華師一附中2024屆高三《立體幾何》每日一題 試題含答案

華師一附中2024屆高三數(shù)學《立體幾何每日一題》一、單選題1．一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計）的上底面半徑為2，下底面半徑為12，母線與底面所成的角為．在圓臺容器內放置一個可以任意轉動的正方體，則此正方體棱長的最大值是（

）A． B．8 C．9 D．二、多選題2．如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點E，F(xiàn)（E在F的左邊）且，下列說法錯誤的是（

）A．當E，F(xiàn)運動時，存在點E，F(xiàn)使得B．當E，F(xiàn)運動時，存在點E，F(xiàn)使得C．當E運動時，二面角最小值為D．當E，F(xiàn)運動時，二面角的余弦值為定值．3．已知正方體的棱長為是側面內任一點，則下列結論中正確的是（

）A．若滿足，則點的軌跡是一條線段B．若到棱的距離等于到的距離的2倍，則點的軌跡是圓的一部分C．若到棱的距離與到的距離之和為6，則點的軌跡的離心率為D．若到棱的距離比到的距離大2，則點的軌跡的離心率為4．在棱長為1的正方體中，點滿足，其中，，則下列說法正確的是（

）A．若，則點軌跡所在直線與平面平行B．若，則C．若，則的最小值為D．若與平面所成角的大小為，則的最大值為5．如圖，已知矩形中，，.點為線段上一動點（不與點重合），將沿向上翻折到，連接，.設，二面角的大小為，則下列說法正確的有（

）

A．若，，則B．若，則存在，使得平面C．若，則直線與平面所成角的正切值的最大值為D．點到平面的距離的最大值為，當且僅當且時取得該最大值6．已知四棱臺的下底面和上底面分別是邊長為4和2的正方形，則（

）

A．側棱上一點E，滿足，則平面B．若E為的中點，過，，的平面把四棱臺分成兩部分時，較小部分與較大部分的體積之比為C．D．設與面的交點為O，則7．如圖，已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為2，，分別為上、下底面的直徑，，為圓臺的母線，為弧的中點，則（

）

A．圓臺的體積為B．直線與下底面所成的角的大小為C．異面直線和所成的角的大小為D．圓臺外接球的表面積為8．如圖，在棱長為的正方體中，、分別是棱、的中點，點在線段上運動，以下四個命題中正確的是（

）

A．平面截正方體所得的截面圖形是五邊形B．直線到平面的距離是C．存在點，使得D．面積的最小值是9．如圖，在棱長為2的正方體中，點在平面內且，延長交平面于點，則以下結論正確的是（

）

A．線段長度的最小值為B．點到的距離的最大值為2C．直線與所成的角的余弦值的最大值為D．直線與平面所成的角正弦值的最大值為三、填空題10．在三棱錐中，平面平面ABC，，為等邊三角形，，則該三棱錐外接球的表面積為.四、解答題11．如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形，線段的中點為且底面，，，是的中點.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離；(3)點在棱上，且直線與底面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.12．如圖，三棱臺中，，，D為線段AC上靠近C的三等分點

(1)在線段BC上求一點E，使平面，并求的值：(2)若，，點到平面ABC的距離為，且點在底面ABC的射影落在內部，求直線與平面所成角的正弦值．13．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為，上的點，且.

(1)證明：平面；(2)若平面，為的中點，，，求二面角的正切值.14．如圖，在斜三棱柱中，是邊長為2的正三角形，且四棱錐的體積為2.(1)求三棱柱的高；(2)若，平面平面為銳角，求平面與平面的夾角的余弦值.華師一附中2024屆高三數(shù)學《立體幾何每日一題》參考答案1．B【分析】根據題意可求出圓臺內能放置的最大球的半徑，使正方體外接于球即可求出正方體的最大棱長.【詳解】如下圖所示：

