高二數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）第04講 雙曲線（教師卷）

第04講雙曲線【【考點目錄】【【知識梳理】知識點1雙曲線的定義把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．注：1、集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:.常數(shù)要小于兩個定點的距離．2、對雙曲線定義中限制條件的理解(1)當||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|時，M的軌跡不存在．(2)當||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|時，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線．(3)當||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|時，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．(4)若將定義中的絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡為雙曲線的一支．具體是哪一支,取決于與的大小.①若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;②若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.知識點2雙曲線的標準方程及簡單幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質圖形焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長：eq\a\vs4\al(2b)；半實軸長：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x注：（1）在雙曲線的標準方程中，看x2項與y2項的系數(shù)的正負：若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，則焦點在y軸上，即“焦點位置看正負，焦點隨著正的跑”．（2）已知雙曲線的標準方程，只要令雙曲線的標準方程中右邊的“1”為“0”就可得到漸近線方程.（3）與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．（4）雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b．（5）雙曲線與橢圓的標準方程可統(tǒng)一為Ax2＋By2＝1的形式，當A＞0，B＞0，A≠B時為橢圓，當A·B＜0時為雙曲線.知識點3雙曲線的焦點三角形雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．以雙曲線上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)雙曲線的定義：(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)面積公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，重要結論：S△PF1F2=推導過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得由三角形的面積公式可得S△PF1F2==知識點4等軸雙曲線和共軛雙曲線1．等軸雙曲線(1)實軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，等軸雙曲線的一般方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,a2)＝1(a＞0)．(2)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，漸近線方程為y＝±x，離心率e＝eq\r(2).(3)等軸雙曲線的方程，；2．共軛雙曲線以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，與原雙曲線是一對共軛雙曲線．其性質如下：(1)有相同的漸近線；(2)有相同的焦距；(3)離心率不同，但離心率倒數(shù)的平方和等于常數(shù)1.知識點5直線與雙曲線的位置關系1、把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．(1)Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點．(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點．(3)Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點．注：直線與雙曲線的關系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支．弦長公式直線被雙曲線截得的弦長公式，設直線與雙曲線交于，兩點，則（為直線斜率）3、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.【【考點剖析】考點一求雙曲線的標準方程1．（2023春·河北邯鄲·高二校考階段練習）已知雙曲線的一個焦點是，則實數(shù)的值是（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)焦點坐標判斷焦點所在軸,再由計算即可.【詳解】由焦點坐標，知焦點在軸上，所以，可得雙曲線的標準方程為，由可得，可得.故選:.2．（2023春·北京豐臺·高二北京豐臺二中?？茧A段練習）雙曲線過點，且離心率為，則該雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將點代入得出關系，由離心率得出關系，結合雙曲線關系式即可求解.【詳解】將代入雙曲線標準方程得，又，，聯(lián)立解得，故雙曲線的標準方程為.故選：C3．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┖蜋E圓有相同焦點的等軸雙曲線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出橢圓的焦點坐標，再利用等軸雙曲線性質，求解即可．【詳解】橢圓，，則，可得，設等軸雙曲線方程為，其中，可得，解得所求的雙曲線方程為．故選：A4．