適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.1直線與直線垂直教師用書新人教A版必修第二冊

PAGE8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直1.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a'∥a,b'∥b,則異面直線a,b所成的角等于所成的角;

(2)范圍:.

2.兩條異面直線互相垂直:兩條異面直線所成的角是,記作a⊥b.

3.異面直線垂直與平面內(nèi)兩條直線垂直有何異同?【基礎(chǔ)鞏固組】一、單選題1.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中,與棱AB垂直的棱有 ()A.2條 B.4條 C.6條 D.8條2.空間四邊形ABCD中,E,F分別為AC,BD中點(diǎn),若CD=2AB,EF⊥AB,則EF與CD所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2BB1,則AB1與BC1所成的角的大小是 ()A.60° B.75° C.90° D.105°二、多選題4.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列敘述正確的是 ()A.CC1與B1E是異面直線B.C1C與AE共面C.AE與B1C1是異面直線D.AE⊥B1C1三、填空題5.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AD,AA1的中點(diǎn).(1)直線AB1和CC1所成的角為;

(2)直線AB1和EF所成的角為.

6.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,四邊形BCC1B1為正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D為C1B1的中點(diǎn),則異面直線A1C1與AD所成角的余弦值為.

四、解答題7.如圖,直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB=AC=1,∠BAC=,A1A=4,點(diǎn)M為線段A1A的中點(diǎn).(1)求直三棱柱A1B1C1-ABC的體積;(2)求異面直線BM與B1C1所成的角的余弦值.8.如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分別是BD1和AD的中點(diǎn),求證:CD1⊥EF.【素養(yǎng)提升組】一、選擇題1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為 ()A. B. C. D.2.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是 ()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定二、填空題3.如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面是邊長為a的菱形,∠BAD=60°,AA1=2a,則直線A1C1與B1C所成角的余弦值為.

4.已知正四棱錐P-ABCD,PA=2,AB=,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn),且BM=,則異面直線PA與BM所成角為.

三、解答題5.在空間四邊形ABCD中,兩條對邊AB=CD=3,E,F分別是另外兩條對邊AD,BC上的點(diǎn),且,EF=,求證:AB⊥CD.6.如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分別是BD1和AD的中點(diǎn).求證:CD1⊥EF.8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直必備知識·落實(shí)1.(1)直線a',b'(2)0°≤α≤90°2.直角3.相同點(diǎn)是所成的角都是90°,不同點(diǎn)是異面直線垂直沒有交點(diǎn),平面內(nèi)兩條直線垂直有公共點(diǎn).知能素養(yǎng)·進(jìn)階【基礎(chǔ)鞏固組】1.D在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中,與棱AB垂直的棱有BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1,共8條.2.A取AD的中點(diǎn)H,連接FH,EH,EH∥CD,FH∥AB,則在△EFH中∠EFH=90°,HE=2HF,從而∠FEH=30°.3.C設(shè)BB1=1,如圖,延長CC1至C2,使C1C2=CC1=1,連接B1C2,則B1C2∥BC1,所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角).連接AC2,因?yàn)锳B1=3,B1C2=3,AC2=6,所以AC22=AB12+B1C22,則∠4.CD在A中,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),所以B1E?平面BCC1B1,CC1?平面BCC1B1,所以CC1與B1E是共面直線,故A錯(cuò)誤;在B中,因?yàn)锳E∩平面BCC1B1=E,CC1?平面BCC1B1,且E?CC1,所以CC1與AE是異面直線,故B錯(cuò)誤;在C中,因?yàn)锳E∩平面BCC1B1=E,B1C1?平面BCC1B1,且E?B1C1,所以AE與B1C1是異面直線,故C正確;在D中,因?yàn)锳E⊥BC,BC∥B1C1,所以AE⊥B1C1,故D正確.5.【解析】如圖.(1)因?yàn)锽B1∥CC1,所以∠AB1B(或其補(bǔ)角)即為異面直線AB1與CC1所成的角,∠AB1B=45°.答案:45°(2)連接B1C,AC易得EF∥B1C,所以∠AB1C(或其補(bǔ)角)即為異面直線AB1和EF所成的角.連接AC,則△AB1C為正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:60°6.【解析】如圖,過點(diǎn)D作DF∥A1C1,交A1B1于點(diǎn)F,連接AF,則∠ADF為異面直線A1C1與AD所成角(或所成角的補(bǔ)角),因?yàn)樵谌庵鵄BC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,四邊形BCC1B1為正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D為C1B1的中點(diǎn),所以由題意知AD=22+2DF=12+22=5,AF=所以異面直線A1C1與AD所成角的余弦值為cos∠ADF=AD2+DF2-AF22×AD×DF答案:307.【解析】(1)因?yàn)镾△ABC=12×1×1=1所以V=S△ABC·A1A=1(2)連接MC(圖略).因?yàn)锽C∥B1C1,所以∠MBC或其補(bǔ)角是異面直線BM與B1C1所成的角,在△MBC中,BM=CM=5,BC=2,由余弦定理得,cos∠MBC=BM