根據題意可知；又母線與底面所成的角為，即，易得；設圓臺內能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于兩點，所以可知球的半徑，此時球的直徑為，即此時球與圓臺上底面不相切，因此圓臺內能放置的最大球的直徑為;若放置一個可以任意轉動的正方體，要求正方體棱長最大，需要正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，設正方體的最大棱長為，滿足，解得.故選：B2．ABD【分析】利用垂直關系的坐標表示求解選項A；利用平行關系求解選項B；利用空間向量的坐標運算，表示出二面角的余弦值求解選項C,D.【詳解】以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，對于A，則，由于，設則，則，所以E，F(xiàn)運動時，不存在點E，F(xiàn)使得，A錯誤;對B，若，則四點共面，與與是異面直線矛盾，B錯誤;對C，設平面的法向量為.又,,令，可得，平面的法向量可取為，故，因為，所以函數(shù)在單調遞減，所以，所以，所以當時，有最大值為，設二面角的平面角為，所以有最大值為，即二面角的最小值為，C正確;對于D，連接，平面即為平面,平面即為平面，取平面的法向量為.設平面的法向量為，，令，則，設二面角的平面角為，則，觀察可知二面角的平面角為為銳角，所以，D錯誤；故選:ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是建立空間直角坐標系，利用向量法來判斷選項.3．ABC【分析】由平面即可判斷A；由正方體的性質可將到棱的距離與到的距離轉化為在平面內，M到點的距離與到點B的距離，據此求出軌跡方程判斷B，根據橢圓的定義、離心率判斷C，根據雙曲線的定義、離心率判斷D.【詳解】對于A，如圖連接，則平面，平面平面，則，，，平面，則平面，平面，則，同理：，，平面，則平面，故此時的軌跡為線段，即A正確，對于B，由正方體可知到棱的距離等于到的距離的2倍，即在平面內，到點的距離等于到點的距離的2倍，連接，以中點為原點，以所在直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，設，則，由可得，整理得，，易知點的軌跡是圓的一部分，所以B正確；對于C，到棱的距離與到的距離之和為6，可轉化為在平面內，到點的距離與到點的距離的和為6，大于，所以點的軌跡為橢圓的一部分，其中，所以橢圓的離心率，故C正確；對于D，到棱的距離比到的距離大2，轉化為在平面內，到點的距離與到點的距離大2，，所以點的軌跡是雙曲線的一部分，該雙曲線的實軸長為2，焦距為，所以離心率，所以D錯誤；故選：ABC【點睛】關鍵點睛：結合正方體的性質可將到棱的距離與到的距離轉化為在平面內，M到點的距離與到點B的距離是解題的關鍵.4．ABD【分析】A、B、C根據條件確定點軌跡，結合線面平行判定、線面垂直的判定及性質、平面上兩點距離最短判斷；D由條件得在線段上運動，令，則，結合三角恒等變換及正弦型函數(shù)性質求最值判斷.【詳解】A：若為中點，當時在線段上運動，而，面，面，則面，A對；B：由，則在線段上運動；在正方體中易知，且面，面，則，，面，則面，面，所以，同理可證，又，面，所以面，面，則，B對；

C：若，則在線段上運動；

將面翻折至與面共面，如下圖，，

所以共線時的最小值為，C錯；D：若與平面所成角的大小為，連接，又面，結合正方體性質，要使線面角恒為，只需在面中以為圓心，為半徑的圓弧上運動；

如上圖，令，則，所以，當且僅當時取等號，所以的最大值為，D對.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：根據條件確定點運動軌跡為關鍵.5．AD【分析】根據翻折前后的幾何關系，利用面面垂直的性質定理，結合余弦定理求解選項A；利用線面垂直的判定定理、性質定理判斷選項B；利用翻折前后的幾何關系，結合線面角的定義求解選項C；利用幾何關系，以及線面垂直的性質定理、判定定理求解選項D.【詳解】

