統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學一輪復(fù)習第九章9.1直線的傾斜角與斜率直線的方程學案理含解析20230423117

統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學一輪復(fù)習第九章9.1直線的傾斜角與斜率直線的方程學案理含解析20230423117第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程【知識重溫】一、必記2個知識點1．直線的傾斜角和斜率(1)直線的傾斜角的定義當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸①________與直線l②________之間所成的③__________α叫做直線的傾斜角．當直線和x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°，因此，直線傾斜角α的取值范圍是④____________.(2)斜率的定義傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的⑤________叫做這條直線的斜率，常用k表示，即⑥________.傾斜角是90°的直線，斜率k不存在．(3)斜率公式當直線l經(jīng)過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)時，l的斜率k＝⑦____________.(4)直線的方向向量經(jīng)過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的方向向量的坐標可記為⑧____________，當直線的斜率k存在時，方向向量的坐標可記為⑨________.2．直線方程的幾種基本形式名稱方程適用范圍斜截式⑩____________不能表示垂直于x軸的直線點斜式?____________不能表示垂直于x軸的直線兩點式?____________不能表示垂直于坐標軸的直線截距式?____________不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線一般式?____________能表示平面上任何直線二、必明4個易誤點1．利用兩點式計算斜率時易忽視x1＝x2時斜率k不存在的情況．2．用直線的點斜式求方程時，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，否則會造成失誤．3．直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當截距為0時可用點斜式．4．由一般式Ax＋By＋C＝0確定斜率k時易忽視判斷B是否為0，當B＝0時，k不存在；當B≠0時，k＝－eq\f(A,B).【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．()(2)過點M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直線的傾斜角是45°.()(3)直線的傾斜角越大，斜率k就越大．()(4)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()

二、教材改編2．若過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1B．4C．1或3D．1或43．已知△ABC的三個頂點坐標為A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB的中點，N為AC的中點，則中位線MN所在直線的方程為()A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0三、易錯易混4．直線eq\r(3)x－y＋a＝0(a為常數(shù))的傾斜角是()A．30°B．60°C．120°D．150°5．傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝06．經(jīng)過兩點M(1，－2)，N(－3,4)的直線方程為______________________．eq\x(考點一)直線的傾斜角與斜率[自主練透型]1．[2021·河北衡水模擬]過不重合的A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)兩點的直線l的傾斜角為45°，則m的值為()A．－1B．－2C．－1或2D．1或－22．直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))3．若直線l經(jīng)過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是________．悟·技法1.斜率的求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tanα求斜率．(α≠90°)(2)公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．2．斜率取值范圍的三種求法(1)數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定．(2)構(gòu)建不等式法：利用不等式所表示的平面區(qū)域的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為線線、線面的位置關(guān)系，構(gòu)造不等式求范圍．(3)利用斜率關(guān)于傾斜角的函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可.考點二直線的方程[互動講練型][例1]根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(－4,0)，傾斜角的正弦值為eq\f(\r(10),10)；(2)直線過點(－3,4)，且在兩坐標軸上的截距之和為12.悟·技法求直線方程的關(guān)注點在求直線方程時，應(yīng)選擇適當?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件．用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標軸垂直或經(jīng)過原點的直線．故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．求適合下列條件的直線方程．(1)過點A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)倍；(2)經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等．考點三直線方程的綜合應(yīng)用[分層深化型]考向一：由直線方程求參數(shù)問題[例2]若直線x－2y＋b＝0與兩坐標軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)考向二：與直線方程有關(guān)的最值問題[例3]直線l過點P(1,4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A，B兩點，O為坐標原點，當|OA|＋|OB|最小時，求l的方程．悟·技法直線方程的綜合應(yīng)用(1)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過兩條定直線交點的直線系，即能夠看出“動中有定”．(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先設(shè)出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.[變式練]——(著眼于舉一反三)2．在本例3條件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程．第九章解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程【知識重溫】①正向②向上方向③最小正角④0°≤α＜180°⑤正切值⑥k＝tanα⑦eq\f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)⑧(x2－x1，y2－y1)⑨(1，k)⑩y＝kx＋b?y－y0＝k(x－x0)?eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)?eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1?Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)【小題熱身】1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．解析：由題意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.故選A.答案：A3．解析：由中點坐標公式得M(2,4)，N(3,2)，則kMN＝eq\f(2－4,3－2)＝－2，∴MN所在直線的方程為：y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝0.故選C.答案：C4．解析：由直線方程得y＝eq\r(3)x＋a，所以斜率k＝eq\r(3)，設(shè)傾斜角為α.所以tanα＝eq\r(3)，又因為0°≤α<180°，所以α＝60°.故選B.答案：B5．解析：直線的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.故選D.答案：D6．解析：經(jīng)過兩點M(1，－2)，N(－3,4)的直線方程為eq\f(y＋2,4＋2)＝eq\f(x－1,－3－1)，即3x＋2y＋1＝0.答案：3x＋2y＋1＝0課堂考點突破考點一1．解析：過A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)兩點的直線l的斜率k＝eq\f(m2－3－2m,m2＋2－3＋m＋m2).∵直線l的傾斜角為45°，∴k＝eq\f(m2－3－2m,m2＋2－3＋m＋m2)＝1，解得m＝－1或m＝－2.