專題05 拋物線與阿基米德三角形（教師版）2024高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破

第第頁(yè)專題05拋物線與阿基米德三角形【突破滿分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，這個(gè)三角形又常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因?yàn)榘⒒椎卤救俗钤缋帽平乃枷胱C明如下結(jié)論：拋物線與阿基米德三角形定理：如圖，假設(shè)拋物線方程為，過(guò)拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見(jiàn)結(jié)論:結(jié)論1.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn).結(jié)論2.直線的方程為.證明：參見(jiàn)下面的例1.也可由極點(diǎn)與極線得到.進(jìn)一步，設(shè)：，則.則，顯然由于過(guò)焦點(diǎn)，代入可得.我們得到了拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的基本關(guān)系.結(jié)論3.過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.證明：過(guò)點(diǎn)的切線方程為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.結(jié)論4..證明：由結(jié)論3，，.那么.結(jié)論5..證明：,則.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對(duì)稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過(guò)點(diǎn)的切線的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上.且的坐標(biāo)為，顯然平行于拋物線的對(duì)稱軸.例1．（1）、已知P、Q為拋物線上兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)分別為4、，過(guò)P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為______.【答案】【解析】解法1：，，所以切線PA的方程為，即；切線QA的方程為，即，聯(lián)立，解得：，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為.解法2：，易求得直線PQ的方程為，由題意，為阿基米德三角形，且直線PQ與y軸的交點(diǎn)為，由阿基米德三角形性質(zhì)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為.（2）、（2020·云南師大附中高三月考（理））過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦與拋物線交于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，分別過(guò)、兩點(diǎn)作拋物線的切線、相交于點(diǎn).又常被稱作阿基米德三角形.下面關(guān)于的描述：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③設(shè)、，則的面積的最小值為；④；⑤平行于軸.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷①的正誤；利用直線、斜率的關(guān)系可判斷②的正誤；計(jì)算出的面積的表達(dá)式，可判斷③的正誤；利用直線、的斜率關(guān)系可判斷④的正誤；求出直線的斜率，可判斷⑤的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】先證明出拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.證明如下：由于點(diǎn)在拋物線上，則，聯(lián)立，可得，即，，所以，拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為.如下圖所示：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，，對(duì)于命題①，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理可知，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，①正確；對(duì)于命題②，直線的斜率為，直線的斜率為，，所以，，②正確；對(duì)于命題④，當(dāng)垂直于軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)不與軸垂直時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，，則.綜上，，④正確；對(duì)于命題③，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，③錯(cuò)誤；對(duì)于命題⑤，當(dāng)垂直于軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，此時(shí)直線與軸重合，⑤錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查了拋物線的焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)以及韋達(dá)定理法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.（3）、已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A和B，拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P，設(shè)，則的值為_____.（結(jié)果用m表示）【答案】【解析】解法1：由題意，，可設(shè)直線，設(shè)，，聯(lián)立消去y整理得：，故，所以，即，故，由阿基米德三角形性質(zhì)知，所以.解法2：由阿基米德三角形性質(zhì)，，所以.【反思】①上述解法1用的是阿基米德三角形的哪條性質(zhì)？②在拋物線中，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則.（4）、（多選題）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線，弦過(guò)焦點(diǎn)，為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．存在點(diǎn)，使得B．C．對(duì)于任意的點(diǎn)，必有向量與向量共線D．