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谀┮阎p曲線的對稱軸為坐標軸，兩個頂點間的距離為2，焦點在軸上，且焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線定點的定義，求得，設出雙曲線方程，寫出漸近線方程，利用點到直線距離公式，建立方程，可得答案.【詳解】由題意得，即，設雙曲線的方程為，焦點到其漸近線的距離為，雙曲線方程為，綜上，雙曲線的方程為．故選：B．5．（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的焦點為，，點在雙曲線上，滿足，，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，求解即可【詳解】由題意可知雙曲線方程為且，解得，所以雙曲線的標準方程為，故選：B6．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線交雙曲線的右支于，兩點，若的周長為72，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達定理得到，然后利用雙曲線的定義得到，根據(jù)的周長為72列方程，解得即可得到雙曲線方程.【詳解】由題知，，所以直線為，設，，由，得，則，，所以，因為，，所以，因為的周長為72，所以，所以，得，所以雙曲線方程為.故選：C.考點二雙曲線的焦點三角形7．（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考階段練習）設為雙曲線上一點，，分別為雙曲線的左，右焦點，若，則等于（

）A．2 B．2或18 C．4 D．18【答案】B【分析】利用雙曲線的定義即可求解.【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，，即，解得2或18，均滿足.故選：B8．（2023春·安徽安慶·高二安慶一中?？茧A段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，，為坐標原點，是中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義和已知條件可得出關于、的方程組，解出的值，利用中位線的性質可求得.【詳解】在雙曲線中，，，，由雙曲線的定義可得，又因為，則，因為、分別為、的中點，故.故選：A.9．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知分別是雙曲線的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且，則的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出，再利用三角形的面積公式計算可得答案.【詳解】因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為．故選：B.10．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高級中學校考階段練習）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的右支相交于A，B兩點，，的周長為10，則雙曲線C的焦距為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的定義和三角形的周長解得m的值，再由余弦定理列式可得結果.【詳解】設，，，由雙曲線的定義知：，∴，a=m，∴有，解得，∵在和中，，∴由余弦定理得，解得，可得雙曲線的焦距為．故選：C.考點三雙曲線定義的應用11．（2023春·吉林四平·高二四平市第一高級中學?？茧A段練習）若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原方程可變形為，根據(jù)已知有，解出即可.【詳解】因為方程表示焦點在y軸上的雙曲線，可變形為.所以有，即，解得.故選：A.12．（2023春·廣東佛山·高二統(tǒng)考階段練習）對于常數(shù)a，b，“”是“方程對應的曲線是雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【詳解】解：可整理成，當，則且或且，此時方程即表示的曲線為雙曲線，則充分性成立；若方程表示的曲線為雙曲線，則即，則必要性成立，故選：C13．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）設，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出方程表示雙曲線的必要不充分條件的范圍可得答案.【詳解】由，方程表示雙曲線，則，所以，根據(jù)選項，“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為B.故選：B.14．（2023春·江蘇揚州·高二揚州中學校考階段練習）已知，雙曲線的左?右焦點分別為，點是雙曲線右支上一點，則的最小值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點坐標，由雙曲線的性質，整理，利用三角形三邊關系，可得答案.【詳解】由雙曲線，則，即，且，由題意，作圖如下：，當且僅當共線時，等號成立.故選：C.15．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的下焦點為，，是雙曲線上支上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線定義得，則利用三角形任意兩邊之差小于第三邊求出的最小值即為.【詳解】由題意得雙曲線焦點在軸上，，，，所以下焦點，設上焦點為，則，根據(jù)雙曲線定義：，在上支，，,在中兩邊之差小于第三邊，，,