當m＝－1時，A、B重合，故舍去，∴m＝－2.故選B.答案：B2．解析：∵直線的斜率k＝－eq\f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0，則傾斜角的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故選B.答案：B3．解析：設(shè)直線l的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，在x軸上的截距為1－eq\f(2,k).令－3<1－eq\f(2,k)<3，解得k<－1或k>eq\f(1,2).答案：(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))考點二例1解析：(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式．設(shè)傾斜角為α，則sinα＝eq\f(\r(10),10)(0<α<π)．k＝tanα＝±eq\f(1,3)，故所求直線方程為y＝±eq\f(1,3)(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,12－a)＝1，又直線過點(－3,4)，從而eq\f(－3,a)＋eq\f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.變式練1．解析：(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－eq\f(1,4)×3＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(2)由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0，設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－eq\f(2,k)，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－eq\f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq\f(2,3)，∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝eq\f(2,3)(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.考點三例2解析：令x＝0，得y＝eq\f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求的三角形面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq\f(1,4)b2，且b≠0，因為eq\f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是[－2,0)∪(0,2]．故選C.答案：C例3解析：解法一依題意，l的斜率存在，且斜率為負，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y－4＝k(x－1)(k<0)．令y＝0，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)，0))；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,k)))＋(4－k)＝5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(4,k)))＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k＋\f(4,－k)))≥5＋4＝9.∴當且僅當－k＝eq\f(4,－k)且k<0，即k＝－2時，|OA|＋|OB|取最小值．這時l的方程為2x＋y－6＝0.解法二依題意，l的截距都存在，且不為0，設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1∵過P(1,4)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝1，∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝5＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥5＋2eq\r(4)＝9，當且僅當a＝3，b＝6時，取最小值．這時l的方程為2x＋y－6＝0.變式練2．解析：|PA|·|PB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)))2＋16)·eq\r(1＋k2)＝－eq\f(4,k)(1＋k2)＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－k)))＋－k))≥8.(k<0)∴當且僅當eq\f(1,－k)＝－k且k<0，即k＝－1時，|PA|·|PB|取最小值．這時l的方程為x＋y－5＝0.第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系與距離公式【知識重溫】一、必記3個知識點1．平行與垂直若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則：(1)直線l1∥l2的充要條件是①____________.(2)直線l1⊥l2的充要條件是②____________.若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行或重合．若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則l1⊥l2.2．兩直線相交(1)交點：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應(yīng)．(2)相交?方程組有③________，交點坐標就是方程組的解．(3)平行?方程組④________.(4)重合?方程組有⑤________.3．三種距離(1)兩點間的距離平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝⑥____________.特別地，原點(0,0)與任意一點P(x，y)的距離|OP|＝⑦________.(2)點到直線的距離點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝⑧______.(3)兩條平行線的距離兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝⑨____________.二、必明2個易誤點1．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可據(jù)條件進行判斷，若無斜率，要單獨考慮．2．運用兩平行直線間的距離公式時易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．()(4)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(5)兩平行直線2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0間的距離是0.()二、教材改編2．若直線mx－3y－2＝0與直線(2－m)x－3y＋5＝0互相平行，則實數(shù)m的值為()A．2B．－1C．1D．03．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________．三、易錯易混4．直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－35．已知點A(3,2)和B(－1,4)到直線ax＋y＋1＝0的距離相等，則a的值為________．6．過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為________．eq\x(考點一)兩條直線的平行與垂直[自主練透型]1．已知兩條直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，則a的值為________．2．“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．[2021·山東平度一中月考]若直線l1：ax－y＋1＝0與直線l2：2x－2y－1＝0的傾斜角相等，則實數(shù)a＝()A．－1B．1C．－2D．24．[2021·安徽六安一中模擬]直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c＝()A．－2B．－4C．－6D．－8悟·技法由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)考點二距離公式及其應(yīng)用[互動講練型][例1](1)若點P在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為eq\r(2)，則點P的坐標為()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)(2)已知直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之間的距離為eq\r(5)，求直線l1的方程．悟·技法處理距離問題的3種方法(1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求，注意直線方程為一般式．(2)動點到兩定點的距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點在兩定點所在線段的垂直平分線上，從而計算簡便．(3)兩平行直線間的距離①利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；②利用兩平行線間的距離公式．提醒：在應(yīng)用兩條平行線間的距離公式時，應(yīng)把直線方程化為一般形式，且使x，y的系數(shù)分別相等.