面積的最小值為【答案】BCD【分析】關(guān)于阿基米德三角形的結(jié)論，需要逐個(gè)選項(xiàng)去判斷，對(duì)于A，，.對(duì)于B，可得處的切線方程分別為：，，可以得出Q的坐標(biāo)進(jìn)而可以驗(yàn)證，對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，利用平行關(guān)系可以做出判斷.對(duì)于D，如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，利用三角形面積公式可以判斷是正確的.【詳解】由題意畫圖如下：設(shè)，，，．設(shè)直線，聯(lián)立，化為，得到，．設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，聯(lián)立，整理可得，由△，可得．同理可得過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，對(duì)于A，，，故A錯(cuò)；對(duì)于B，可得，處的切線方程分別為：，，可得，，，當(dāng)時(shí)，，直線AB斜率不存在，兩直線垂直，，．故B正確；當(dāng)，又因?yàn)橹本€的斜率為，，．故B正確；對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，則由，軸，向量，向量與向量共線，故C正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，面積的，當(dāng)最短時(shí)（最短為，也最短，最短為，面積的最小值為，故正確．故選：BCD．【變式訓(xùn)練1-1】、（2020·昆明市·云南師大附中高三（理））阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線相交于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（）（1）若弦過(guò)焦點(diǎn)，則為直角三角形且；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是；（3）的邊所在的直線方程為；（4）的邊上的中線與y軸平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）【答案】D【分析】設(shè)，，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率，利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)得，正確；寫出切線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，得（2）錯(cuò)誤；用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出，寫出直線方程，并化簡(jiǎn)可得（3）正確；設(shè)為拋物線弦的中點(diǎn)，立即得（4）正確；【詳解】由題意設(shè)，，，由，得，則，所以，，若弦過(guò)焦點(diǎn)，∴，∴，∴，故（1）正確；以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立消去得，將代入，得，所以，故（2）錯(cuò)誤；設(shè)為拋物線弦的中點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，因此則直線平行于軸，即平行于拋物線的對(duì)稱軸，故（4）正確；設(shè)直線的斜率為，故直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故（3）正確，故選：D.．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，焦點(diǎn)弦性質(zhì)，考查學(xué)生的推理論證能力，屬于中檔題．【變式訓(xùn)練1-2】、（2019·福建廈門雙十中學(xué)高二期中）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過(guò)焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時(shí)，面積取得最小值.【詳解】設(shè)，過(guò)A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得：，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得的最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則切線與切線互相垂直，能使運(yùn)算量變得更小.【變式訓(xùn)練1-2】、已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A和B，拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P，則的最小值為_______.【解析】解法1：由題意，，可設(shè)直線，設(shè)，，聯(lián)立消去y整理得：，故，，所以，，故，由阿基米德三角形性質(zhì)，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為6.解法2：由題意，，可設(shè)直線，設(shè)，，聯(lián)立消去y整理得：，故，，所以，，故，由阿基米德三角形性質(zhì)，，即，所以故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為6.解法3：計(jì)算|的過(guò)程同解法1或解法2，求得后，令，則，，令，則所以，，故在上，在上，從而，即的最小值為6.解法4：由阿基米德三角形性質(zhì)，，所以.記，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，即，滿足，所以的最小值為6.【變式訓(xùn)練1-4】、（多選題）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線，相交于點(diǎn)P，又常被稱作阿基米德三角形．下面關(guān)于的描述其中正確的是（）A．P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；B．設(shè)，，則的面積S的最小值為；C．D．PM平行于x軸．【答案】ACD【分析】利用拋物線的性質(zhì)及幾何意義和直線與拋物線的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】解：設(shè)，，由，得則過(guò)A，B的切線方程分別為，，所以，，設(shè)直線AB為，與拋物線聯(lián)立得，所以，直線AB過(guò)焦點(diǎn)，即所以，所以，所以P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，且PM平行于x軸，所以AD正確；設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的投影為，，則，則，當(dāng)軸時(shí)，取等號(hào)，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，易知；當(dāng)AB斜率存在時(shí)，，所以，C正確，故選：ACD．