江門市重點2023學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為（）

則直線OM的斜率的最大值為（）

A.@B.2C.正

332

3.已知函數(shù)〃x）=lnx,若尸（x）=/（x）-3履2有2個零點，則實數(shù)Z的取值范圍為（）

L71

4.如圖，四面體ABCO中，面加和面BCQ都是等腰直角三角形，AB=e，ZBAD=ZCBD=~,且二面角

2九'

A—8D—C的大小為丁，若四面體A8C。的頂點都在球。上，則球。的表面積為（）

2222

5.連接雙曲線（；：=一4=1及。,：與—二=1的4個頂點的四邊形面積為耳，連接4個焦點的四邊形的面積為S2,

a~b'b'a"

S,八

則當(dāng)消取得最大值時，雙曲線G的離心率為（）

A.@B.C.GD.y/2

22

6.已知向量滿足|a|=l,歷|=道,且￡與^的夾角為則（”+石）一（2。一楊=（）

6

1313

A.-B.一一C.一一D.-

2222

7.一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為2,高為0,有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面

積為（）

A.4岳B.47C.46nD.3萬

8.已知集合4=3％>—1},集合6={x|x(x+2)<0},那么AUB等于()

A.{x|尤>一2}B.{尤|-1<無<0}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<2}

9.已知集合A=[xy=lgsinx+，9-x21,則/(x)=cos2x+2sinx，xeA的值域為()

10.函數(shù)八力=42—5%+6的定義域為（）

A.{x|x?2或xN3}B.{目大<—3或尤之一2}

C.1x|2<%<31D.卜卜34x4-2}

11.2020年是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A、B、C三個貧

困縣扶貧，要求每個貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到A縣的分法有（）

A.6種B.12種C.24種D.36種

__?_____2.

12.如圖，在AABC中，AN=-AC,P是BN上的一點，若〃?AC=AP--AB,則實數(shù)加的值為（）

33

A

N

D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在直三棱柱ABC-AgG內(nèi)有一個與其各面都相切的球Q,同時在三棱柱ABC-A4G外有一個外接球。2.若

AB±BC,AB=3,8C=4,則球。2的表面積為

14.已知復(fù)數(shù)z=a—，且二=1+次(i為虛數(shù)單位)，則必=________,忖=_________.

1+z

15.若函數(shù)/(x)=“'(a>0且存1)在定義域［,〃，〃］上的值域是［/，，產(chǎn)］(1<?1<〃)，則a的取值范圍是.

y<2x+\,

16.若變量x,N滿足約束條件2x+〉W4,則z=x-2y的最大值為.

y+2>0,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)='----------.

(1)若對任意x>0,/(x)<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個不同的零點修，X2證明：—+—>2.

x2X

18.(12分)在AABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,C>若而=(〃,〃-c),>i=(sinA-sin8,sinB+sinC),

p=(1,2)?且加_L〃.

(1)求角。的值；

(2)求￡p的最大值.

19.(12分)已知/(x)=a?一2x(04x41),求/(x)的最小值.

1

x=”

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知直線/的參數(shù)方程為〈(f為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點。為極

百

/+2,

點，X軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是0=40sin]?+。

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線/與曲線。相交于兩點A,B,求線段的長.

21.（12分）如圖，在四棱錐M—A8CD中，ABVAD,AB=AM=AD=2,MB=MD=2&

（1）證明：A〃_L平面A8C￡＞；

（2）若CD//4?,2CD^AB,E為線段BM上一點，且BE=2EM,求直線EC與平面8DW所成角的正弦值.

22.（10分）2知函數(shù)分（力=加一1|.

（1）解不等式/（x）+/（x+4”8；

⑵若問＜1,例＜1,awO,求證：/（曲）＞同/[,）.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.

【詳解】

如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的，

正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形，

頂點0在平面AOA4上，高為2,

1Q

所以四棱錐的體積為；*4x2=5,

33

所以該幾何體的體積為8--=—.

33

故選:B.

【點睛】

本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

2

試題分析：設(shè)H由題意F（稱,0）,顯然為<0時不符合題意，故%>0,則

OM^OF+FM^OF+-FP^OF+-{OP-OF^-OP+-OF+可得：

33336P33

AL

,322V2L

—5=Vo=，當(dāng)且僅當(dāng)為2=2后,%=時取等號，故選C.

