梁的應力習題答案

習題

10?1一工字型鋼梁，在跨中作用集中力F,已知I=6,F=20kN,工字鋼的型號為20a,

求梁中的最大正應力。

I

解：梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中M=30kN.m

max

查表知20a工字鋼W=237cm3

z

30x13

貝ijct=_0=126.6x106Pa=126.6MPa

maxW=237x10-6

z

10?2一矩形截面簡支梁，受均布荷載作用，梁的長度為I,截面高度為h,寬度為b,

材料的彈性模量為E,試求梁下邊緣的總伸長。

解：梁的彎矩方程為M(X)=1q次-1qx2

22

1M(x)1<11、

則曲率方程為一c=--------1—qlx—qx2I

pWEI,EIz{22)

梁下邊緣的線應變8(X)=\；2J”3氏3-

rp(q2%(22J

3

下邊緣伸長為△l=J'gQdx=J，hf1714ql

0。2以122。產(chǎn)2Ebh2

Z/

10?3已知梁在外力作用下發(fā)生平面彎曲，當截面為下列形狀時，試分別畫出正應力沿橫

截面高度的分布規(guī)律。

□加泓如

解：各種截面梁橫截面上的正應力都是沿高度線性分布的。中性軸側(cè)產(chǎn)生I拉應力，另一

側(cè)產(chǎn)生壓應力。

10?4一對稱T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷載，梁的尺寸如圖所示，已知

I=1.5m,q=8KN/m,求梁中橫截面上的最大拉應力和最大壓應力。

解:

1、設截面的形心到下邊緣距離為y1

,4x8x4+10x4x10

則有y=------------------------=7.33crr)

14x8+10x4

則形心到上邊緣距離y=12-7.33=4.67cm

2

于是截面對中性軸的慣性距為

(4x83、/10x431

I=|+4X8X3.332|+|12+10X4X2.672|=864.0cn)

2、作梁的彎矩圖

設最大正彎矩所在截面為D,最大負彎矩所在截面為E,則在D截面

M1.778x103x7.33x10-2

O—=15.08x106Pa=15.08MPa

t,maxi1864.0x10-8

z

M1.778x103x4.67x10-2

O-2-y=9.61x106Pa=9.61MPa

c,maxI2864.0x10-8

在E截面上

M1.0x103x4.67x10-2

_E_=5.40x106Pa=5.40MPa

864.0x10-8

z

M1.0x103x7.33x10-2

o—^y=8.48x106Pa=8.48MPa

c,maxi1864.0x108

所以梁內(nèi)。=15.08MPa,o=9.61MPa

t,maxc,max

10?5一矩形截面簡支梁，跨中作用集中力F,已知l=4m,b=120mm,h180mm,彎

曲時材料的許用應力［o］=10Mpa,求梁能承受的最大荷載F。

max

解：梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中M=巴

max4

blv.

矩形截面梁W

Z~6~

則由。=Mmax4目得

maxW

F]2bh22x0.12x0.182

即J____

=6480N

10X106X3x4

31

10?6由兩個28a號槽鋼組成的簡支梁，如圖所示，已知該梁材料為Q235鋼，其許用

彎曲正應力［o］=170Mpa,求梁的許可荷載［閂。

解：作彎矩圖

4F

梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中“max=4尸

T"II

矩形截面梁W=^=_2_=2W=680.656cm3

zyyz

maxmax

%axU得4F<[ally

則由o

z

170x1()6x680.656x10-6

即FV28927N

4

10?7圓形截面木梁，梁上荷載如圖所示，已知l=3m,F=3kN,q=3kN/m,彎曲時木

材的許用應力［o］=10MPa,試選擇圓木的直徑d。

解：作彎矩圖

則由C="3w得W2半■葉■

maxWzb」

z

on71d33x103?G?>0.145m=145mm

即百“加瑞,侍

10?8起重機連同配重等重P=50kN,行走于兩根工字鋼所組成的簡支梁上，如圖所示。

起重機的起重量F=10kN,梁材料的許用彎曲應力［。］=170Mpa,試選擇工字鋼的型號。設

全部荷載平均分配在兩根梁上。

解：設起重機左輪距A端為X,則有

M=50—6%2,M=-6x!+38x+8()