例2.(2020年模擬題精選)已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，且。（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線相切于點(diǎn)，證明：．【解析】（1）由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，且，于是，∴，故拋物線的方程為。設(shè)點(diǎn)，，，∵，∴，切線方程為，即，令，可解得，∴，又，∴，∴?！唷！究键c(diǎn)點(diǎn)睛】當(dāng)點(diǎn)在準(zhǔn)線上時(shí)，過(guò)焦點(diǎn)，底邊的中線平行于對(duì)稱軸，且的最小值為。證明：（此步驟必須牢記，在大題中要體現(xiàn)）設(shè)拋物線方程為：，設(shè)，由前面步驟可知：，即過(guò)焦點(diǎn)。的中點(diǎn)為，而由上面步驟可知：，即底邊的中線平行于對(duì)稱軸。==，當(dāng)時(shí)，其面積最小為。【變式訓(xùn)練2-1】、已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA、PB，其中A、B為切點(diǎn).（1）求拋物線C的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求的最小值.【解析】（1）由題意，點(diǎn)F到直線l的距離，解得：或，又，所以，即，故拋物線C的方程為.（2）解法1：顯然直線AB的斜率存在，故可設(shè)其方程為，設(shè)，由可得，所以切線PA的方程為，即，同理，切線PB的方程為，聯(lián)立解得：，即，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以將代入消去y整理得：，由韋達(dá)定理，，，所以，，從而，，即，，故直線AB的方程為，即.解法2：設(shè)，，由可得，故切線PA的方程為，結(jié)合化簡(jiǎn)得：，同理，切線PB的方程為又點(diǎn)同時(shí)在PA和PB上，所以，故直線AB的方程為，即（3）（以下解答過(guò)程沿用的第2問(wèn)解法2的設(shè)法）由題意，，，聯(lián)立消去x整理得：所以，，故①，又點(diǎn)P在直線l上，故，代入式①整理得：，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.例3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線分別交拋物線于兩點(diǎn)．（1）若以為直徑的圓的方程為，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)分別作拋物線的切線，證明：的交點(diǎn)在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可求圓心到準(zhǔn)線的距離為，從而可求拋物線的方程．（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出兩點(diǎn)處的切線方程，從而可求的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線和拋物線的方程可得，從而可得的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，故的交點(diǎn)在定直線上．【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，則且.由拋物線的定義可知，，所以，由梯形中位線可得，所以，可得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)，由，得，則，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，解得，即直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)，由題可知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為，代入拋物線中，得，所以，故，所以的交點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題要注意利用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離問(wèn)題，對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的拋物線的切線問(wèn)題，可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求切線方程，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算．【變式訓(xùn)練3-1】、如下圖所示，拋物線，，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)M作的切線，切點(diǎn)為A、B（M為原點(diǎn)時(shí)，A、B重合于原點(diǎn)O），當(dāng)時(shí)，切線MA的斜率為.（1）求p的值；（2）當(dāng)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A、B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O）.【解析】（1）設(shè)，，，由可得，所以MA的方程為，即因?yàn)辄c(diǎn)M在上，所以，將代入可得此時(shí)切線MA的斜率為，所以，即切線MA的方程為又點(diǎn)M在切線MA上，所以，即，解得：（2）當(dāng)M不與原點(diǎn)重合時(shí)，由（1）知切線MA的方程為同理，切線MB的方程為，聯(lián)立解得：，即設(shè)AB中點(diǎn)，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)M在上，所以，故，代入式②可得③，將式①代入式③消去可得④，由題意，當(dāng)M為原點(diǎn)時(shí)，A、B重合于原點(diǎn)O，此時(shí)AB中點(diǎn)也為O，顯然原點(diǎn)O也滿足方程④，綜上所述，AB中點(diǎn)N的軌跡方程為【反思】拋物線中的阿基米德三角形問(wèn)題，一般先設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出切線的方程，用切點(diǎn)的坐標(biāo)參與后續(xù)的計(jì)算.