對A，取中點，連接，，,則有,且，所以，又平面平面，平面平面，平面,所以平面，平面，故，，在直角三角形中，，所以，在中，由余弦定理得：，A正確；對B，同選項A，知，若平面，且平面,則，且平面，所以平面，平面，所以，顯然矛盾，B錯誤；

對C，連接交于點,因為幾何關系可知，,所以,又因為,所以所以,即，則，，平面,所以平面，平面，所以平面平面，故所求線面角為.又點在以為圓心，為半徑的圓上，從而當直線與圓相切時，最大，故，從而，C錯誤；對D,點到平面的距離，等號成立當且僅當平面，因為平面，所以,從而，且矩形中，平面,所以平面，過作于點.

連接，在直角三角形中，由等面積法可得，,所以,所以，因為以平面，平面，,平面，所以平面，由翻折知，故，解得，即.又由二面角的面積射影知：,D正確；故選:AD.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于利用翻折前后的幾何關系，結合直線與平面、平面與平面的判定定理、性質定理證明相應的結論.6．AC【分析】選項A：先把平面與四棱錐的截面補全，從而得到G為BC中點，進而判斷得四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可判斷；選項B：通過兩個多面體的體積和計算可以判斷；選項C：利用空間向量的線性計算即可判斷；選項D：利用等體積法計算求得點D、到平面的距離，再利用直線與面所成角的定義可得的比值，從而得以判斷.【詳解】對于A：連結，并延長交DC于F，，連AF交BC于G點，則G為BC中點，連，

由四棱臺的結構可知，，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，面，故A正確；對于B：設四棱臺的高為h，若E為中點，則，，，，，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：連接AC、BD交于點P，連接，，

由四棱臺的結構特征可得，，故四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，，，，故點D、到平面的距離相等，設直線與面所成角為，則，故，故D錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：空間向量的綜合問題：①掌握線性運算：加法口訣“首尾相連，從頭到尾”、減法口訣“共起點，從后向前”；②幾何體的體積：線面平行或面面平行時，線或面上的點到平面的距離都相等；③點到平面的距離：等體積轉換法的應用；④線面平行的判定：注意事項，標注線不在平面內.7．BC【分析】對于A選項，算出圓臺上底面圓、下底面圓的面積和高即可求出圓臺的體積；對于B選項，根據線面角的定義計算即可；對于C選項，取中點，連接，，，得到四邊形為平行四邊形，根據異面直線所成角的定義求解即可；對于D選項，找出外接球半徑并求出即可求解.【詳解】A.做圓臺的軸截面如圖所示，做，，得到四邊形為平行四邊形，

因為上底面圓的面積為，下底面圓的面積為，圓臺的高，則圓臺的體積為，故A錯誤；B.與下底面所成的角為，且，則，且，則，所以，故B正確；C.取中點，連接，，，由為弧中點可得，過點作，連接，則，且，且，則四邊形為平行四邊形，所以，則異面直線和所成的角為與所成角，即為，又，，所以，在中，，，則為等腰直角三角形，則，故C正確；

取中點，中點，連接，在上找一點，使得，

設，則，由勾股定理得，解得，即圓臺外接圓的半徑為，所以圓臺外接球的表面積為，故D錯誤.故選：BC.8．ACD【分析】作出截面圖形判斷A；利用等積法可判斷B，利用坐標法可判斷CD.【詳解】對于A，如圖直線與、的延長線分別交于、，連接、分別交、于、，連接、，

則五邊形即為所得的截面圖形，故A正確；對于B，由題可知，平面，平面，所以平面，故點到平面的距離即為直線到平面的距離，

設點到平面的距離為，由正方體的棱長為，可得，，，所以，，所以由，可得，所以直線到平面的距離是，故B錯誤；對于C，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，