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．若直線l經(jīng)過點(－1，－2)，且原點到直線l的距離為1，則直線l的方程為()A．3x－4y－5＝0B．x＝－1C．3x－4y－5＝0或y＝－1D．3x－4y－5＝0或x＝－12．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)考點三對稱問題[分層深化型]考向一：點關(guān)于點對稱[例2]過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________．考向二：點關(guān)于線對稱[例3]已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)，則點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標為________．考向三：線關(guān)于線對稱[例4]直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0悟·技法1.中心對稱問題的2個類型及求解方法(1)點關(guān)于點對稱：若點M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，y＝2b－y1，))進而求解．(2)直線關(guān)于點的對稱，主要求解方法是：①在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．2．軸對稱問題的2個類型及求解方法(1)點關(guān)于直線的對稱：若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直線關(guān)于直線的對稱：一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行.[變式練]——(著眼于舉一反三)3．與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程為________．4．已知點A(1,3)關(guān)于直線y＝kx＋b對稱的點是B(－2,1)，則直線y＝kx＋b在x軸上的截距是________．第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系與距離公式【知識重溫】①k1＝k2且b1≠b2②k1·k2＝－1③唯一解④無解⑤無數(shù)個解⑥eq\r(x1－x22＋y1－y22)⑦eq\r(x2＋y2)⑧eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))⑨eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【小題熱身】1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．解析：由題意知m＝2－m，解得m＝1.此時兩直線不重合，∴m＝1.故選C.答案：C3．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以點(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.答案：－94．解析：直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2)，故m＝2或－3，故選C.答案：C5．解析：由點到直線的距離公式可知eq\f(|3a＋2＋1|,\r(a2＋1))＝eq\f(|－a＋4＋1|,\r(a2＋1)).解得a＝－4或eq\f(1,2).答案：－4或eq\f(1,2)6．解析：過兩直線交點的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原點坐標，求得λ＝－eq\f(4,5)，故所求直線方程為x－3y＋4－eq\f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.答案：3x＋19y＝0課堂考點突破考點一1．解析：解法一∵直線l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．又∵l1∥l2，∴eq\f(a－1,－2)＝－eq\f(1,a)，∴a＝－1或a＝2，又∵兩條直線在y軸上的截距不相等．∴a＝－1或a＝2滿足兩條直線平行．解法二由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.滿足A1C2－A2C1≠0，即(a－1)×3－1×1≠0.所以a＝－1或a＝2.答案：－1或22．解析：由l1⊥l2得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，解得m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要條件．故選A.答案：A3．解析：由題意可得兩直線平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故選B.答案：B4．解析：由題意可得，－eq\f(a,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,－5)))＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.故選B.答案：B考點二例1解析：(1)設(shè)P(x,5－3x)，則d＝eq\f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋－12))＝eq\r(2)，化簡得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．故選C.(2)∵l1∥l2，∴eq\f(m,2)＝eq\f(8,m)≠eq\f(n,－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))①當m＝4時，直線l1的方程為4x＋8y＋n＝0，把l2的方程寫成4x＋8y－2＝0，∴eq\f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－22或n＝18.故所求直線的方程為2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.②當m＝－4時，直線l1的方程為4x－8y－n＝0，把l2的方程寫成4x－8y－2＝0∴eq\f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq\r(5)，解得n＝－18或n＝22.故所求直線的方程為2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.答案：(1)C(2)2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0或2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0變式練1．解析：當直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝－1，滿足原點到直線l的距離為1，∴x＝－1.當直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，由原點到直線l的距離為1，∴eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).從而得直線l的方程為y＋2＝eq\f(3,4)(x＋1)，即3x－4y－5＝0.綜上可得，直線l的方程為x＝－1或3x－4y－5＝0.答案：D2．解析：易知直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0平行，所以|PQ|的最小值就是這兩條平行線間的距離.6x＋8y＋5＝0可化為3x＋4y＋eq\f(5,2)＝0，則這兩條平行線間的距離是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12－\f(5,2))),\r(32＋42))＝eq\f(29,10).答案：C考點三例2解析：設(shè)l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，把B點坐標代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以由兩點式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0例3解析：設(shè)A′(x，y)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))故A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).答案：A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13)))例4解析：設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)，則P關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點為P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)－2，,y0＝x＋2，))由點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.故選A.答案：A變式練3．解析：設(shè)A(x，y)為所求直線上的任意一點，則A′(x，－y)在直線3x－4y＋5＝0上，即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直線方程為3x＋4y＋5＝0.答案：3x＋4y＋5＝04．解析：由題意得線段AB的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))在直線y＝kx＋b上，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)·k＝－1，,－\f(1,2)k＋b＝2，))解得k＝－eq\f(3,2)，b＝eq\f(5,4)，所以直線方程為y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(5,4).