2+8.【證明】取CD1的中點(diǎn)G,連接EG,DG.因?yàn)镋是BD1的中點(diǎn),所以EG∥BC,EG=12因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),且AD∥BC,AD=BC,所以DF∥BC,DF=12BC,所以EG∥DF,EG=DF所以四邊形EFDG是平行四邊形,所以EF∥DG,所以∠DGD1(或其補(bǔ)角)是異面直線CD1與EF所成的角.又A1A=AB,所以四邊形ABB1A1,四邊形CDD1C1都是正方形,且G為CD1的中點(diǎn),所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,所以CD1⊥EF.【素養(yǎng)提升組】1.C如圖,連接BD1交DB1于O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,OM.易知O為BD1的中點(diǎn),所以AD1∥OM,則∠MOD(或其補(bǔ)角)為異面直線AD1與DB1所成角.因?yàn)樵陂L方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,所以AD1=ADDM=AD2+DB1=AB2+所以O(shè)M=12AD1=1OD=12DB1=5于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD=12+5即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為552.D如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,取AA1為l2,BB1為l3,取AD為l1,BC為l4,則l1∥l4;取AD為l1,AB為l4,則l1⊥l4;取AD為l1,A1B1為l4,則l1與l4異面,因此l1,l4的位置關(guān)系不確定.3.【解析】連接AC,AB1,因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中A1C1∥AC,所以∠ACB1是直線A1C1與B1C所成角(或所成角的補(bǔ)角).因?yàn)榈酌媸沁呴L為a的菱形,∠BAD=60°,所以AC=a2+a2因?yàn)锳A1=2a,所以AB1=CB1=a2+(2a)所以cos∠ACB1=(3a)故直線A1C1與B1C所成角的余弦值為1510答案:154.【解析】如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O,連接OM,由題意得OM∥PA,則∠OMB為異面直線PA與BM所成角.由O,M分別為AC,PC中點(diǎn),得OM=12PA=1在Rt△AOB中,易得OB=AB·sin45°=1.又BM=2,即OB2+OM2=BM2,所以△OMB為直角三角形,且∠OMB=45°.答案:45°5.【證明】如圖,連接BD,過點(diǎn)E作AB的平行線交BD于點(diǎn)O,連接OF,EF.因?yàn)镋O∥AB且AEED=12,所以EOAB因?yàn)锳B=3,所以EO=2.又BFFC=12,所以BFFC所以O(shè)F∥DC,所以O(shè)E與OF所成的角即為AB和CD所成的角,因?yàn)镈C=3,所以O(shè)F=1.在△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=(5)2=5,所以O(shè)E2+OF2=EF2,所以∠EOF=90°,所以AB⊥CD.6.【證明】取CD1的中點(diǎn)G,連接EG,DG.因?yàn)镋是BD1的中點(diǎn),所以EG∥BC,EG=12因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),且