6P+3Py0

考點：1.拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2.均值不等式.

【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運用，屬于中檔

題.解題時一定要注意分析條件，根據(jù)條件1PMi=2|MF|,利用向量的運算可知M（7;+/,甘），寫出直線的斜率,

注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題.

3.C

【解析】

InV]nX

令/(乃=/(尤)一3依2=0,可得左=要使得b(x)=0有兩個實數(shù)解，即丁=左和8(%)=寸有兩個交點，結(jié)

3x3x

合已知，即可求得答案.

【詳解】

令F(x)—f(x)-3kx2-0,

可得左喈,

Inx

要使得b(x)=0有兩個實數(shù)解，即y=%和g(x)=肅有兩個交點,

、l-21nx

令1—21nx=0,

可得x=Ve>

當(dāng)xe(O,五)時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0,&)上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(6,+oo)時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(五,+oo)上單調(diào)遞減.

，當(dāng)尢=疵時，g(X)max=廣，

6e

若直線y=攵和g(x)="有兩個交點，貝!|%ej

3xI6eJ

二實數(shù)上的取值范圍是

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查

了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

4.B

【解析】

分別取BO、CZ)的中點M、N,連接AM、MN、AN,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角A—BD—C的平面角為

2〃

ZAMN^—,然后分別過點"作平面曲的垂線與過點N作平面8CO的垂線交于點。，在町AQMN中計算出

OM,再利用勾股定理計算出。4,即可得出球。的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案.

【詳解】

如下圖所示，

B,-少D

C

分別取B。、C。的中點M、N,連接AM、MN、AN,

由于AABD是以為直角等腰直角三角形，M為8。的中點，.?.AWL，

77

?:NCBD=一,且“、N分別為BD、CO的中點，所以，MN//BC,所以，MNLBD,所以二面角A—89—C

2

2萬

的平面角為NAMN=g,

;AB=AD=y/i，則BD=4AB?+AD?=2，且3c=2，所以，AM=g80=1,MN=；BC=1,

43。是以/胡。為直角的等腰直角三角形，所以，AABD的外心為點加，同理可知，ABC。的外心為點N,

分別過點M作平面曲的垂線與過點N作平面BCD的垂線交于點。，則點。在平面AMN內(nèi)，如下圖所示，

717T

由圖形可知，NOMN=NAMN-4AMO='27-r---=-,

326

廠MN2g

在中，

R/AOMN3=CGSNOMN=&,,°M=/=亍，

OM2上

2

所以，OA=y/OM2+AM2=^-,

3

所以，球。的半徑為R=H,因此，球。的表面積為4〃浦/(&1丫287

=4〃x=?

3\3/3

故選：B.

【點睛】

本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等

題.

5.D

【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標(biāo)，四個頂點構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構(gòu)成正方形，求出其面積,

S.

利用重要不等式求得手取得最大值時有a=b,從而求得其離心率.

【詳解】

X2222

雙曲線三y1與［-1=1互為共扼雙曲線,

礦一層b2a2

四個頂點的坐標(biāo)為（±a,0）,（0，土份，四個焦點的坐標(biāo)為（土c,0）,（0，土c）,

四個頂點形成的四邊形的面積E=！x2ax2b=2ab,

2

2

四個焦點連線形成的四邊形的面積S2=1X2CX2C=2C,

S,2ababab1

所以姿=5，

s

當(dāng)亍取得最大值時有4=。，c=缶，離心率e=￡=0,

“a

故選：D.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共匏雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式

求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.

6.A

【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.

【詳解】

（。+力?（2。一萬）=2。2一石“-\-a-b=2-3+lx>/3x^-=-^.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長為2,高為0,得到底面的中心到各棱的距離都是1,從而底面的中心即為球心.

【詳解】

如圖所示：

因為正四棱錐底邊邊長為2,高為夜，

所以必=y/2,SB=2，

0至USB的距離為d=S0X0B=1,

SB

同理。到SC,S9,S4的距離為1,

所以0為球的球心，

所以球的半徑為：1,

所以球的表面積為4萬.