令y＝0，即－eq\f(3,2)x＋eq\f(5,4)＝0，解得x＝eq\f(5,6)，故直線y＝kx＋b在x軸上的截距為eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)第三節(jié)圓的方程【知識重溫】一、必記3個知識點1．圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圓心為①________，半徑為②________的圓．2．圓的一般方程對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)當D2＋E2－4F＞0時，表示圓心為③____________，半徑為④____________________的圓；(2)當D2＋E2－4F＝0時，表示一個點⑤____________；(3)當D2＋E2－4F＜0時，它不表示任何圖形．3．點與圓的位置關(guān)系圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，若點M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；若點M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；若點M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.二、必明1個易誤點對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時易忽視D2＋E2－4F>0這一成立條件．【小題熱身】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．()二、教材改編2．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝43．△ABC的三個頂點分別為A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，則其外接圓的方程為________________．三、易錯易混4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)B．(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D．(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)5．若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A．－1<a<1B．0<a<1C．a(chǎn)>1或a<－1D．a(chǎn)＝±4四、走進高考6．[2016·全國卷Ⅰ]圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝()A．－eq\f(4,3)B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D．2eq\x(考點一)求圓的方程[自主練透型]1．[2021·石家莊質(zhì)檢]若圓C的半徑為1，點C與點(2,0)關(guān)于點(1,0)對稱，則圓C的標準方程為()A．x2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－3)2＝12．若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝43．[2021·廣東珠海聯(lián)考]已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標準方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2悟·技法1.求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．2．確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上．(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．提醒：解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì).考點二與圓有關(guān)的最值問題[互動講練型]考向一：借助圓的幾何性質(zhì)求最值[例1]已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則eq\f(y,x)的最大值為________，最小值為________．悟·技法與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓上點(x，y)有關(guān)的代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.考向二：建立函數(shù)關(guān)系求最值[例2](1)若點P為圓x2＋y2＝1上的一個動點，點A(－1,0)，B(1,0)為兩個定點，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)(2)[2021·山東濰坊模擬]設(shè)點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(－2,0)，則Peq\o(A,\s\up6(→))·Peq\o(B,\s\up6(→))的最大值為________．類題通法建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．已知兩點A(0，－3)，B(4,0)，若點P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動點，則△ABP的面積的最小值為()A．6B.eq\f(11,2)C．8D.eq\f(21,2)2．已知實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋(y－1)2＝1，則z＝eq\f(y＋1,x)的最大值與最小值分別為________和________．考點三與圓有關(guān)的軌跡問題[互動講練型][例3]已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．第三節(jié)圓的方程【知識重溫】①(a，b)②r③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))④eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)⑤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))⑥r(nóng)2⑦＞r2⑧＜r2【小題熱身】1．答案：(1)√(2)×(3)×2．解析：顯然A，B兩點關(guān)于直線y＝x對稱，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所以圓心坐標是(1,1)，半徑r＝eq\r(1－12＋－1－12)＝2，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C3．解析：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－D＋5E＋F＋26＝0，,－2D－2E＋F＋8＝0，,5D＋5E＋F＋50＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－2，,F＝－20，))故所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－20＝0.答案：x2＋y2－4x－2y－20＝04．解析：將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標準方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2.由其表示圓可得eq\f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).答案：B5．解析：因為點(1,1)在圓內(nèi)，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，即－1<a<1，故選A.答案：A6．解析：由題意可知，圓心為(1,4)，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋12))＝1，解得a＝－eq\f(4,3)，故選A.答案：A課堂考點突破考點一1．解析：因為點C與點(2,0)關(guān)于點(1,0)對稱，故由中點坐標公式可得C(0,0)，所以所求圓的標準方程為x2＋y2＝1.答案：A2．解析：因為圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x＝2上，又圓與y軸相切，所以半徑r＝2，設(shè)圓心坐標為(2，b)，則(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±eq\r(3)，選D.答案：D3．解析：由題意設(shè)圓心坐標為(a，－a)，則有eq\f(|a－－a|,\r(2))＝eq\f(|a－－a－4|,\r(2))，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圓心坐標為(1，－1)，半徑r＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故選B.答案：B考點二例1解析：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓.eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當直線y＝kx與圓相切時(如圖)，斜率k取最大值和最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).答案：eq\r(3)－eq\r(3)例2解析：(1)由已知可得線