大學(xué)物理習(xí)題解答5第五章穩(wěn)恒電流

第四章靜電場(chǎng)PAGEPAGE5第四章靜電場(chǎng)本章提要1．電荷的基本性質(zhì)兩種電荷，量子性，電荷首恒，相對(duì)論不變性。2．庫(kù)侖定律兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的作用力其中3．電場(chǎng)強(qiáng)度為靜止電荷。由得4．場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算（1）場(chǎng)強(qiáng)疊加原理電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。（2）高斯定理電通量：在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的某點(diǎn)附近取一個(gè)面元，規(guī)定，為與之間的夾角，通過(guò)的電場(chǎng)強(qiáng)度通量定義為取積分可得電場(chǎng)中有限大的曲面的電通量高斯定理：在真空中，通過(guò)任一封閉曲面的電通量等于該封閉曲面內(nèi)的所有電荷電量的代數(shù)和除以，與封閉曲面外的電荷無(wú)關(guān)。即5．典型靜電場(chǎng)（1）均勻帶電球面（球面內(nèi)）（球面外）（2）均勻帶電球體（球體內(nèi)）（球體外）（3）均勻帶電無(wú)限長(zhǎng)直線場(chǎng)強(qiáng)方向垂直于帶電直線，大小為（4）均勻帶電無(wú)限大平面場(chǎng)強(qiáng)方向垂直于帶電平面，大小為6．電偶極矩電偶極子在電場(chǎng)中受到的力矩xPxPdxdx`dE`dE`合dEθ0la圖4-3棒在P處的場(chǎng)強(qiáng)為將代入上式，并考慮x由0積分到時(shí)，由0變化到，后對(duì)E積分可得：4-3一個(gè)半徑為R的帶電圓盤，電荷面密度為，求：（1）圓盤軸線上距盤心為x處的任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）當(dāng)R→∞時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為多少?（3）當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度又為多少?解：（1）取半徑為r—r+dr的圓環(huán)，如圖4-4所示，因其上電荷對(duì)P點(diǎn)的產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)垂直分量相互抵消，所以其對(duì)P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為圖4-4Px圖4-4PxR整個(gè)圓盤的電荷在P點(diǎn)的產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為（2）當(dāng)時(shí)，可將帶電圓盤看作無(wú)限大帶電平面，因此P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為（3）當(dāng)時(shí)，可將帶電圓盤看作點(diǎn)電荷，因此P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為：4-4大多數(shù)生物細(xì)胞的細(xì)胞膜可以用兩個(gè)分別帶有電荷的同心球殼系統(tǒng)來(lái)模擬。在本題圖4-5中，設(shè)半徑為和的球殼上分別帶有電荷和，求：R1R2Q1QR1R2Q1Q2IIIIII圖4-5（2）若=－各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度又為多少？畫出此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線(即－關(guān)系曲線)。從這個(gè)結(jié)果，你可以對(duì)細(xì)胞膜的電場(chǎng)強(qiáng)度分布有個(gè)概略的了解。