適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布7.4.1二項(xiàng)分布探究導(dǎo)學(xué)課件新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

7.4二項(xiàng)分布與超幾何分布

7.4.1二項(xiàng)分布第七章新課程標(biāo)準(zhǔn)素養(yǎng)風(fēng)向標(biāo)1.理解n重伯努利試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布.2.會(huì)求滿足二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望和方差.1.會(huì)求n重伯努利試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.能用二項(xiàng)分布的概率模型解決實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)建模)3.會(huì)求服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望和方差.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探主題1

二項(xiàng)分布連續(xù)擲一枚圖釘3次,用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次擲得針尖向上”,且每次針尖向上的概率為p,Bk(k=0,1,2,3)表示出現(xiàn)k次針尖向上,回答下列問(wèn)題:(1)事件A1,A2,A3是否是相互獨(dú)立事件?提示:是相互獨(dú)立事件.

結(jié)論:1.n重伯努利試驗(yàn)的特征(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.2.二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=_____________,k=0,1,2,…,n.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作_____________.

X~B(n,p)

主題2

二項(xiàng)分布的期望與方差若隨機(jī)變量X~B(n,p),(1)當(dāng)n=1時(shí),E(X)=

,D(X)=

.

提示:當(dāng)n=1時(shí),X的分布列為:P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,所以E(X)=p,D(X)=p(1-p).答案:p

p(1-p)(2)當(dāng)n=2時(shí),E(X)=

,D(X)=

.

提示:當(dāng)n=2時(shí),X的分布列為P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)=2p(1-p),P(X=2)=p2,所以均值和方差分別為E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2=2p,D(X)=02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2-(2p)2=2p(1-p).答案:2p

2p(1-p)結(jié)論:

一般地,若X~B(n,p),那么E(X)=___,D(X)=_____________.np(1-p)np

2.已知隨機(jī)變量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.4),則E(η),D(η)分別是 (

)A.4和2.4 B.2和2.4 C.6和2.4 D.4和5.6【解析】選A.因?yàn)棣蝵B(10,0.4),所以E(ξ)=10×0.4=4,D(ξ)=10×0.4×0.6=2.4,因?yàn)棣?8-ξ,所以E(η)=E(8-ξ)=4,D(η)=D(8-ξ)=2.4.核心互動(dòng)探究探究點(diǎn)一

二項(xiàng)分布【典例1】現(xiàn)有一款智能學(xué)習(xí)APP,學(xué)習(xí)內(nèi)容包含文章學(xué)習(xí)和視頻學(xué)習(xí)兩類,且這兩類學(xué)習(xí)互不影響,已知該APP積分規(guī)則如下:每閱讀一篇文章積1分,每日上限積5分;觀看視頻累計(jì)3分鐘積2分,每日上限積6分,經(jīng)過(guò)抽樣統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),文章學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表1所示,視頻學(xué)習(xí)積分的概率分布表如表2所示.表1文章學(xué)習(xí)積分12345概率表2視頻學(xué)習(xí)積分246概率(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取1人了解學(xué)習(xí)情況,求每日學(xué)習(xí)積分不低于9分的概率;(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取3人了解學(xué)習(xí)情況,設(shè)積分不低于9分的人數(shù)為ξ,求ξ的概率分布.【思維導(dǎo)引】(1)根據(jù)表格,文章學(xué)習(xí)積分與視頻學(xué)習(xí)積分之和不低于9,計(jì)算相應(yīng)的概率,然后求和,可得結(jié)果.(2)根據(jù)ξ服從二項(xiàng)分布,寫出ξ的所有取值,并計(jì)算相應(yīng)的概率,列出分布列.【解析】(1)由題意,獲得的積分不低于9分的情況有:文章學(xué)習(xí)積分3455視頻學(xué)習(xí)積分6646

ξ0123P【延伸探究】

本題條件不變,求隨機(jī)變量ξ的均值和方差.【解析】由隨機(jī)變量ξ的概率分布列為ξ0123P

【類題通法】二項(xiàng)分布的解題步驟(1)判斷隨機(jī)變量X是否服從二項(xiàng)分布:看兩點(diǎn):①是否為n重伯努利試驗(yàn);②隨機(jī)變量是否是這n重伯努利試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù);(2)建立二項(xiàng)分布模型;(3)確定X的取值并求出相應(yīng)的概率;(4)寫出分布列.【定向訓(xùn)練】1.某一智力游戲玩一次所得的積分是一個(gè)隨機(jī)變量X,其概率分布如下表,數(shù)學(xué)期望E(X)=2.(1)求a和b的值;(2)某同學(xué)連續(xù)玩三次該智力游戲,記積分X大于0的次數(shù)為Y,求Y的概率分布.X036Pab

Y0123P

X01234P

Y05101520P

【類題通法】(1)二項(xiàng)分布的均值求解方法首先根據(jù)二項(xiàng)分布的特點(diǎn)判斷隨機(jī)變量的分布屬于哪一類分布,若屬于二項(xiàng)分布,則代入二項(xiàng)分布的均值公式,計(jì)算出變量的均值.(2)常見(jiàn)分布列方差的求法①用定義:用方差的定義求解,適用于所有概率模型.②用公式:若明確隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,可直接利用方差的計(jì)算公式求出.

ξ的分布列為ξ0