例4、已知曲線，D為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；（2）若以為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形的面積.【解析】（1）解法1：顯然直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，，同理，切線BD的方程為，聯(lián)立，解得：由題意，點(diǎn)D在直線上，所以，故聯(lián)立消去y整理得：，由韋達(dá)定理，，所以，故，即直線AB的方程為，所以直線AB過(guò)定點(diǎn)解法2：設(shè)，，，由得：，故切線AD的方程為，即，又，所以，同理，切線BD的方程為因?yàn)辄c(diǎn)D同時(shí)在直線AD和直線BD上，所以，從而直線AB的方程為，即，所以直線AB過(guò)定點(diǎn)（2）由（1）知，所以設(shè)AB中點(diǎn)為Q，則，由題意，,當(dāng)時(shí)，，滿足題意，此時(shí)四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，，解得：，故而，所以，由（1）知，D點(diǎn)到直線AB的距離，故，所以四邊形的面積，綜上所述，四邊形的面積為3或.【變式訓(xùn)練4-1】．已知點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）判斷點(diǎn)是否在直線上？說(shuō)明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是△的外接圓的圓心，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）點(diǎn)在直線上，理由見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由拋物線的方程可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積，再由題意可得直線恒過(guò)，即得在直線上；（2）設(shè)，的坐標(biāo)，可得直線，的斜率及線段，的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段，的中垂線的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立求出外接圓的圓心的坐標(biāo)，由（1）可得的橫縱坐標(biāo)關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，消參數(shù)可得的軌跡方程．【詳解】(1)點(diǎn)在直線上.理由如下，由題意,拋物線的頂點(diǎn)為因?yàn)橹本€與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，所以設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立得到，其中，所以，因?yàn)樗?，所以，解得，?jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以直線AB的方程為，恒過(guò)定點(diǎn).（2）因?yàn)辄c(diǎn)是的外接圓的圓心，所以點(diǎn)是三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為為，因?yàn)椋O(shè)，，，所以，，，，，，所以線段的中垂線的方程為：，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，的中垂線的方程為：，即，同理可得線段的中垂線的方程為：，聯(lián)立兩個(gè)方程，解得，由（1）可得，，所以，，即點(diǎn)，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為：．【點(diǎn)睛】本題考查求直線恒過(guò)定點(diǎn)的方程及直三角形外接圓的性質(zhì)，和直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題．1．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線的斜率為（）A.B. C. D.【答案】D【解析】解法1：點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上，所以，設(shè)切線AB的方程為，聯(lián)立消去x整理得：①，判別式，解得：或，因?yàn)辄c(diǎn)B在第一象限，所以，代入式①可解得：，從而，即，所以直線BF的斜率.解法2：延長(zhǎng)BF交拋物線C于點(diǎn)D，則是阿基米德三角形，由阿基米德三角形性質(zhì)，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上，所以，從而直線AF的斜率，所以直線BF的斜率.2.已知拋物線與點(diǎn)，過(guò)C的焦點(diǎn)，且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】解法1：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線AB的方程為，則，聯(lián)立消去x整理得：，設(shè)，則，，所以，，，，所以解得：，從而.解法2：如圖，拋物線C的焦點(diǎn)為，顯然點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，，從而是阿基米德三角形，故，直線MF的斜率為，所以直線AB的斜率為2.3.已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)C的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若，則______.【答案】2【解析】解法1：易得，設(shè)直線AB的方程為，則，設(shè)，，聯(lián)立消去x整理得：，所以，，從而，而，因?yàn)?，所以解得：，故解?：因?yàn)椋詾榘⒒椎氯切?，根?jù)阿基米德三角形的性質(zhì)，有，易得，因?yàn)橹本€MF的斜率，所以直線AB的斜率為2.4．（2020·全國(guó)（理））古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和拋物線所包圍的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖，已知直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在y軸上的射影分別為D，C.從長(zhǎng)方形ABCD中任取一點(diǎn)，則根據(jù)阿基米德這一理論，該點(diǎn)位于陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由阿基米德理論計(jì)算拋物線中弓形，從而得陰影部分面積，然后由幾何概型概率公式計(jì)算概率．【詳解】把代入拋物線方程得，即，，，，∴，∴所求概率為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，解題關(guān)鍵是求出陰影部分面積，讀懂并能應(yīng)用阿基米德理論是基礎(chǔ)．