.故選：D.考點四雙曲線的軌跡方程16．（2023·四川·高二統(tǒng)考）已知y軸上兩點，，則平面內到這兩點距離之差的絕對值為8的動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義求出軌跡方程作答.【詳解】點，，令為軌跡上任意點，則有，因此動點的軌跡是以，為焦點，實軸長為8的雙曲線，即雙曲線的實半軸長，而半焦距，則虛半軸長，所以所求軌跡方程為.故選：B17．（2023春·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習）已知是圓上的一動點，點，線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意有，從而有，根據(jù)雙曲線的定義得點的軌跡為是以F1、F2為焦點的雙曲線．再寫出其方程即可.【詳解】如圖所示：∵是圓上一動點，點的坐標為，線段的垂直平分線交直線于點，∴，，∵是圓上一動點，∴，∴，∴，，，∴點的軌跡為以F1、F2為焦點的雙曲線，且，，得，∴點的軌跡方程為.故選：C.18．（2023春·陜西渭南·高二期末）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩圓相切分析可知，符合雙曲線的定義，可得，，根據(jù)雙曲線中a，b，c的關系，即可求出動圓圓心的軌跡方程.【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，動圓圓心為，半徑為，當兩圓外切時：，所以；當兩圓內切時：，所以；即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，，，所以動圓圓心的軌跡方程為：，故選：C.19．（2023·全國·高二專題練習）已知兩圓，動圓與圓外切，且和圓內切，則動圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過動圓與圓外切，且和圓內切列出關于圓心距的式子，通過變形可得雙曲線的方程.【詳解】如圖，設動圓的半徑為，則，，則，所以動圓圓心的軌跡是以，為焦點，以為實軸長的雙曲線的右支.因為，所以.故動圓圓心的軌跡方程為.故選：D.考點五雙曲線的離心率求雙曲線的離心率20．（2023春·河北唐山·高二校聯(lián)考階段練習）雙曲線的一條漸近線方程為，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)漸近線得到，得到離心率.【詳解】因為的一條漸近線方程為，所以，所以的離心率.故選：C21．（2023春·云南昆明·高二昆明市第三中學校考階段練習）已知雙曲線，過點的直線與相交于兩點，且的中點為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由點差法得出，進而由離心率公式求解即可.【詳解】設，，由的中點為，則，由，兩式相減得：=，則==，由直線的斜率，∴，則，雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率為，故選：B．22．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，關于原點對稱的兩點分別在雙曲線的左?右兩支上，，且點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及雙曲線的定義，再利用矩形的性質及勾股定理，結合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示設，則，，，因為，所以，則四邊形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，于是有，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.23．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的最小值為9，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，根據(jù)雙曲線的對稱性畫出圖形，由雙曲線的定義可知，當且僅當點，，三點共線時，等號成立，從而得到的最小值為，求出的值，得到雙曲線的離心率．【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性，僅作一條漸近線，因為雙曲線，，由雙曲線的定義可知，，，當且僅當點，，三點共線時，等號成立，漸近線方程為，即，且，此時，的最小值為，，，所以離心率，故選：A．24．（2023春·海南·高二?？茧A段練習）設，分別為雙曲線：的左?右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】聯(lián)立與求出，進而的正切可求，得出的關系，從而進一步解出答案.【詳解】依題意得,以線段為直徑的圓的方程為,雙曲線的一條漸近線的方程為.由以及解得或不妨取,則.因為,所以,又,所以,所以,所以該雙曲線的離心率.故選：D.25．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，F(xiàn)為C的下焦點．O為坐標原點，是C的斜率大于0的漸近線，過F作斜率為的直線l交于點A，交x軸的正半軸于點B，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分別表示出A、B坐標，利用求得，即可求出離心率.【詳解】因為F為雙曲線的下焦點，不妨設，所以過F作斜率為的直線，所以.因為是C的斜率大于0的漸近線，所以可設.由聯(lián)立解得：.因為，所以，解得：.所以離心率.故選：C求雙曲線離心率的取值范圍26．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預測）已知雙曲線：的右焦點為，點，若雙曲線的左支上存在一點，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線定義可得，，即，進而推得，得到不等式，求解即可得到的取值范圍，進而求得離心率的范圍.【詳解】設雙曲線左焦點為，因為點在雙曲線左支上，所以有，即.由已知得，存在點，使得，即，顯然，所以.又，即當點位于圖中位置時，等號成立，所以，又，所以，整理可得，，解得或（舍去），所以，則，則，所以，所以.故選：C.27．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習）已知為雙曲線的左焦點，直線過點與雙曲線交于兩點，且最小值為，則雙曲線離心率取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別討論經(jīng)過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上和直線與雙曲線的交點在兩支上這兩種情況,列出不等式,計算即可得到范圍．【詳解】①當經(jīng)過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上,可得雙曲線的通徑最小,設雙曲線的左焦點為，過的直線與雙曲線左支相交于，當直線斜率不存在時，直線的方程為可得,即有，當直線斜率存在時，設直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當直線與軸垂直時，的長最小，即最小值為②當直線與雙曲線的交點在兩支上,可得當直線的斜率為0時,最小為由①②及題意可得,即為,即有,則離心率.故選:.28．