中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)全攻略：第一節(jié) 統(tǒng)計(jì)

第一節(jié)統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)據(jù)收集、整理1.數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù)收集常用方法全面調(diào)查：所要考察對(duì)象的全體叫做總體.抽樣調(diào)查:采用調(diào)查部分對(duì)象的方式來收集數(shù)據(jù)根據(jù)部分來估計(jì)整體的情況,叫做抽樣調(diào)查.優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時(shí)間，人力，物力和財(cái)力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要主要樣本的代表性和廣泛性。 收集數(shù)據(jù)時(shí)常見的統(tǒng)計(jì)量 (1)總體：要考察的全體對(duì)象；(2)個(gè)體：組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象；(3)樣本：被抽查的那些個(gè)體組成一個(gè)樣本；(4)樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目．變式練習(xí)：為了了解某校3800名學(xué)生視力情況，從中測(cè)試了400名學(xué)生視力進(jìn)行分析，在這個(gè)問題中，總體是某校3800名學(xué)生視力情況，樣本容量是400.知識(shí)點(diǎn)二：反映數(shù)據(jù)集中程度的量1.平均數(shù)一般地，如果有n個(gè)數(shù)那么，叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，讀作“x拔”。2.加權(quán)平均數(shù)注意：計(jì)算平均數(shù)時(shí)注意分辨是算術(shù)平均數(shù)還是加權(quán)平均數(shù)，兩者計(jì)算方法有差異，不能混淆.如果n個(gè)數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，…，出現(xiàn)次（這里），那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為，這樣求得的平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)，其中叫做權(quán)。注意：計(jì)算平均數(shù)時(shí)注意分辨是算術(shù)平均數(shù)還是加權(quán)平均數(shù)，兩者計(jì)算方法有差異，不能混淆.變式練習(xí)1：某商品共10件，第一天以25元/件賣出2件，第二天以20元/件賣出3件，第三天以18元/件賣出5件，則這種商品的平均售價(jià)為20元/件．變式練習(xí)2：某公司內(nèi)設(shè)四個(gè)部門，2015年各部門人數(shù)及相應(yīng)的每人所創(chuàng)年利潤(rùn)如表所示，求該公司2015年平均每人所創(chuàng)年利潤(rùn)．部門人數(shù)每人所創(chuàng)年利潤(rùn)/萬元A136B627C816D1120解：該公司2015年平均每人所創(chuàng)年利潤(rùn)為eq\f(36×1＋27×6＋16×8＋20×11,1＋6＋8＋11)＝21，答：該公司2015年平均每人所創(chuàng)年利潤(rùn)為21萬元3.中位數(shù) 一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，（1）如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則稱處于中間位置的數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則稱中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．（3）如果在一組互不相等的數(shù)據(jù)中，小于和大于這個(gè)中位數(shù)的數(shù)據(jù)各占一半。變式練習(xí)：某公司的拓展部有五個(gè)員工，他們每月的工資分別是3000元，4000元，5000元，7000元和10000元，那么他們工資的中位數(shù)是()A.4000元B.5000元C.7000元D.10000元【解析】B將5個(gè)工資數(shù)由小到大排列，位于最中間，即第3個(gè)數(shù)是5000元，故中位數(shù)為5000元．4.眾數(shù) 一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有多個(gè)，也可能沒有.（1）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)的峰值，它是一種位置代表值，不易受極端值的影響，其缺點(diǎn)是具有不唯一性。（2）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，是一組數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，而不是相應(yīng)的次數(shù)．（3）一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有時(shí)不只一個(gè)，如數(shù)據(jù)2、3、－1、2、1、3中，2和3都出現(xiàn)了2次，它們都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。