5．（2020·云南高三（理））拋物線上任意兩點(diǎn)?處的切線交于點(diǎn)，稱為“阿基米德三角形”.當(dāng)線段經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)時(shí)，具有以下特征：①點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②為直角三角形，且；③.若經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條弦為，阿基米德三角形為，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)，可得：P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，可求出點(diǎn)P（?1，4），從而得到直線PF的斜率為?2，又，所以直線AB的斜率為，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線AB的方程.【詳解】解：由題意可知，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為：x＝﹣1，由△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過(guò)拋物線y2＝4x焦點(diǎn)，可得：P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，∴點(diǎn)P（﹣1，4），∴直線PF的斜率為：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直線AB的斜率為，∴直線AB的方程為：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，以及拋物線的性質(zhì)，是中檔題.6.拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y2=2px（p＞0），弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．隨Q位置變化前三種情況都有可能【答案】B【解析】秒殺公式：阿基米德三角形7.已知點(diǎn)P2在拋物線C：y22pxp0的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)P的直線與拋物線C相切于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為（ ）2A．1 B．23C． D．33【答案】【解析】Cy22pxp0P點(diǎn)縱坐標(biāo)相等y02ABABxky312ky360故直線AB的斜率為38．拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的．已知為拋物線上兩點(diǎn)，則在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為_______；弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為_________．【答案】【分析】由，求得，則，寫出在A點(diǎn)處和B點(diǎn)處拋物線C的切線方程，求得交點(diǎn)，再求得阿基米德三角形面積，再根據(jù)弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積與阿基米德三角形面積的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為-1，切線方程為：，即，同理在B點(diǎn)處拋物線CD切線方程，由，解得，所以兩切線的交點(diǎn)為，所以阿基米德三角形面積，所以弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為，故答案為：-1，9．（2018·上海交大附中高二月考）過(guò)拋物線的一條弦的中點(diǎn)作平行于拋物線對(duì)稱軸的平行線（或與對(duì)稱軸重合），交拋物線于一點(diǎn)，稱以該點(diǎn)及弦的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡(jiǎn)稱阿氏三角形）.現(xiàn)有拋物線:，直線：（其中，，是常數(shù)，且），直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)弦的阿氏三角形是.（1）指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）求的面積（用，，表示）；（3）稱的阿氏為一階的；、的阿氏、為二階的；、、、的阿氏三角形為三階的；……，由此進(jìn)行下去，記所有的階阿氏三角形的面積之和為，探索與之間的關(guān)系，并求.【答案】（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)：，準(zhǔn)線方程：；（2）；（3），【分析】（1）將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）將直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理可求得，根據(jù)可整理得到，代入整理可得結(jié)果；（3）由（2）知，繼續(xù)求解阿氏三角形面積可知，進(jìn)而分析得到；可知為無(wú)窮等比數(shù)列，利用無(wú)窮等比數(shù)列前項(xiàng)和的極限的求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）由得：拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：（2）將代入拋物線方程得：，則設(shè)，則中點(diǎn)，又，（3）設(shè)是拋物線上的任意一條弦，由（2）知設(shè)弦、的阿氏三角形依次為，上述討論表明，階中的每一個(gè)阿氏三角形都可以生成階中的兩個(gè)阿氏三角形，且后者的面積之和是前者面積的階中的個(gè)阿氏三角形面積之和與階中的個(gè)阿氏三角形面積之和滿足是首先為，公比為的無(wú)窮等比數(shù)列【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的新定義運(yùn)算的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確新定義運(yùn)算實(shí)際是直線與拋物線應(yīng)用中的三角形面積的求解問(wèn)題，只需結(jié)合韋達(dá)定理表示出所需的長(zhǎng)度即可求得結(jié)果；本題結(jié)合了無(wú)窮等比數(shù)列極限的求解，難點(diǎn)在于能夠分析得到所求數(shù)列的特征，證得所求數(shù)列為無(wú)窮等比數(shù)列.10.（2021·新課標(biāo)Ⅰ卷·理·21·★★