解：（1）I：以r1﹤R1為半徑作球面高斯面，因面內(nèi)無(wú)電荷，依可得：E1=0II：以為半徑作球面高斯面，面內(nèi)的電荷為Q1，依可得：III：以為半徑作球面高斯面，面內(nèi)的電荷為Q1+Q2，同理可得：0rR20rR2R1E圖4-6E－r關(guān)系曲線（2）根據(jù)上部分結(jié)果可得I：E1=0II：III：E3=0根據(jù)已知條件畫出關(guān)系曲線如圖4-6所示4-5實(shí)驗(yàn)表明，在靠近地面處有相當(dāng)強(qiáng)的大氣電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直地面向下，大小約為；在離地面1.5km高的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度方向也是垂直地面向下的，大小約為。（1）計(jì)算從地面到此高度的大氣中電荷的平均體密度；（2）若地球上的電荷全部分布在地球表面，求地球表面的電荷面密度；（3）已知地球的半徑為，地球表面的總電量為多少?解：（1）由已知可得，離地面高度為1.5km的大氣電場(chǎng)，地面的大氣電場(chǎng)為。H=1.5kmE2圖4-7從1.H=1.5kmE2圖4-7得故（2）靠近地球表面作球面高斯面∵∴（3）4-6隨著溫度的升高，一般物質(zhì)依次表現(xiàn)為固態(tài)、液態(tài)和氣態(tài)。當(dāng)溫度繼續(xù)升高時(shí)，氣體中的大量分子將由于激烈碰撞而離解為電子和正離子。這種主要由帶電離子組成的狀態(tài)為物質(zhì)的第四態(tài)，處于該態(tài)的物質(zhì)稱等離子體。如果氣體放電時(shí)形成的等離子體圓柱內(nèi)的體電荷分布有如下關(guān)系其中，為電荷體密度，為圓柱軸線上的值，a為常量，求電場(chǎng)強(qiáng)度分布。解：以半徑r長(zhǎng)度L作圓柱高斯面，如圖4-8所示，則：rLrL圖4-84-7測(cè)定土壤顆粒所帶電量的方法之一是沉降法。在該法中，使土壤顆粒在已知黏滯系數(shù)的液體中沉降，測(cè)出其收尾速度(即最后的穩(wěn)定速度)。然后，再通過(guò)極間電壓施加一個(gè)如圖所示的靜電場(chǎng)(假定土壤顆粒帶正電荷)，調(diào)節(jié)使顆粒達(dá)到新的收尾速度，這時(shí)有下列關(guān)系成立：其中，r為土粒的半徑，q為土粒所帶電量。請(qǐng)證明這個(gè)關(guān)系。解：對(duì)進(jìn)入電場(chǎng)前后的帶電土壤顆粒（后簡(jiǎn)稱q）進(jìn)行受力分析可得：q進(jìn)入電場(chǎng)前：①①q進(jìn)入電場(chǎng)達(dá)v2后：②②聯(lián)立①②得：原題證畢4-8為了將混合在一起的帶負(fù)電荷的石英顆粒和帶正電荷的磷酸鹽顆粒分開(kāi)，可以使之沿重力方向垂直通過(guò)一個(gè)電場(chǎng)區(qū)域來(lái)達(dá)到。如果電場(chǎng)強(qiáng)度，顆粒帶電率為，假設(shè)顆粒進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域的初速度為零，欲將石英顆粒和磷酸鹽顆粒分離100mm以上，問(wèn)顆粒通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的距離至少應(yīng)為多少?該題說(shuō)明了在農(nóng)業(yè)上很有實(shí)用價(jià)值的靜電分選技術(shù)的原理。解：正、負(fù)帶電顆粒受水平方向的電場(chǎng)力和豎直方向的重力，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4-9所示。分別對(duì)帶正、負(fù)電荷的顆粒進(jìn)行受力分析：正電荷：mgqEmgqEqEmg++++++++++++++lh圖4-9水平位移為：①①豎直位移為：②②聯(lián)立①②兩式得帶電顆粒通過(guò)電場(chǎng)距離為4-9水分子的電偶極矩為，如果這個(gè)電偶極矩是由一對(duì)點(diǎn)電荷±e引起的(e為電子電量)，那么，它們的距離是多少?如果電偶極矩的取向與強(qiáng)度為電場(chǎng)方向一致，要使這個(gè)電偶極矩倒轉(zhuǎn)成與電場(chǎng)相反的方向需要多少能量(用eV表示)?解：（1）依題意得：P=ql則（2）若使電偶極矩倒轉(zhuǎn)需要能量為A，則4-10一個(gè)細(xì)胞的膜電勢(shì)差為50mV，膜厚度為。若假定膜中場(chǎng)強(qiáng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，問(wèn)電場(chǎng)強(qiáng)度為多大?當(dāng)一個(gè)鉀離子()通過(guò)該膜時(shí)需作多少功?