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的上、下焦點分別是，若雙曲線C上存在點P使得，，則其離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結合平面向量數(shù)量積的運算性質、雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】設，利用向量加法法則知，則即，故①，設，則，②，由①②得，即，又，所以，即，即，而雙曲線離心率的值大于1，故選：B由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍29．（陜西安康·統(tǒng)考三模）已知圓錐曲線的離心率為2，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】將方程化為標準式，可知為雙曲線，再結合離心率公式，即可得到結果.【詳解】該圓錐曲線是雙曲線方程可化為，∴，解得．故選:A.30．（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的離心率大于，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線方程，討論實軸位置，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得的范圍．【詳解】當雙曲線實軸在軸上時，，解得，此時，所以，解得，所以，當雙曲線實軸在軸上時，，解得，不符合題意.綜上，解得.故選：A．31．（2023春·江蘇連云港·高二校考期末）設k為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意確定，根據(jù)雙曲線離心率的范圍可得不等式，即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線方程為,可得，故實半軸，則，由得，則，即k的取值范圍為，故選：A．考點六雙曲線的漸近線32．（2023春·陜西渭南·高二期末）中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設雙曲線方程，根據(jù)已知得到，即可得到漸近線的方程.【詳解】由已知可設雙曲線的標準方程為.由已知可得，所以，則，所以.所以，雙曲線的漸近線方程為.故選：D.33．（2023春·江蘇徐州·高二期末）若雙曲線：，的離心率為，則的兩條漸近線所成的角等于__________.【答案】【分析】根據(jù)離心率與的關系以及漸近線方程的表達式即可求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，又因為，所以，解得，所以雙曲線的一條漸近線為，傾斜角為，所以兩條漸近線所成的角等于.故答案為:.34．（2023春·山東聊城·高二山東聊城一中?？计谥校┤綦p曲線的一個焦點為，兩條漸近線互相垂直，則______.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線相互垂直求得的關系式，結合求得.【詳解】依題意，由于雙曲線兩條漸近線互相垂直，所以，由于，所以.故答案為：35．（2023春·遼寧葫蘆島·高二興城市高級中學校聯(lián)考階段練習）與雙曲線有共同漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的虛軸的長為（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】D【分析】依題意，設雙曲線的方程為，將點的坐標代入可求．即可求解.【詳解】設與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點，．所求的雙曲線方程為：，即．所以，所以虛軸長為4.故選：D36．（2023·浙江杭州·模擬預測）在平面直角坐標系中，分別是雙曲線的左?右焦點，過作漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的右支交于點，且，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義建立的關系即可解得答案.【詳解】設，其中，則焦點到漸近線的距離又因為，所以，又，得.則在中，有，，.則由余弦定理得則漸近線方程.故選：C37．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知P是雙曲線右支上一點，分別是雙曲線C的左，右焦點，P點又在以為圓心，為半徑的圓上，則下列結論中正確的是（

）A．的面積為 B．雙曲線C的漸近線方程為C．點P到雙曲線C左焦點的距離是 D．雙曲線C的右焦點到漸近線的距離為3【答案】D【分析】由雙曲線方程求得，，的值，繼而求得，判斷C;根據(jù),證明，求得面積，即可判斷；求得雙曲線漸近線方程，判斷；求得曲線C的右焦點到漸近線的距離，判斷D.【詳解】由方程，得，，則，由題意知，，，，則，，則△的面積為，故錯誤．的漸近線方程為，故錯誤；，故錯誤；雙曲線的右焦點為,根據(jù)雙曲線的對稱性不妨取漸近線方程，即，則雙曲線C的右焦點到漸近線的距離為，故D正確，故選：D考點七直線與雙曲線的位置關系（一）直線與雙曲線的位置關系判斷及應用38．（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習）若直線與曲線有且只有一個交點，則滿足條件的直線有（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【分析】利用雙曲線和雙曲線漸近線的圖像和性質求解即可.【詳解】直線，即恒過點，又雙曲線的漸近線方程為，則點在其中一條漸近線上，又直線與雙曲線只有一個交點，則直線過點且平行于或過點且與雙曲線的右支相切，即滿足條件的直線有條.故選：C39．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎本€，若雙曲線與均無公共點，則可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線漸近線與之間的位置關系，即可容易判斷.【詳解】的斜率分別是；對A：該雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故曲線與有兩個公共點，不滿足題意，A錯誤；對B：該雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與有兩個公共點，不滿足題意，B錯誤；對C：該雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與都沒有公共點，滿足題意，C正確；對D：該雙曲線是焦點在軸上的雙曲線，其過第一象限的漸近線為，又，故雙曲線與沒有公共點，與有兩個公共點，不滿足題意，D錯誤.故選：C.40．