CD

從而確定出M=104.2kN.m,M=140.2kN.m

CmaxDmax

即梁內(nèi)出現(xiàn)的最大彎矩為140.2kN.m

則由o=匕小圖得WN癡=維儂=8.25xl0-4m3

maxzTTIJO

2

IL

又對于本題w=z_z=2W

zyyz

所以W'=區(qū)=825x104=4.125x104m3=412.5cm3

z22

查表選25b號工字鋼。

10?9兩個矩形截面的簡支木梁，其跨度、荷載及截面面積都相同，一個是整體，另一個

是由兩根方木疊置而成，試分別計算二梁中的最大正應力。

解：

1、第一種情況

ql2

梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中M=—

maxO

矩形截面梁w_bh2_203

z63

則。=叫"=qZ2x3=3qA

maxw8x2a316a3

z

2、第二種情況

M=ql2

梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中—

max?b

矩形截面梁W=巴

266

則b="max_q，2x6_3qZ3

maxW16xa3803

z

10?10直徑d=0.6mm的鋼絲繞在直徑D=600mm的圓筒上，已知鋼絲的彈性模量

E=2X105MPa,試求鋼絲中的最大正應力。

解：

Ctc71x0.64x10-12

EI2x10iix___________

M=_=64=4.24115x10-3N.m

p0.3+0.3x10-3

o=M=M=4.24115x10-3=200x106Pa=200MPa

maxW7rd3兀X0.63x10-9

z竊32

或

O_E?max=2x1°”、°.3X1°-3=200x106Pa=200MPa

maxp0.3+0.3x10-3

10?11一矩形截面簡支梁由圓柱形木料鋸成。已知F=5kN,a=1.5m,[a]=10Mpao

試確定彎曲截面系數(shù)最大時矩形截面的高寬比h:b,以及梁所需木料的最小直徑d。

解：

W=匕也-2-b)

z66

dWd2-3b2與，d2W歷

由___z=__________=0得b=\'id,又____z=-b<0所以3d時

~db~6-3db23

，取極大值，所以彎曲截面系數(shù)最大時，b=gd,h=td,即h:b=W

梁內(nèi)的最大彎矩M=Fa=7.5kN.m

max

b/12巧

矩形截面梁W=-=7d3

z627

M目得?悔

l9j3x7.5x103ccr

=3—-------------------------=0.227m=227mm

\10x106

10?12一鑄鐵梁如圖所示。已知材料的拉伸強度極限o=i50Mpa,壓縮強度極限

b

o=630Mpa,試求梁的安全因數(shù)。

be

解：

1、設截面形心距離下邊緣為y

則有y=16°二4°x2°+1°x160x120x2=5333mm

1160x40+10x160x2

則形心到上邊緣距離y=200-53.33=146.67mm

2

于是截面對中性軸的慣性距為

,<160x403…、<10x1603、

I=\+160x40x33.3§|+|丁+10x160x66.6%|x2=29013333.4mn)

z—12—

2、作梁的彎矩圖

C截面

M12x103x53.33x10-3

O=_==22.057x106Pa=22.057MPa

t,maxi129013333.4x10-12

M12x103x146.67x10-3

O==60.663x106Pa=60.663MPa

c,maxI229013333.4x1012

B截面上

M8x103x146.67x10-3

O—B.y==40.442x1OePa=40.442MPa

t.maxI229013333.4x10-12

2

M8x103x53.33x10-3

!Byr=14.705x106Pa=14.705MPa

c.max29013333.4x10-12

z

所以有屋=“15°=3.709,n=_630_=10385>n取安全系數(shù)為。

t40.442c60.663t,耿女王"姒〃。

10713一簡支工字型鋼梁，工字鋼的型號為28a,梁上荷載如圖所示，已知l=6m,

F=60kN,F=40kN,q=8kN/m,鋼材的許用應力[=170Mpa,[l]=100Mpa,試校核梁的

強度。

解：作內(nèi)力圖

M868x103

則有a===170.8x106Pa=170.8MPa

maxW.508.15x10-6

o-W170.8-170

而maxi---------------=0.47%<5%

b」170

FS80.7x103

t=S,m個、max=-----------------------------------=38.56x106Pa=38.56MPa<[T]

