例談數(shù)學(xué)問題中主元的確立

精品文檔-下載后可編輯例談數(shù)學(xué)問題中主元的確立數(shù)字和若干字母的有限次乘法運(yùn)算式中表示變量的字母稱元，而對“元”的研究便成了數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容.本文旨在舉證“元”的確立對問題的解決的點睛意義.

1.換元

把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，改變代數(shù)結(jié)構(gòu)，保留其基本性質(zhì)，從而使問題得到簡化，這叫換元法.簡單地說，也許這個問題就是“化簡為繁”而得到的，就是通過換元找到這個問題的前身，即確立該問題最原始的主元.

例1：已知f（x-2）=x，x∈R，求f（x）.

前身：f（t）=（t+2）.解法很機(jī)械，令t=x-2，則x=t+2，故f（t）=（t+2）.

再如sin（x+）=，求sin（2x+）的值.

事實上，令t=x+，則x=t-，則sin（2x+）=sin［2（t-）+］=sin（2t-）=-cos2t=2sint-1，問題即“sint=，求2sint-1的值”.

很明顯，其實這里只不過是復(fù)合函數(shù)定義的回歸而已，當(dāng)然很有可能進(jìn)行的是不等價轉(zhuǎn)化，如f（）=x與f（t）=t不是完全的等價轉(zhuǎn)換.

熟悉的問題有“求y=的值域”，“解不等式2-2-3≥0”等.

2.轉(zhuǎn)移

一般是指含參數(shù)的函數(shù)問題，若以當(dāng)前的主元為主元對問題的解決較復(fù)雜，可以考慮對該問題中參數(shù)的變化情況加以分析、解決.

例2：求y=的值域.

表面上看，本題并無參數(shù)，從函數(shù)定義分析，即可得到函數(shù)即x到y(tǒng)的一種對應(yīng)，而方程yx-x+2y=0亦可體現(xiàn)原函數(shù)所應(yīng)有的對應(yīng)，則在方程中yx-x+2y=0，相對于x，y即為參數(shù)，問題即轉(zhuǎn)化為“ax-x+2a=0有解，求a的取值范圍.”當(dāng)然，含參數(shù)方程有解問題，有幾個解的問題，亦可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域問題，以及求出各個單調(diào)區(qū)間上的值域進(jìn)行取交集的問題.這種等價性是由于函數(shù)解析式本來就是方程.如“（12北約聯(lián)考）求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在［0，π）內(nèi)有唯一解的a”，“若方程ax+2（a-2）x+a-1=0中的a為正整數(shù)，當(dāng)a取何值時，此方程至少有一個整數(shù)解”等.

再如（06上海高考）：當(dāng)k＞2時，求證：在區(qū)間［-1，5］上，y=kx+3k的圖像位于函數(shù)f（x）=|x-4x-5|圖像的上方.

思路1：已知kx+3k＞|x-4x-5|在x∈［-1，5］上恒成立，求k的取值范圍.設(shè)求得k的取值集合為A，即證（2，+∞）?哿A.

思路2：已知kx+3k＞|x-4x-5|在k＞2上恒成立，求x的取值范圍.設(shè)求得x的取值集合為B，即證［-1，5］?哿B.

事實上，相對于主元x，k是參數(shù)，若以參數(shù)k為主元，原主元x也就是參數(shù)了.

思路3：雙管齊下.解法如下：當(dāng)x∈［-1，5］時，f（x）=-x+4x+5.

由y=k（x+3），y=-x+4x+5，得x+（k-4）x+（3k-5）=0，

令Δ=（k-4）-4（3k-5）=0，解得k=2或k=18.

在區(qū)間［-1，5］上，當(dāng)k=2時，y=2（x+3）的圖像與函數(shù)f（x）的圖像只交于一點（1，8）；當(dāng)k=18時，y=18（x+3）的圖像與函數(shù)f（x）的圖像沒有交點.

由于直線y=kx+3k過點（-3，0），當(dāng)k＞2時，直線y=kx+3k是由直線y=2（x+3）繞點（-3，0）逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的.因此，在區(qū)間［-1，5］上，y=kx+3k的圖像位于函數(shù)f（x）圖像的上方.

誠如思路3，“函數(shù)f（x）=x+2x+1，存在實數(shù)t，使得f（x+t）≤2x對于x∈［2，m］恒成立，求實數(shù)m的最大值”.x，t，m三個未知數(shù)，需先以t為主元，這里t的變化使得f（x）的圖像在x軸上的平移滑動，再以x為主元，考察x∈［2，m］時y=f（x+t）與y=2x圖像的位置關(guān)系，逐個除去變量，凸現(xiàn)參變量m為最終目標(biāo).

3.構(gòu)造

（1）建模

主要指數(shù)學(xué)建模，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，而這里是指通過把實際對象的變化表述為數(shù)學(xué)變量即主元的變化，從而達(dá)到研究并解決問題的目的.相對于實際問題來講，數(shù)學(xué)模型即是構(gòu)造.

例3（08江蘇）：某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO.設(shè)排污管道的總長為ykm.

（Ⅰ）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)OP=x（km），將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式.

（Ⅱ）請你選用（Ⅰ）中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短.

題目很詳細(xì)地確立了兩個主元∠BAO，OP，但主元未必非得二選一，任何對y產(chǎn)生影響的變量皆可為主元，如∠BOA，O到AB的距離等，只是在選擇的時候應(yīng)該從簡，本題在2022年高考后，風(fēng)靡了好一陣子.

（2）化歸

將待解決的或者難以解決的問題A經(jīng)過某種轉(zhuǎn)化手段，轉(zhuǎn)化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B，通過解決問題B達(dá)到解決問題A的方法即為化歸.這里指多元問題化歸為一元問題，因為我們擅長解決只含一元的數(shù)學(xué)問題，即需要我們來構(gòu)造主元來替代原問題中多元的變化.

例4（07寧夏、海南）：已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，求的最小值.

分析：六個元a，b，c，d，x，y陣容可謂震撼，但a+b=