)點P(3/,2百s).

點P到直線/的距離d=Njs+M=3(ST)2+5.

22

當(dāng)時，所以點到直線/的距離的最小值為

S=1Jmin=1,Pg.

此時點P的坐標為(3,20).

【點睛】

本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題，屬中檔題.

16.-7

3

【解析】

(1)由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得2cosAsinA=sinA,從而求得

cosA=g,結(jié)合范圍Ae(O,%)，即可得到答案

(2)運用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案

【詳解】

(1)由已知及正弦定理可得

2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA,可得：2cosAsin（B+C）=sinA

解得2cosAsinA=sinA,即cosA=—

2

AG（0,乃）,

兀

A=T

(2)由面積公式可得：3jJ=/bcsinA=#^c,即。c=12

由余弦定理可得：13=￡>2+c2-2bccosA

即有13=(/?+c)——3/?c=(Z?+c)--36

解得/?+c=7

【點睛】

本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運用公式即可求出答案

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)0

【解析】

(1)根據(jù)面面垂直的判定定理可知，只需證明AC_L平面8DR與即可.

由ABCD為菱形可得AC_LBZ),連接和AC與的交點。，

由等腰三角形性質(zhì)可得BQ1AC,即能證得AC，平面BDDR；

(2)由題意知，與。，平面ABC。，可建立空間直角坐標系。9z,以。為坐標原點，所在直線為x軸，0B所

在直線為>軸，。片所在直線為z軸，再分別求出平面。乃。的法向量，平面48。的法向量，即可根據(jù)向量法求出

二面角的余弦值.

【詳解】

(1)如圖，設(shè)AC與BD相交于點。，連接耳。,

又ABC。為菱形，故AC_LBO,。為AC的中點.

又ABi=CBp故go,AC.

又BDu平面BDD]BI，平面且8。04。=。，

故AC_L平面BDRB],又ACu平面ABCD,

所以平面80。萬，平面ABCD.

(2)由ADB乃是等邊三角形，可得故片。上平面ABC。，

所以用。，AC,30兩兩垂直.如圖以0為坐標原點，。4所在直線為x軸，。8所在直線為＞軸，。片所在直線為z

軸，建立空間直角坐標系。孫z.

DiCi

,O

不妨設(shè)AB=2,則AO=6,OB、=&i,

則A(6,0,0),8(0,LO),4(0,o,G)，o(o,-1,0),a(G,-1,?q(-G,-i,G),

設(shè)3=(不X,zj為平面C/O的法向量，

n-BD—0,2M=0,

則〈一即〈廠r可取3=(1,0,1),

n.0C[-0,[一J?%—y+V3z,=C

設(shè)肩=(X2，%，Z2)為平面AN。的法向量

m-BD=0,2y2—0,

則；即〈廠r可取向=(—1,0,1),

+

mOA^=0,[\I3X2-y2v3z2=0,

----n-m八

所以cos<〃,/〃>==0

HH

所以二面角a-80-G的余弦值為0.

【點睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及利用向量法求二面角，意在考查學(xué)生的直觀想

象能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

兀13

18.(1)B=—；(2)b=—

34

【解析】

A-L.T

(1)通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡匕sin(A+B)=csin----,再通過二倍角公式即可求出￡)8；

2

(2)通過三角形面積公式和三角形的周長為8,求出b的表達式后即可求出b的值.

【詳解】

(1)由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得bsinC=ccosO,

2

結(jié)合正弦定理，得sin8=cos0,

2

由0<g<￡及二倍角公式，得siU，

2222

即《=故8=日；

263

(2)由題設(shè)，得，acsinB=6,從而ac=4,

2

由余弦定理，得從="+c2—2accosB,即廿=(。+4-12,

又a+Z?+c=8,所以/=(8—一12,

13

解得。=『.

4

【點睛】

本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

kakkak—k-Ak

19.解:設(shè)特征向量為a=對應(yīng)的特征值為3則即4

-101-1A-i

因為原0,所以a=2.5分

3132k1]_13

因為Ai=，所以A,即

11101「[1

所以2+k=3,解得k=2.綜上，a=2,k=2.20分

【解析】

試題分析：由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k

考點：特征向量，逆矩陣

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，考查逆矩陣.

20.(1)sinB=-(2)5+V13

8

【解析】

(1)根據(jù)正弦定理，將”(sinA+4sin3)=8sinA,化角為邊，即可求出再利用正弦定理即可求出sin8；

JI1

(2)根據(jù)。=一，選擇S=-a)sinC,所以當(dāng)△ABC的面積取得最大值時，ab最大，

32

結(jié)合(1)中條件。+48=8,即可求出出2最大時，對應(yīng)的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊c,進而得到AABC的

周長.

【詳解】

(1)由a(sinA+4sinB)=8sinA,得a(a+4b)=8a,

即a+4b-S.

因為人=1,所以a=4.

41,

----=-----.1

由.兀sinB>得sin8=^■-

sin-8

O

(2)因為。+4〃=82,

所以，力W4,當(dāng)且僅當(dāng)a=48=4時，等號成立.

因為AABC的面積S=—aZ?sinC<—x4xs