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】利用定義法，分充分性和必要性分類討論即可.【詳解】充分性：因為“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”，所以直線與雙曲線相切或直線與漸近線平行.故充分性不滿足；必要性：因為“直線與雙曲線相切”，所以“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”.故必要性滿足.所以“直線與雙曲線有且僅有一個公共點”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件.故選：B41．（2023·全國·高二專題練習）若直線與曲線交于不同的兩點，那么的取值范圍是A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【詳解】由直線與曲線相切得由圖知,的取值范圍是（），選D.42．（2023春·河南洛陽·高二宜陽縣第一高級中學校考階段練習）已知直線的方程為，雙曲線的方程為.若直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】把直線的方程和雙曲線的方程聯(lián)立，由于直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點，根據(jù)韋達定理即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，化簡得，因為直線與雙曲線的右支交于不同兩點，所以,不妨設兩交點的橫坐標為，則,則，解得；所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D.43．（2023春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）若直線l：與曲線C：有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意作出曲線C的圖象，作出直線的圖象，平行移動直線，即可得到當直線l介于與之間時，直線l與曲線C有兩個公共點，結合圖象，即可求出實數(shù)m的取值范圍．【詳解】當時，曲線C的方程為，軌跡為橢圓的右半部分；當時，曲線C的方程為，軌跡為雙曲線的左半部分，其漸近線為，作出圖象如下圖，直線l（圖中虛線）是與直線平行的直線，平行移動直線，可得直線l，如圖可知，當直線l介于直線和（與l平行且與橢圓相切，切點在第一象限）之間時，直線l與曲線C有兩個公共點．設的方程為，，則有，聯(lián)立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范圍為．故選：B．（二）弦長問題44．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市青木關中學校校考階段練習）已知雙曲線C：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點，則截得的弦長（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)漸近線方程和焦點坐標可解得，再將直線方程代入雙曲線方程消元，由韋達定理和弦長公式可得.【詳解】雙曲線C：的一條漸近線方程是，，即左焦點，，，，，雙曲線C的方程為易知直線l的方程為，設，，由，消去y可得，，故選：D45．（2023·高二課時練習）已知雙曲線，過右焦點的直線交雙曲線于兩點，若中點的橫坐標為4，則弦長為（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】設出直線，與聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，可求出的值，再根據(jù)弦長公式求得弦的長．【詳解】解：雙曲線，則，所以右焦點，根據(jù)題意易得過的直線斜率存在，設為，聯(lián)立，化簡得，所以，因為中點橫坐標為4，所以，解得，所以，則，則．故選D．46．（2023·高二課時練習）已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，與直線交于A，B兩點，若，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出雙曲線方程，聯(lián)立直線，求出交點坐標，即可求解【詳解】由題意可設雙曲線方程為，，由得，則，，不妨假設，則，由圖象的對稱性可知，可化為，即，解得，故雙曲線方程為：，故選：C47．（2023春·福建福州·高二校考期中）設，是雙曲線C：的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C的漸近線上，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出漸近線，由雙曲線的對稱性，不妨設，由列方程解出參數(shù)，求出，即可求面積.【詳解】雙曲線的漸近線為，由雙曲線的對稱性，不妨設，由得，又，∴的面積.故選：A（三）中點弦問題48．（2023·全國·高二專題練習）直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用“點差法”求出l的斜率，再驗證作答.【詳解】設點，，因為AB的中點，則有，又點A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點，所以l的斜率為2.故選：C49．（2023秋·河南濮陽·高二統(tǒng)考期末）已知直線l被雙曲線C：﹣y2=1所截得的弦的中點坐標為(1，2)，則直線l的方程（

）A．x+4y﹣9=0 B．x﹣4y+7=0C．x﹣8y+15=0 D．x+8y﹣17=0【答案】C【分析】運用代入法、點差法求出直線l的斜率，最后利用直線的點斜式方程進行求解即可.【詳解】解：設P，Q的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，∵線段PQ的中點為(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∵，∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，整理得，即直線l的斜率為，故直線l的方程為y﹣2=(x﹣1)，即x﹣8y+15=0，故選：C.50．（2023春·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）已知傾斜角為的直線與雙曲線，相交于，兩點，是弦的中點，則雙曲線的漸近線的斜率是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)點差法即可求得的關系，進而即可得到雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】設，則由，可得則，即，則則雙曲線的漸近線的斜率為故選：A51．