變式練習(xí)1：一組數(shù)據(jù)：1，2，1，0，2，a，若它們的眾數(shù)為1，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1．變式練習(xí)2：數(shù)據(jù)8、8、6、5、6、1、6的眾數(shù)是()A.1B.5C.6D.8【解析】C6在這組數(shù)里出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，是眾數(shù)．變式練習(xí)3：在以下數(shù)據(jù)75，80，80，85，90中，眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A.75，80B.80，80C.80，85D.80，90【解析】80出現(xiàn)兩次，次數(shù)最多，于是眾數(shù)為80，按由小到大排序后，最中間的數(shù)是80，于是這一組數(shù)的中位數(shù)為80，故選B.5.比較平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的優(yōu)劣：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計(jì)算簡(jiǎn)單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個(gè)數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒有特別的意義。變式練習(xí)：甲、乙兩名隊(duì)員參加射擊訓(xùn)練，成績(jī)分別被制成下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如下：平均成績(jī)/環(huán)中位數(shù)/環(huán)眾數(shù)/環(huán)方差甲a771.2乙7b8c(1)寫出表格中a，b，c的值；(2)分別運(yùn)用表中的四個(gè)統(tǒng)計(jì)量，簡(jiǎn)要分析這兩名隊(duì)員的射擊訓(xùn)練成績(jī)．若選派其中一名參賽，你認(rèn)為應(yīng)選哪名隊(duì)員？解：(1)甲的平均成績(jī)a＝eq\f(5×1＋6×2＋7×4＋8×2＋9×1,1＋2＋4＋2＋1)＝7(環(huán))，∵乙射擊的成績(jī)從小到大從新排列為：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，∴乙射擊成績(jī)的中位數(shù)b＝eq\f(7＋8,2)＝7.5(環(huán))，其方差c＝eq\f(1,10)×[(3－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋2×(7－7)2＋3×(8－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝eq\f(1,10)×(16＋9＋1＋3＋4＋9)＝4.2(2)從平均成績(jī)看甲、乙二人的成績(jī)相等均為7環(huán)，從中位數(shù)看甲射中7環(huán)以上的次數(shù)小于乙，從眾數(shù)看甲射中7環(huán)的次數(shù)最多而乙射中8環(huán)的次數(shù)最多，從方差看甲的成績(jī)比乙的成績(jī)穩(wěn)定；綜合以上各因素，若選派一名學(xué)生參加比賽的話，可選擇乙參賽，因?yàn)橐耀@得高分的可能更大知識(shí)點(diǎn)三：反映數(shù)據(jù)離散程度的量1、方差的概念方差公式在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。通常用“”表示，即公式：設(shè)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則這n個(gè)數(shù)據(jù)的方差為s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2].注意：（1）方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，若該組每個(gè)數(shù)據(jù)變化相同，則方差不變.若數(shù)據(jù)注意：（1）方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，若該組每個(gè)數(shù)據(jù)變化相同，則方差不變.若數(shù)據(jù)a1，a2，……an的方差是s，則數(shù)據(jù)a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s，數(shù)據(jù)ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s（2）用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小).在樣本容量相同的情況下,方差越大,說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大,越不穩(wěn)定.方差主要應(yīng)用在平均數(shù)相等或接近時(shí)。方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，越穩(wěn)定．變式練習(xí)：一組數(shù)據(jù)2，4，a，7，7的平均數(shù)x＝5，則方差s2＝__3.6__．2.極差:一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。極差＝最大值－最小值．極差能夠反映數(shù)據(jù)的變化范圍.極差是最簡(jiǎn)單的一種度量數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的量,但它受極端值的影響較大.