故選：B

【點睛】

本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.

8.A

【解析】

求出集合3,然后進(jìn)行并集的運算即可.

【詳解】

VA=[x\x>-1],B={x|-2<x<0},

JA|j8={x[x>-2}.

故選:A.

【點睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

先求出集合A=(0,3],化簡/(x)=—2sin2x+2sinx+l,令sinx=te(0,l],得g⑺=—2r+2f+l由二次函數(shù)的性

質(zhì)即可得值域.

【詳解】

Isinx>0/i/\/T

由(9尸〉0-0<]<3,得A=(0,3],J(x)=cos2x+2sinx=-2sin2%+2sinx+l,令sinx=/,VXG(0,3],

.-.re(0,1],所以得g⑺=—2/+2r+l,g(r)在(°，；)上遞增，在(川上遞減，==|，所以

「3~1「3-

g⑺G1,-,即/(X)的值域為L]

故選A

【點睛】

本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題

10.A

【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于X的不等式，即可解得函數(shù)>=/(X)的定義域.

【詳解】

由題意可得x?-5X+620，解得xW2或xN3.

因此，函數(shù)y=/(x)的定義域為{x|無<2或x?3}.

故選：A.

【點睛】

本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

分成甲單獨到A縣和甲與另一人一同到A縣兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得甲被派遣到A縣的分法數(shù).

【詳解】

如果甲單獨到A縣，則方法數(shù)有C；x&=6種.

如果甲與另一人一同到A縣，則方法數(shù)有C；xA；=6種.

故總的方法數(shù)有6+6=12種.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查簡答排列組合的計算，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

機(jī)恁=而一§而變形為4戶=加+月，由麗=§/得/=3初，轉(zhuǎn)化在AASN中，利用AP、N三

點共線可得.

【詳解】

解：依題：AP=mAC-v-AB=3mAN+-AB,

33

又B,P,N三點共線，

21

3m+—=1,解得，〃=—.

39

故選：B.

【點睛】

本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是⑴先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成

向量的形式，再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參

數(shù)方程：A、P、B三點共線o加=(1—f)礪+/而(。為平面內(nèi)任一點,feR)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.29〃

【解析】

先求出球。1的半徑，再求出球。2的半徑，即得球。2的表面積.

【詳解】

解：VAB±BC,AB=3,8c=4

AC2AB2+BC2,

AC=5,

設(shè)球Q的半徑為小由題得一(3r+4r+5r)=—x3x4,.“=1

22

所以棱柱的側(cè)棱為2r=2.

由題得棱柱外接球的直徑為歷炳，所以外接球的半徑為;病，

所以球。2的表面積為4乃?(g病產(chǎn)=29%.

故答案為：29%

【點睛】

本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題，考查球的表面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬

于中檔題.

14.ab=-6|z|=V10

【解析】

???復(fù)數(shù)z=a-i且二-=1+4

1+1

.a-i(?-z)(l-z)(?-l)-(fl+l)z,.

??---=----------=--------------=1+01

1+z22

。+1,

----=b

:.ab=*,忖=/+㈠y=回

故答案為-6,V10

2

15.(1,靛)

【解析】

/(X)=優(yōu)在定義域［加，網(wǎng)上的值域是［"落”2］,等價轉(zhuǎn)化為/(幻=優(yōu)與3；=》2的圖像在(1,+8)上恰有兩個交點,

考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.

【詳解】

由題意知：/(x)=a'與y=/的圖像在(1,+8)上恰有兩個交點

考查臨界情形：y=4與〉=/切于玉),

若=片2-

4=>=eeae(1,ee).

a；"Ina=2x0

2

故答案為：(],靛).

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把已知條件進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

16.7

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.

【詳解】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.

觀察可知，當(dāng)直線z=x-2y過點C(3,—2)時，z有最大值，zmax=7.

故答案為：7.

【點睛】

本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)a<-l;(2)證明見解析.

【解析】

(1)求出/(X),判斷函數(shù)“X)的單調(diào)性，求出函數(shù)/(X)的最大值，即求。的范圍；

(2)由⑴可知，玉w(0,l),%2.對分W€(1,2)和We[2，+°°)兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法

和基本不等式證明結(jié)論.