解：依題意得：若令一個(gè)鉀離子()通過(guò)該膜時(shí)需做功A，則4-11動(dòng)物的一些神經(jīng)纖維可視為半徑、長(zhǎng)0.1的圓柱體，其內(nèi)部的電勢(shì)要比周圍流體的電勢(shì)低0.09V，有一層薄膜將神經(jīng)纖維和這些流體隔開(kāi)。存在于薄膜上的泵(一種運(yùn)輸?shù)奶胤N蛋白)可以將輸送出纖維。若已知每平方厘米薄膜每秒鐘可送出的，問(wèn)(1)每小時(shí)有多少庫(kù)侖的電荷被送出纖維?(2)每小時(shí)必須反抗電場(chǎng)力作多少功?解：（1）由已知得：圓柱體半徑，圓柱體長(zhǎng)度，，，阿伏伽德羅常數(shù)，基本電荷。因此，每小時(shí)被送出纖維的電荷量為：（2）每小時(shí)反抗電場(chǎng)力做功AA=qU=6.54×10-3×0.09=5.89×10-4(J)4-12計(jì)算練習(xí)4-4中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域中的電勢(shì)。解：（1）由題4-4可得I、II、III區(qū)域中的電場(chǎng)分布，則區(qū)域I電勢(shì)：解得同理可得區(qū)域II電勢(shì)分布：區(qū)域III電勢(shì)分布（2）若，則區(qū)域I電勢(shì)：區(qū)域II電勢(shì)：區(qū)域III電勢(shì)：圖4-10qPxR4-13一個(gè)半徑為的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶總電量為，求圓環(huán)軸線上距圓心為圖4-10qPxR解：環(huán)上線電荷密度為，在環(huán)上取電荷元，如圖4-10所示，其電場(chǎng)在P點(diǎn)的電勢(shì)為對(duì)整個(gè)環(huán)進(jìn)行積分得：導(dǎo)線（＋）金屬圓筒（－）玻璃圖4-114-14核技術(shù)應(yīng)用中常用的蓋革—米勒(G—M)計(jì)數(shù)管，其外形結(jié)構(gòu)如圖4-11所示，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)用玻璃圓筒密封的共軸圓柱形電容器。設(shè)導(dǎo)線(正極)的半徑為，金屬圓筒(負(fù)極)的半徑為，正、負(fù)極之間為真空。當(dāng)兩極加上電壓時(shí)，求導(dǎo)線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度和金屬圓筒內(nèi)表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度。導(dǎo)線（＋）金屬圓筒（－）玻璃圖4-11解：設(shè)正極的線電荷密度為，作半徑為長(zhǎng)度為的圓柱高斯面，據(jù)高斯定理得距軸心為處的場(chǎng)強(qiáng)為：①①兩極間的電壓為②②聯(lián)立①②式得故正極附近的場(chǎng)強(qiáng)為圓筒表面的場(chǎng)強(qiáng)為R1R2圖4-124-15同軸電纜是由兩個(gè)很長(zhǎng)且彼此絕緣的同軸金屬圓柱體構(gòu)成，如圖4-12所示。設(shè)內(nèi)圓柱體的電勢(shì)為，半徑為，外圓柱體的電勢(shì)為，外圓柱體的內(nèi)半徑為，兩圓柱體之間為空氣。求兩圓柱體的空隙中離軸為處()的電勢(shì)。R1R2圖4-12解：（1）設(shè)內(nèi)圓柱體的體電荷密度為ρ。作以為半徑()，長(zhǎng)度為l的圓柱高斯面，依高斯定理得距軸心為處場(chǎng)強(qiáng)為①①兩圓柱間電壓為②②聯(lián)立①②式得：則令內(nèi)筒電勢(shì)為零，則距軸心為處的電勢(shì)為4-16動(dòng)物體是利用叫做軸突(axon)的神經(jīng)纖維中的電脈沖傳遞信息的。在結(jié)構(gòu)上軸突由圓筒形細(xì)胞膜組成。設(shè)圓筒形細(xì)胞膜的內(nèi)半徑為，外半徑為，細(xì)胞膜的相對(duì)介電常量為，求軸突單位長(zhǎng)度的電容。解：由習(xí)題4-15公式②，可得圓筒形細(xì)胞膜內(nèi)外的電壓為：U=l軸突單位長(zhǎng)度的電容為：l4-17一個(gè)球形電容器，內(nèi)外殼半徑分別為和，兩極板間電介質(zhì)的相對(duì)介電常量為，球形電容器內(nèi)極板所帶電量為，試計(jì)算這一電容器所儲(chǔ)存的能量。解：在兩極板間以半徑r