知識(shí)點(diǎn)四：數(shù)據(jù)的整理和描述1、頻率分布的意義在許多問題中，只知道平均數(shù)和方差還不夠，還需要知道樣本中數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍所占的比例的大小，這就需要研究如何對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，以便得到它的頻率分布。2、研究頻率分布的一般步驟及有關(guān)概念（1）研究樣本的頻率分布的一般步驟是：①計(jì)算極差（最大值與最小值的差）②決定組距與組數(shù)③決定分點(diǎn)④列頻率分布表⑤畫頻率分布直方圖（2）頻率分布的有關(guān)概念①極差：最大值與最小值的差②頻數(shù)：落在各個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率。．變式練習(xí)：某校對(duì)1200名學(xué)生的身高進(jìn)行了測(cè)量，身高在1.58～1.63（單位：m）這一個(gè)小組的頻率為0.25，則該組的人數(shù)是300.3.統(tǒng)計(jì)圖(1)條形統(tǒng)計(jì)圖能夠顯示每組中的具體數(shù)據(jù)．(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖能夠顯示部分在總體中的百分比．(3)折線統(tǒng)計(jì)圖能夠顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)．(4)頻數(shù)分布直方圖能夠顯示數(shù)據(jù)的分布情況．變式練習(xí)：空氣中由多種氣體混合而成，為了簡(jiǎn)明扼要地介紹空氣的組成情況，較好地描述空氣中各種成分所占的百分比，最適合采用的統(tǒng)計(jì)圖是扇形統(tǒng)計(jì)圖4.畫頻數(shù)分布直方圖的步驟(1)計(jì)算最大值與最小值的差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)決定分點(diǎn)；(3)列頻數(shù)分布表；(4)畫頻數(shù)分布直方圖． 變式練習(xí)1：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差是23，若組距為3，則在畫頻數(shù)分布直方圖時(shí)應(yīng)分為8組．變式練習(xí)2：某學(xué)校準(zhǔn)備開展“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)以下體育活動(dòng)項(xiàng)目：足球、乒乓球、籃球和羽毛球，要求每位學(xué)生必須且只能選擇一項(xiàng)．為了解選擇各種體育活動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將通過調(diào)查獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答問題：第2題圖(1)這次活動(dòng)一共調(diào)查了________名學(xué)生；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，選擇籃球項(xiàng)目的人數(shù)所在扇形的圓心角等于______度；(4)若該學(xué)校有1500人，請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校選擇足球項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)約是________人．解：(1)250；【解法提示】用選擇“足球”項(xiàng)目的人數(shù)除以它占抽查總數(shù)的百分比，便可得這次活動(dòng)一共調(diào)查的學(xué)生數(shù)，即80÷32%＝250(名).(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如解圖所示：第2題解圖【解法提示】選擇“籃球”項(xiàng)目的人數(shù)為：250－80－40－55＝75(人)．(3)108；【解法提示】用選擇籃球項(xiàng)目的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以360°就可以得到選擇籃球項(xiàng)目的人數(shù)所占扇形圓心角的度數(shù)：eq\f(75,250)×360°＝108°.(4)480.【解法提示】用總?cè)藬?shù)乘以選擇足球項(xiàng)目的人數(shù)所占的百分比就可得到該學(xué)校選擇足球項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)：1500×32%＝480(人)．變式練習(xí)3：某校教導(dǎo)處為了解該校七年級(jí)同學(xué)對(duì)排球、乒乓球、羽毛球、籃球和足球五種球類運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的喜愛情況(每位同學(xué)必須且只能選擇最喜愛的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目)，進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)后繪制成了如表和圖所示的不完整統(tǒng)計(jì)圖表．樣本人數(shù)分布表類別人數(shù)百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球15籃球20%足球816%合計(jì)100%(1)請(qǐng)你補(bǔ)全樣本人數(shù)分布表和條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)若七年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為920人，請(qǐng)你估計(jì)七年級(jí)學(xué)生喜愛羽毛球運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù)．