（2023秋·云南大理·高二校考階段練習）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)，，的關系得出，設出，兩點的坐標，代入雙曲線方程，兩式相減利用中點坐標公式，求出，再根據(jù)直線過點，求出，即可得出，進而求出，得出雙曲線的標準方程.【詳解】解：設雙曲線的標準方程為：，由題意知：，即①設，，的中點為，，，又，在雙曲線上，則，兩式作差得：，即，即，又，即，解得：②，由①②解得：，，雙曲線的標準方程為：.故選：B.52．（2023·高二課時練習）雙曲線被斜率為的直線截得的弦的中點為則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】根據(jù)點差法，設出交點坐標，代入作差即可得解.【詳解】設代入雙曲線方程作差有:，有，所以，故選：B．考點八雙曲線中參數(shù)范圍及最值問題53．（2023春·湖南株洲·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的離心率為，過左焦點且與實軸垂直的弦長為1，A、B分別是雙曲線的左、右頂點，點P為雙曲線右支上位于第一象限的動點，PA，PB的斜率分別為，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出的值，則雙曲線方程為，則，，設，列出有關的表達式，再根據(jù)漸近線方程即可解得其的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意知：，，故，，雙曲線方程為，則，，設，則，，，，根據(jù)漸近線方程知：，即，兩邊同時倒數(shù)可得：，故．故選：C．54．（2023春·福建寧德·高二統(tǒng)考期末）已知F是雙曲線的右焦點，若直線與雙曲線相交于A，B兩點，且，則k的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用雙曲線的定義和性質得到，由漸近線方程得到漸近線的斜率，當時，利用余弦定理和面積公式，通過面積相等的兩種不同求法，建立關系，最終求出k的范圍.【詳解】焦點在x上焦點坐標為由雙曲線的對稱性可得又又又而當時，整理得又又的漸近線方程為又k的取值范圍為故選：C55．（2023春·河南鄭州·高二鄭州市回民高級中學校考期中）已知分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，△和△的內心分別為M，N，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設圓M與△的三邊分別切于點D，P，E(參考解析中的圖)，根據(jù)圓的切線長定理得到相關線段的相等關系，結合雙曲線的定義及線段關系可得，進而確定E的坐標，設并確定其范圍，由及平方關系、二倍角正弦公式和正弦函數(shù)的性質求范圍.【詳解】設圓M與△的三邊分別切于點D，P，E，設E為，如下圖示：由圓的切線性質知：，，，由雙曲線的定義知：，即，故，可得，即，故圓M切x軸于雙曲線的右頂點處，同理圓N也切x軸于雙曲線的右頂點處，又，所以，則，設，易知：，又分別為和的平分線，所以，，，所以，又，所以.故選：A．56．（2023·高二課時練習）已知是雙曲線：上的一點，，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知，，所以==，解得，故選A.考點九雙曲線的定點、定值問題57．（2023秋·江蘇泰州·高二泰州中學?？奸_學考試）雙曲線，過定點的兩條垂線分別交雙曲線于、兩點，直線恒過定點______．【答案】【分析】先將直線和雙曲線方程聯(lián)立，然后根據(jù)兩條直線互相垂直，利用向量坐標運算列出方程后整理后可知其過的定點坐標.【詳解】解：由題意得：設的方程為由，得．設，，則，，又，∴，即，把根與系數(shù)的關系代入，可得，∴，解得或．當時，直線過，舍去；當時，直線過定點．故答案為：58．（2023春·福建龍巖·高二上杭縣第二中學校考階段練習）已知雙曲線C：的離心率為，A，B分別是雙曲線的左、右頂點，點P是雙曲線C的右支上位于第一象限的動點，則直線PA、PB的斜率之積等于___．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，設且，根據(jù)斜率公式求出，并且化簡到只有離心率的表達式.【詳解】因為雙曲線C：所以，設且即，所以故答案為：59．（2023春·山東濰坊·高二濰坊一中期末）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線(1)求曲線C的方程；(2)已知點，直線l不過P點并與曲線C交于A，B兩點，且，直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點【分析】（1）結合條件和雙曲線定義可得答案.（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程，結合韋達定理與，可得，后通過分解因式可得之間關系，從而可得l所過定點.【詳解】（1）如圖，設圓E的圓心為，半徑為r，由題可得圓M半徑為，圓N半徑為則，，所以，由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點、實軸長為6的雙曲線的右支，又.所以動圓的圓心E的軌跡方程為，.（2）設直線l的方程為，將直線方程與曲線E方程聯(lián)立，有：，消去x得，由題直線與曲線有兩個交點，則.設，，其中，，由韋達定理有：.又，則又，，則，即，又，故或，若，則直線l的方程為，此時l過點，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，則直線l恒過點60．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知等軸雙曲線經(jīng)過點，過原點且斜率為的直線與雙曲線交于、兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)設為雙曲線上異于、的任意一點，且、的斜率、均存在，證明為定值；(3)已知點，求最小時的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點，代入求解即可.（2）設出、兩點坐標，先表示出斜率公式，利用點差法即可求證.（3）首先利用數(shù)量積得，進而得直角最小.【詳解】（1）因為點在曲線上，則有，解得，故雙曲線方程為.（2）由題意可知，、關于原點對稱，設、、.