設，其中，所以，又、、，所以，，，假設存在點，使得，，整理得，所以（舍去）或，故存在點，使得，故C正確；對于D，由上知，所以點在的射影為，所以點到的距離為：，所以當時，，故面積的最小值是，故D正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：本題C選項考查直線到平面的距離，一般轉化為點到平面的距離來求解，求點到平面的距離，方法如下：（1）等體積法：先計算出四面體的體積，然后計算出的面積，利用錐體的體積公式可計算出點到平面的距離；（2）空間向量法：先計算出平面的一個法向量的坐標，進而可得出點到平面的距離為.9．BCD【分析】建立空間直角坐標系，表示出點P的坐標，由P的軌跡位置判斷A，根據點線距離公式判斷B，根據結合線面角的概念得線線角的范圍判斷C，根據線面角的向量公式結合基本不等式求解最值判斷D.【詳解】如圖所示，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，所以，設，所以點的坐標為，由可得.因為，，所以點到的距離為，由正方體性質易知，平面，設平面，所以，所以點的軌跡為平面內以點為圓心，半徑為的圓，而易知為邊長為的正三角形，其內切圓半徑為，所以點的軌跡為的內切圓，設其與三邊的切點依次為，如圖所示，

當點在處時，此時在處，，A錯誤；當時，即點在處，的中點時，點到的距離，B正確；設直線與所成的角為，因為，所以直線與所成的角為，由線面角的概念可知，斜線平面所成的角是直線與平面內任何直線所成角中的最小的角，即，所以，當點為過點且與平行的直線與內切圓的交點時取等號，C正確；設直線與平面所成的角為，易知平面的一個法向量為，所以，又，所以，所以，解得，所以當時，，故D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點點睛：對于空間幾何中的探究問題、軌跡問題、較難的夾角和距離問題，往往建立空間直角坐標系，利用向量運算方法解決，減少空間想象能力的依賴，可借助函數(shù)等知識求解最值范圍等.10．【分析】通過題意畫出圖像，通過三棱錐圖像性質以及三棱錐外接球的相關性質確定圓心位置，最后根據各邊所滿足的幾何關系列出算式，即可得出結果.【詳解】如圖所示，

設外接圓的圓心為，外接圓的圓心為，取AB的中點為E，連接PE，則，因為為等邊三角形，所以在PE上，又因為，所以在AC的中點處，則，過點作平面PAB的垂線，過點作平面ABC的垂線，則兩垂線的交點為球心O，又因為，所以，又因為平面平面ABC，平面平面，所以平面ABC，所以，所以設三棱錐外接圓的半徑為R，則，所以該三棱錐外接球的表面積．故答案為：【點睛】關鍵點睛：通過三棱錐的幾何特征確定外接球的球心和半徑,利用球的表面積公式即可.11．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由題意建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，根據即可證明平面；（2）由點到平面距離的向量表示公式，代入數(shù)據即可求解；（3）由直線與底面所成角的正弦值為可求出，然后根據兩平面的法向量求所成角的余弦值即可.【詳解】（1）連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，，，,因為是的中點，所以，，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，又因為平面，所以平面.（2）由（1）知，，，所以，且平面的一個法向量為，所以點到平面的距離.（3）由題意知，底面的法向量為，因為，，且，，所以，所以由題意知：，解得：，所以，因為，設平面的一個法向量為，則，即，取，所以，又平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.12．(1)取BC的靠近點C的三等分點為E，(2)【分析】（1）取BC的靠近點C的三等分點E，連接，，，證出平面平面，利用面面平行的性質可得出平面，由此可得出結論.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】（1）取BC的靠近點C的三等分點E，連接，，，

則，因為，所以四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面，平面，平面，當時，平面（2）以A為坐標原點，如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，設，由，即，解得，點在底面的射影落在內部，，，，，，設平面的法向量為，，令得，，由，又，得，因為，所以，，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.13．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）在上取一點G，使得，可證平面，再證平面，可得平面平面，得證；（2）由題意建系用向量法求解或用幾何法找出二面角的平面角