【詳解】

‘、」“\lnx+ax+1\nx1一、Inx

(1)由〃X)=---------------=—+-+a,得/(x)=一-r.

令/(x)=0,，x=1.

當(dāng)0<x<l時，/(x)>0；當(dāng)x>l時，/(x)<0；

在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,儕)上單調(diào)遞減，

對任意x>0,/(X)<0恒成立，a+1<0,;.a<-1.

(2)證明：由(1)可知，/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減,

：.XtG(0,l),X,G(1,+OO).

若則2-%e(O,l),

1

令g(x)=/(x)-"2一同=垣+，一,0<x<l

XXZ—X2-x

n-x-

\nxln(2—x)Inxln(2-x)1(0+1

x~7(^2—X\j2-〉-_x~2x~2=x~2

???g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，.?.g(x)<g⑴=0,<〃2-力,

二/(2-與)>/&)=/(*2).

?.不40,1),,2-玉>1,又々〉1,/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

/.2—玉<x2,.\%+w>2.

若馬目2,+8),則％+々>2顯然成立.

綜上，玉+々>2.

X—+-^2-2—xx2=2xl,-^=-+x1>2?修-XX]=2x,

x2Y/玉yX,

以上兩式左右兩端分別相加，得

2222

—+%++%22(尤1+/)，即—+之玉+%，

X2X,x2%

22

所以上+三>2.

x2%

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.

18.(1)y;(2)2G

【解析】

(1)由正弦定理可得,2=48,再用余弦定理即可得到角c；

(2)n.p=V3sinU+^+^,再利用求正弦型函數(shù)值域的方法即可得到答案.

【詳解】

(1)因為后J_[,所以a(sinA-sin8)+(b-c)(sin5+sinC)=0.

t>_c

在AA5c中，由正弦定理得一；

sinAsinBsinC

所以。m—。)+s—c)s+。)=o,即儲+/一/=Q力.

22

Ih—「21

在AABC中，由余弦定理得cosC=Mn?~-=^-=-,

2ah2ab2

TT

又因為Ce(0,?),所以f=—.

3

7T

(2)由(1)得。二一，在A43C中，A+B+C=7r9

3

所以〃?p=1x(sinA-sinB)+2(sinB+sinC)

=sinA+sin-+百

=sinA+—cosA+—sinA+V3

22

=—sinA+—cosA+G

22

=Gsin(4+?)+G.

因為Ae(0,引,所以A+.親?，

所以當(dāng)4+工=工，即4=巴時，y=sin(A+m]有最大值1,

623I6J

所以K/；的最大值為26.

【點睛】

本題考查正余弦定理解三角形，涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，是一道容易題.

Q-2,Q<1

19.〃龍).=11

\7m,n——"〉1

【解析】

討論a=0和。的情況，然后再分對稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系，最后求出最小值

【詳解】

當(dāng)a=0時，/(x)=—2x,它在［0,1］上是減函數(shù)

故函數(shù)的最小值為/(1)=一2

當(dāng)時，函數(shù)/(力="2-2%的圖象思維對稱軸方程為x=；

當(dāng)時，:e(O，l］，函數(shù)的最小值為/］^］=一:

當(dāng)0<a<l時，1>1,函數(shù)的最小值為/(1)=。一2

當(dāng)a<0時，1<1,函數(shù)的最小值為/(1)=。一2

a-2,a<1

綜上，f(x).=?1

.a

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題。

20.(1)/：V3x-y+2=0,C：(%-21+(y-27=8；(2)2后

【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

(2)由(1)可得曲線C是圓，求出圓心坐標(biāo)及半徑，再求得圓心到直線的距離，即可求得AB的長.

【詳解】

(1)由題意可得直線/：y/3x-y+2=0,由。=4>6sin(5+e,得夕？=4夕cose+4/7sin。，即

x2+y2=4x+4y,所以曲線C：(x—2)2+(y—2)2=8.

(2)由⑴知，圓C(2,2),半徑廠=2夜.

圓心到直線/的距離為：/J百-2+4二"