maxlb24.62x10-2x0.0085

10?14一簡支工字型鋼梁，梁上荷載如圖所示，已知l=6m,q=6kN/m,F=20kN,鋼

材的許用應力[o]=170Mpa,[T]=100Mpa,試選擇工字鋼的型號。

57x103

由o=必皿4屈得==3.353x10-4m3=335.3cm3

max卬zInJ170x106

z

查表選25a（考慮5%誤差可以選則22b）。

對于所選型號，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應力為

t=…=28x18=16.21xlO6Pa=16.21MPa<[T]

maxIb21.58x10-2x0.008

z

(如為22b,tE”=15.8MPa<[t])

mdx

所以工字鋼型號為25a(或22b)。

10?15由工字鋼制成的簡支梁受力如圖所示。已知材料的許用彎曲應力[。]=170Mpa,

許用切應力[T]=100Mpa。試選擇工字鋼型號。

解：作內(nèi)力圖

絲一[0]得83.05625x103…。/，

由<7W>-fm斷------------=4.886x10-4nP=488.6cm3

maxW_b」170x106

查表選28a。

對于所選型號，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應力為

t==”3.125x1()3=54()6*106pa=54.06MPa<[T]

maxlb24.62x10-2x0.0085

所以工字鋼型號為28a。

10?16外伸梁AC承受荷載如圖所示，M=,q=20KN/m。材料的許用應力[。=170Mpa,

[T]=WOMpao試選擇工字鋼的型號。

解：作內(nèi)力圖

由b=M-

rmf=--------

max卬HnT170x106

查表選20a。

對于所選型號，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應力為

Fq40x103

T=Ui==33.22X106Pa=33.22MPa<[T1

max/b17.2x10-2x0.007

z

所以工字鋼型號為20a。

10?17圖示簡支梁是由三塊截面為40mmX90mm的木板膠合而成，已知I=3m,膠縫的

許用切應力[T]二,試按膠縫的切應力強度確定梁所能承受的最大荷載F。

解:

梁內(nèi)的最大剪力值為0.5F

則膠縫處的最大切應力為

)

FS*0.5〃x90x40x40x10-9

T=Smnx2=61.73/

maxJb

90x1203xlQ_i2x90x10-3

12

由%ax4為得FW8100N。

10?18向示結(jié)構(gòu)中，AB梁與CD梁所用材料相同，二梁的高度與寬度分別為h、b和h

和b,已知I=3.6m,a=1.3m,h=150mm,h=100rnT),b=100rrm,材料的許用應力[o]=10Mpa,

[T]=,試求該結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載F'。

解：

1、對于上梁

作內(nèi)力圖

O|1F

2

由O得M<LJw,即CvlJw

maxWmaxzz

/匚AinIAA01x0.12

4LoJVV4xlOxlO6X-----------

所以有F<_____i.==1.852x103N=1.852kN

36

又由7=*'4口得f<2[T1A即F<2[T1A

max2.彎支S,max3-2T

J/A4X2.2X106X0.1X0.1

所以有F<-------=-----------------------------=29.33x103N=29.33kN

33

2、對于下梁

作內(nèi)力圖

由a=匕“w得M4目叩.即上/。]卬

maxWmaxzl?z)

z!Z

o匚

2LoI」wWO2xi1nOx10AA6x0.1X8152

所以有F<_____d_==5.77x103N=5.77kN

3F0rqL2口AF2口人

又由予=—得尸<____L,即_?U1_

max2AS,max323

而一右?guī)譣人4X2.2X106X0.1X0.15，，八，，八，，

所以有F<____L=___________________=44.0xl03N=44.0kN

33

綜上，取F=1.852kN

10?19圖示木梁受一可移動的荷載F=40KN作用。已知=10Mpa,[i]=3Mpa。木

梁的橫截面為矩形，其高寬比h_=二3，試選擇梁的截面尺寸。

b2

解:

40x103x1

當F位于跨中時，梁內(nèi)出現(xiàn)最大彎矩M=￡L=10x103N=10kN

max44

由CT="max4］得W>呼即

max卬zb」

/汕2=963>M=10x103=1.0xl0-3m3從而有。20.1387m=138.7mm

624InJ10x106

又當F位于靠近左右支座時，梁內(nèi)出現(xiàn)最大剪力F=^20kN

S,max2

,Jr「]Jr

ffiT=—WLr」得A>—平評*即

max2A2k」