安徽省馬鞍山市當(dāng)涂第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)當(dāng)涂一中2022-2023年度第二學(xué)期高一期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分）一、單選題（12小題，每小題5分；每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知，其中為虛數(shù)單位，則（）A.5 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)求復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解．【詳解】由復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則，則，故選：B．2.已知單位向量、滿(mǎn)足，則（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單位向量長(zhǎng)度為1，結(jié)合，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄?、滿(mǎn)足，所以，，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)量積的定義求數(shù)量積，屬簡(jiǎn)單題.3.已知向量，，且與的夾角為，則的值為（）A. B.2C. D.1【答案】D【解析】【分析】由向量夾角的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；【詳解】解：由向量夾角的坐標(biāo)表示得：，解得：；故選：D．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合二倍角公式、誘導(dǎo)公式，由即可轉(zhuǎn)化求值【詳解】．故選：A5.在中，角的對(duì)邊分別為，且，，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可構(gòu)造方程直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或（舍），.故選：B.6.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則結(jié)合的值，下列解三角形有兩解的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理可得，，所以，因?yàn)槿切斡袃山猓?，且，因此由選項(xiàng)知，只有符合.故選：B7.把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出平移后解析式，根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)由出的最小值.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)解析式，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，即，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)的最小值是.故選：C8.奇函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性求出，從而，根據(jù)得到，列出不等式組，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，則，所以，解得：.故選：B二、多選題（4小題，每小題5分；每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.）9.已知，則（）A. B.C.∥ D.⊥【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)平面向量的坐標(biāo)，算出模和的坐標(biāo)，再通過(guò)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷是否平行和垂直.【詳解】對(duì)于A，，所以正確；對(duì)于B，，所以正確；對(duì)于，由于，所以∥，所以正確；對(duì)于，由于，所以與不垂直，所以不正確．故選：．10.設(shè)復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確為（）A.是純虛數(shù) B.對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.【詳解】對(duì)于A：，其實(shí)部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；對(duì)于B：，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，D正確.故選：AD.11.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是函數(shù)的周期B.C.為了得到的圖象，只需將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.為了得到的圖象，只需將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)可得最小正周期，再求得，代入分析可得，可判斷AB，再結(jié)合三角函數(shù)圖象變化的性質(zhì)判斷CD即可.【詳解】對(duì)A，由圖可知，，最小正周期T滿(mǎn)足，所以，所以是函數(shù)的周期，故正確；對(duì)B，，即，將代入可得，得，又，所以，故B正確；對(duì)C，由上述結(jié)論可知，為了得到，應(yīng)將函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.12.在中，分別是邊中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若，則是在的投影向量D.若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），且，則的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，B，利用平面向量加減法即可判斷A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)選項(xiàng)C，首先根據(jù)已知得到為的平分線，即，再利用平面向量的投影概念即可判斷C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，首先根據(jù)三點(diǎn)共線，設(shè)，，再根據(jù)已知得到，從而得到，即可判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】如圖所示：對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，，分別表示平行于，，的單位向量，由平面向量加法可知：為的平分線表示的向量.因?yàn)?，所以為的平分線，又因?yàn)闉榈闹芯€，所以，如圖所示：在的投影為，所以是在的投影向量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，如圖所示：因在上，即三點(diǎn)共線，設(shè)，.又因?yàn)?，所?因?yàn)椋瑒t，.令，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選項(xiàng)D正確.故選：BD.三、填空題（4小題，每小題5分）13.在中，，則的形狀為_(kāi)_________.【答案】直角三角形【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以由余弦定理得，整理得，是直角三角?考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的應(yīng)用.14.如圖，在中，為線段上一點(diǎn)，若，，且與的夾角為，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由，將數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基底向量運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?故答案為：.15.已知，，，，則______.【答案】##【解析】【分析】求出，再由求得的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：16.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)區(qū)間的長(zhǎng)度不大于半周期求出，再根據(jù)的范圍確定所滿(mǎn)足的范圍，得到答案.【詳解】由題意有,可得,又由，在上為減函數(shù)，故必有,可得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題（6題，共70分；請(qǐng)書(shū)寫(xiě)必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)型列出相應(yīng)的不等式組，即可求得答案；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，列出相應(yīng)的不等式組，求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，故，解得；【小問(wèn)2詳解】由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故，解得，即的取值范圍是.18.已知是第四象限角．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，化弦為切，代入求值即可；（2）變形得到，求出的值.【小問(wèn)1詳解】∵是第四象限角，，所以，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴或．19.已知平面向量，，，，，且A，C，D三點(diǎn)共線.（1）求的坐標(biāo)；（2）已知，若A，B，D，E四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得與可以作為平面內(nèi)的一組基底，表示出，再根據(jù)，，三點(diǎn)共線，即可求出，從而求出的坐標(biāo)；（2）首先求出、A的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)得到方程組，解得即可；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，所以與不共線，即與可以作為平面內(nèi)的一組基底，因?yàn)?，所以，又，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，解得.所以.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，又因?yàn)?，則有，因?yàn)?，所以，因?yàn)锳，B，D，E四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以.設(shè)，則，因?yàn)?，所以解得，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為.20.已知在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求；（2）若的面積為1，且求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得；（2）由面積為1求得，根據(jù)余弦定理及其變形求得，從而求得周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由及正弦定理得，整理得，因?yàn)椋?，所以，∴，，因?yàn)樵阡J角中，所以【小問(wèn)2詳解】由的面積為1，得，所以，在銳角中，由，得，由余弦定理得，所以，，所以，即的周長(zhǎng)為21.已知函數(shù)，0?ω?4，且．（1）求ω的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最小值和最大值．【答案】（1），，（2）最小值－1；最大值2．【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得，再由可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得答案；（2）根據(jù)的范圍和正弦函數(shù)值域可得答案．【小問(wèn)1詳解】，由知，則，或，，所以，或，，又，則，所以，令，，則，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)為，；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值－1；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2．22.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值及相應(yīng)自變量的取值；（2）如圖四邊形中，，，，，，求的最小值.【答案】（1）當(dāng)，時(shí)，最大值為1；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題