則，，那么，又因為、在曲線上，則，兩式相減整理得，則有.（3）如圖所示：設、、.則，，，即為直角或鈍角，所以當為直角時最小，此時，所以.61．（2023春·湖南長沙·高二校聯(lián)考階段練習）雙曲線：的離心率為，且點在雙曲線上.(1)求曲線的方程；(2)動點M，N在曲線上，已知點，直線PM，PN分別與y軸相交的兩點關于原點對稱，點在直線MN上，，證明：存在定點，使得為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由雙曲線過點和離心率為，列方程即可求解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)直線PM，PN與y軸的兩交點關于原點對稱結合韋達定理即可求解.【詳解】（1）由題意可知：且，解得，故雙曲線方程為：.（2）證明：當直線的斜率不存在時，此時兩點關于軸對稱，若直線PM，PN與y軸的兩交點關于原點對稱，則在軸上，與題意矛盾，因此直線的斜率存在.設直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，，，.直線PM，PN分別與y軸相交的兩點為，，∴直線方程為，令，則，同理，可得，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，，當時，，此時直線方程為恒過定點，顯然不可能，∴，直線方程為，恒過定點∵，設中點為T，∴，∴為定值，∴存在使為定值.考點十雙曲線中的向量問題62．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考期中）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，是上一點，且位于第一象限，，則的縱坐標為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由，可知為直角三角形，利用勾股定理計算出，又由雙曲線的定義建立，聯(lián)立解的，設的縱坐標為，由等面積法求出即可【詳解】因為，所以.由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為.設的縱坐標為，則的面積為，解得.所以的縱坐標為：故選：C.63．（2023春·江蘇連云港·高二?？计谥校╇p曲線：，已知是雙曲線上一點，分別是雙曲線的左右頂點，直線，的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線的焦距為，直線過點且與雙曲線交于、兩點，若，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由點在雙曲線上得到，再由，的斜率之積為得到，從而得到，由此可求得雙曲線的離心率；（2）先由條件求得雙線曲方程，再聯(lián)立直線與雙曲線得到，又由得到，從而求得值，由此可得直線的方程.【詳解】（1）因為是雙曲線E上一點，可得，即為，由題意可得，，可得，即有.（2）由題意可得，，則雙曲線的方程為，易知直線斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，設，則，，①又，可得，②由①②可得，，代入①可得，解得，則直線l的方程為.64．（2023春·四川瀘州·高二?？计谥校┮阎p曲線（，）中，離心率，實軸長為4(1)求雙曲線的標準方程；(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點，且在雙曲線存在點，使得，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)離心率以及實軸長即可求解的值，進而可求雙曲線方程，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，得韋達定理，進而結合向量滿足的關系即可代入求值.【詳解】（1）因為雙曲線的離心率，實軸長為4，，解得，因為所以雙曲線的標準方程為（2）將直線與曲線聯(lián)立得，設，，則，，設，由得，即，又因為，解得，所以或.65．（2023春·遼寧·高二沈陽市第三十一中學校聯(lián)考期中）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，直線l過F與雙曲線的右支交于兩點，且當l垂直于x軸時，；(1)求雙曲線的方程；(2)過點F且垂直于l的直線與雙曲線交于兩點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)通徑，直接求得，再結合離心率為2即可求雙曲線的方程；（2）通過對轉化為，從而簡化計算，利用韋達定理求解即可.【詳解】（1）依題意，，當l垂直于x軸時，，即，即，解得，，因此；（2）設，聯(lián)立雙曲線方程，得：，當時，，，當時，設，因為直線與雙曲線右支相交，因此，即，同理可得，依題意，同理可得，，而，代入，，，分離參數(shù)得，，因為，當時，由，，所以，綜上可知，的取值范圍為.考點十一雙曲線中的綜合問題66．【多選】（2023春·江蘇·高二江蘇省新海高級中學校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線C：，兩個焦點記為，下列說法正確的是（

）A．B．漸近線方程為：C．離心率為D．點在雙曲線上且線段的中點為，若，則【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線的性質判斷ABC，再由中位線定理結合定義判斷D.【詳解】由題意可知，，即漸近線方程為：，，離心率為，故AC正確，B錯誤；對于D，當位于軸上方時，由中位線定理可得，，則，故D錯誤；故選：AC67．【多選】（2023春·湖北襄陽·高二襄陽五中?？茧A段練習）如圖，過雙曲線右支上一點P作雙曲線的切線l分別交兩漸近線于A、B兩點，交x軸于點D，分別為雙曲線的左、右焦點，O為坐標原點，則下列結論正確的是（

）A．B．C．D．若存在點P，使，且，則雙曲線C的離心率【答案】BCD【分析】聯(lián)立切線方程與漸近線方程，求出的坐標，即可得，由的取值范圍即可得，從而可判斷A，由中點坐標公式可判斷是的中點，由此可判斷BC，由余弦定理結合可判斷D.【詳解】先求雙曲線上一點的切線方程：不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）.由，得，所以，則在的切線斜率，所以在點處的切線方程為：又有，化簡即可得切線方程為：.不失一般性，設是雙曲線在第一象限的一點，是切線與漸近線在第一象限的交點，是切線與漸近線在第四象限的交點,雙曲線的漸近線方程是，聯(lián)立：，解得：，聯(lián)立：，解得：，則，又因為，所以，即，A錯誤；由，可知是的中點，所以，B正確；易知點的坐標為，則，當點在頂點時，仍然滿足，C正確；因為，所以，，因為，則，解得，即，代入，得，所以，，所以，所以，，所以離心率，D正確.故選：BCD68．（2023春·四川成都·高二樹德中學?？计谥校┰O，是雙曲線的左?右焦點，過作C的一條漸近線的垂線l，垂足為H，且l與雙曲線右支相交于點P，若，且，則下列說法正確的是（