解：(1)補(bǔ)全樣本人數(shù)分布表如下所示，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如解圖所示；樣本人數(shù)分布表類別人數(shù)百分比排球36%乒乓球1428%羽毛球1530%籃球1020%足球816%合計(jì)50100%【解法提示】樣本容量＝eq\f(喜歡排球人數(shù),喜歡排球的百分比)＝eq\f(3,6%)＝50(人)；喜歡羽毛球百分比＝eq\f(喜歡羽毛球人數(shù),樣本容量)＝eq\f(15,50)＝30%；喜歡籃球人數(shù)＝樣本容量×喜歡籃球的百分比＝50×20%＝10(人)．(2)所抽取50人中，喜愛羽毛球運(yùn)動(dòng)的同學(xué)占30%，用樣本頻率估算總體頻率可知，920人中喜愛羽毛球運(yùn)動(dòng)的約占30%，∴920×30%＝276(人)．答：七年級(jí)學(xué)生喜愛羽毛球運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的人數(shù)大約有276人．變式練習(xí)4：李老師為了解班里學(xué)生的作息時(shí)間，調(diào)查了班上50名學(xué)生上學(xué)路上花費(fèi)的時(shí)間，他發(fā)現(xiàn)學(xué)生所花時(shí)間都少于50分鐘，然后將調(diào)查數(shù)據(jù)整理，作出如下頻數(shù)分布直方圖的一部分(每組數(shù)據(jù)含最小值不含最大值)．請(qǐng)根據(jù)該頻數(shù)分布直方圖，回答下列問題：(1)此次調(diào)查的總體是什么？(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)該班學(xué)生上學(xué)路上花費(fèi)時(shí)間在30分鐘以上(含30分鐘)的人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是多少？解：(1)此次調(diào)查的總體是班上50名學(xué)生上學(xué)路上花費(fèi)的時(shí)間；(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如解圖所示：第4題解圖【解法提示】路上時(shí)間花費(fèi)在30～40分鐘(不含40分鐘)的人數(shù)為：50－8－24－13－1＝4(人)．(3)路上花費(fèi)時(shí)間在30分鐘以上(含30分鐘)的人數(shù)占全班人數(shù)的百分比是eq\f(4＋1,50)×100%＝10%.變式練習(xí)5：為了解中學(xué)生最喜歡做哪種類型的英語客觀題，某市抽取部分中學(xué)生對(duì)英語客觀題的“聽力部分、單項(xiàng)選擇、完型填空、閱讀理解、口語應(yīng)用”進(jìn)行了問卷調(diào)查．要求每位學(xué)生都自主選擇其中一個(gè)類型，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖表(問卷回收率為100%，并均為有效問卷)．被調(diào)查學(xué)生選擇意向統(tǒng)計(jì)表題型所占百分比聽力部分a單項(xiàng)選擇35%完型填空b閱讀理解10%口語應(yīng)用c根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息，解答下列問題：(1)求本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)及a、b、c的值；(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)全市參加這次調(diào)查的中學(xué)生共有42000人，試估計(jì)全市中學(xué)生中最喜歡做“單項(xiàng)選擇”這類客觀題的學(xué)生有多少人？解：(1)由題圖和表可知，最喜歡做單項(xiàng)選擇的人數(shù)有280人，占被調(diào)查人數(shù)的35%，∴被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：280÷35%＝800(人)，∴最喜歡閱讀理解的人數(shù)為：800×10%＝80(人)，∴最喜歡聽力的人數(shù)為：800－(280＋160＋80＋40)＝240(人)，∴a＝eq\f(240,800)×100%＝30%，b＝eq\f(160,800)×100%＝20%，c＝eq\f(40,800)×100%＝5%；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如解圖所示：被調(diào)查學(xué)生選擇意向條形統(tǒng)計(jì)圖(3)42000×35%＝14700(人)，∴估計(jì)全市中學(xué)生中最喜歡做“單項(xiàng)選擇”這類客觀題的學(xué)生有14700人．變式練習(xí)6：某校為了了解全校學(xué)生上學(xué)期參加社區(qū)活動(dòng)的情況，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了本校50名學(xué)生參加社區(qū)活動(dòng)的次數(shù)，并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：參加社區(qū)活動(dòng)次數(shù)的頻數(shù)、頻率分布表活動(dòng)次數(shù)x頻數(shù)頻率0＜x≤3100.203＜x≤6a0.246＜x≤9160.329＜x≤126