高考數(shù)學(xué) 正弦定理和余弦定理課后作業(yè) 文 新人教A版

課后作業(yè)(二十二)正弦定理和余弦定理一、選擇題1．(2013·寧波模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若acosA＝bsinB，則sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2) C．－1 D．12．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A．(0，eq\f(π,6)] B．[eq\f(π,6)，π]C．(0，eq\f(π,3)] D．[eq\f(π,3)，π)3．若△ABC中，6sinA＝4sinB＝3sinC，則cosB＝()A.eq\f(\r(15),4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(3\r(15),16) D.eq\f(11,16)4．在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3\r(3),2) C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2) D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)5．(2013·福州模擬)已知△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，AC＝2，∠BAC＝60°，則∠ACB＝()A．30° B．60° C．90° D．150°6．(2012·湖北高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若三邊的長為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且A>B>C，3b＝20acosA，則sinA∶sinB∶sinC為()A．4∶3∶2 B．5∶6∶7C．5∶4∶3 D．6∶5∶4二、填空題7．(2012·北京高考)在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，∠A＝eq\f(π,3)，則∠C的大小為________．8．(2012·湖北高考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，則角C＝________．9．(2013·昆明模擬)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若a2－c2＝b，且b＝3ccosA，則b＝________．三、解答題10．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.(1)求角A的大??；(2)若sinB·sinC＝sin2A，試判斷△ABC11．(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC.(1)求cosA；(2)若a＝3，△ABC的面積為2eq\r(2)，求b，c.12．(2013·南昌模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sineq\f(C,2).(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求邊c的值．解析及答案一、選擇題1．【解析】由acosA＝bsinB得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.【答案】D2．【解析】由正弦定理得a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，則cosA≥eq\f(1,2).因?yàn)?＜A＜π，所以0＜A≤eq\f(π,3).【答案】C3．【解析】由正弦定理得6a＝4b＝3c，所以b＝eq\f(3,2)a，c＝2a.所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋（2a）2－（\f(3,2)a）2,2a×（2a）)＝eq\f(11,16).【答案】D4．【解析】設(shè)AB＝a，則由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×3×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).∴BC邊上的高為eq\f(2S△ABC,BC)＝eq\f(3\r(3),2).【答案】B5．【解析】由S△＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝ABsin60°＝eq\f(\r(3),2)得AB＝1，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝3，∴BC＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴sin∠ACB＝eq\f(AB·sin∠BAC,BC)＝eq\f(sin60°,\r(3))＝eq\f(1,2)，又AB＜BC，∴∠ACB＜60°，∴∠ACB＝30°.【答案】A6．【解析】∵A>B>C，∴a>b>c.設(shè)a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acosA，得3b＝20(b＋1)×eq\f(b2＋（b－1）2－（b＋1）2,2b（b－1）).化簡，得7b2－27b－40＝0.解得b＝5或b＝－eq\f(8,7)(舍去)，∴a＝6，c＝4.∴sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.【答案】D二、填空題7．【解析】在△ABC中，由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(1,2).又∵a>b，∴∠B＝eq\f(π,6).∴∠C＝π－∠A－∠B＝eq\f(π,2).【答案】eq\f(π,2)8．【解析】由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2).又因?yàn)榻荂為△ABC的內(nèi)角，所以C＝eq\f(2π,3).【答案】eq\f(2π,3)9．【解析】由余弦定理知b＝3ccosA＝3c×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴b2＝3(a2－c2)，又a2－c2＝b，∴b2＝3b，∴b＝3.【答案】3三、解答題10．【解】(1)由已知得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又∠A是△ABC的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,3).(2)由正弦定理，得bc＝a2，又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.∴(b－c)2＝0，即b＝c.又A＝eq\f(π,3)，∴△ABC是等邊三角形．11．【解】(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC，得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,3)，從而cosA＝－cos(B＋C)＝eq\f(1,3).(2)由于0<A<π，cosA＝eq\f(1,3)，所以sinA＝eq\f(2\r(2),3).又S△ABC＝2eq\r(2)，即eq\f(1,2)bcsinA＝2eq\r(2)，解得bc＝6.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bc＝6，,b2＋c2＝13，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝3，,c＝2.))12．【解】(1)由已知得sinC＋sineq\f(C,2)＝1－cosC，∴sineq\f(C,2)(2coseq\f(C,2)＋1)＝2sin2eq\f(C,2).由sineq\f(C,2)≠0，得2coseq\f(C,2)＋1＝2sineq\f(C,2)，∴sineq\f(C,2)－coseq\f(C,2)＝eq\f(1,2).兩邊平方，得1－sinC＝eq\f(1,4)，∴sinC＝eq\f(3,4).(2)由sineq\f(C,2)－coseq\f(C,2)＝eq\f(1,2)＞0，得eq