）A．到直線l的距離為a B．雙曲線的離心率為C．的外接圓半徑為 D．的面積為9【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，是的中點，因此可得，為△的中位線，可求到直線的距離判斷A選項；利用雙曲線的定義，即可求得，和的值，求得雙曲線的離心率，可判斷B選項；求得，利用正弦定理即可求得△的外接圓半徑，可判斷C選項；利用三角形的面積公式，即可求得△的面積，可判斷D選項．【詳解】由題意，到準線的距離，又，∴，如圖過向作垂線，垂足為，由，為中點，則為△的中位線，所以，即是的中點，因為，，，，，因此到直線的距離為，故A錯誤；在中，，又，得到，解得，，，所以雙曲線的離心率，故B正確；，設△的外接圓半徑，因此，所以，故C錯誤；△的面積．故D錯誤.故選：B．69．【多選】（2023春·吉林長春·高二?？计谥校┮阎p曲線過點且漸近線方程為，則下列結論正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．直線與雙曲線C有兩個交點C．曲線經(jīng)過雙曲線的一個焦點 D．焦點到漸近線的距離為1【答案】ACD【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得雙曲線方程，進而逐項求解判斷即可．【詳解】解：由題意設雙曲線方程為，∵雙曲線過，，∴雙曲線方程為，故A對；聯(lián)立消得，故直線與雙曲線只有一個交點，故B錯；由得焦點坐標為，將代入得，故C對；由雙曲線的性質知交點到漸進線的距離為，或者到漸進線的距離，故D對．故選：ACD．70．【多選】（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知雙曲線的焦點為，且到直線的距離為4，則以下說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．若在雙曲線上，且，則或1C．若過的直線交雙曲線右支于，則的最小值為D．若在雙曲線上，且，則的面積為【答案】AC【分析】由焦點到漸進線的距離為4可得，，可得離心率；即A正確；根據(jù)雙曲線定義即可求得判斷B；根據(jù)焦點弦公式可知的最小值為雙曲線的通徑可判斷C；根據(jù)雙曲線定義即勾股定理分別計算出的長，即可的面積從而判斷D.【詳解】由已知可得，到直線的距離為，所以，即離心率為，所以A正確；若在雙曲線右支，由焦半徑公式可知，所以只能在雙曲線左支，故，所以B錯誤；若過的直線交雙曲線右支于，則的最小值為雙曲線的通徑，即，故C選項正確；若在雙曲線上，且，設，不妨設，由雙曲線定理和勾股定理得：，所以，則的面積為；即D錯誤.故選：AC.【【過關檢測】一、單選題1．（2023春·江蘇連云港·高二期末）經(jīng)過點，并且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】等軸雙曲線的方程可設為，將代入解出即可.【詳解】設等軸雙曲線的方程為，將代入得：，即，所以等軸雙曲線的標準方程為．故選：A．2．（2023秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【答案】B【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，求得m的范圍，判斷A;根據(jù)曲線表示雙曲線，求得m的范圍，判斷B；由B的分析求雙曲線的焦距，可判斷C;根據(jù)E的離心率為，分類討論求得m的值，判斷D.【詳解】由題意得，當時，，即，要表示橢圓，需滿足，解得且，故A錯誤；若E表示雙曲線，則不能為0，故化為，則，即或，故B正確；由B的分析知，時，，此時c不確定，故焦距不是定值，C錯誤；若E的離心率為，則此時曲線表示橢圓，由A的分析知，且，當時，，此時，則，解得，當時，，此時，則，解得，故D錯誤，故選：B3．（2023春·四川瀘州·高二四川省瀘縣第一中學?？计谀┮阎请p曲線的左、右焦點，點M是過坐標原點O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個交點，且則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由得到，，結合，求出，，利用雙曲線定義得到方程，求出離心率.【詳解】不妨設點M在第一象限，由題意得：，即，故，故，因為O為的中點，所以，因為，故為等邊三角形，故，，由雙曲線定義可知：，即，解得：.故選：C.4．（2023春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學?？计谀┮阎cP是雙曲線上的動點，過原點O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得為的中點，即可得到，再根據(jù)雙曲線的性質計算可得；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知為的中點，所以，又在上，所以，當且僅當在雙曲線的頂點時取等號，所以．故選：C5．（2023春·山東·高二沂水縣第一中學期末）已知雙曲線：的漸近線方程為，則（

）A．2 B．－2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得漸近線方程為：，結合題意然后根據(jù)雙曲線標準方程可得，進而求解.【詳解】因為雙曲線的方程為，所以，令可得：，所以漸近線方程為：，由題意知：雙曲線：的漸近線方程為，所以，故選：B.6．（2023春·安徽合肥·高二?？计谀┲本€與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．【答案】D【分析】已知直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，將直線與雙曲線兩個方程聯(lián)立，得到的一元二次方程有一正一負根，即可得出結論．【詳解】聯(lián)立，消y得，.因為直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，所以方程有一正一負根，所以，整理得，解得.所以的取值范圍為.故選：D．二、多選題7．（2023春·江蘇無錫·高二統(tǒng)考期末）已知點在雙曲線上，分別是左?右焦點，若的面積為20，則下列判斷正確的有（

）A．點到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線的方程、定義與性質，結合三角形的面積求出P的坐標，結合兩點的距離公式、斜率公式以及余弦定