新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 6.2《等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和》教案 (原卷版)

第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.1.等差數(shù)列(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表示為an＋1﹣an＝d(n∈N*)，d為常數(shù).(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng).2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n﹣1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝dn＋(a1﹣d)是關(guān)于d的一次函數(shù).(2)當(dāng)d≠0時(shí)，等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1﹣eq\f(d,2))n是關(guān)于n的二次函數(shù).4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n﹣m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)數(shù)列Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…(m∈N*)也是等差數(shù)列，公差為m2d.(5)若{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為Sn，Tn，則eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).(6)若{an}是等差數(shù)列，則{eq\f(Sn,n)}也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同，公差是{an}的公差的eq\f(1,2).(7)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶﹣S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).(8)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n＋1，則①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.()(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).()二、教材改編1.等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，則公差d等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.2D.﹣eq\f(1,2)2.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于()A.31B.32C.33D.343.已知等差數(shù)列﹣8，﹣3，2，7，…，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為________.4.某劇場(chǎng)有20排座位，后一排比前一排多2個(gè)座位，最后一排有60個(gè)座位，則劇場(chǎng)總共的座位數(shù)為________.考點(diǎn)1等差數(shù)列基本量的運(yùn)算解決等差數(shù)列運(yùn)算問題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項(xiàng)a1和公差d，通常利用已知條件及通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個(gè)量，可“知三求二”.(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí)，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解.(3)利用性質(zhì)：運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題過程.1.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4＝0，a5＝5，則()A.an＝2n﹣5 B.an＝3n﹣10C.Sn＝2n2﹣8nD.Sn＝eq\f(1,2)n2﹣2n2.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5等于()A.﹣12B.﹣10C.10D.123.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長(zhǎng)排來差三歲，共年二百又零七，借問長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個(gè)問題中，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，則a1＝()A.23B.32C.35D.38考點(diǎn)2等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的4個(gè)判定方法(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an＋1﹣an等于同一個(gè)常數(shù).(2)等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q后，再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2SnSn﹣1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求證：{eq\f(1,Sn)}成等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.證明{eq\f(1,Sn)}成等差數(shù)列的關(guān)鍵是eq\f(1,Sn)﹣eq\f(1,Sn－1)為與n無關(guān)的常數(shù)，同時(shí)注意求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式時(shí)務(wù)必檢驗(yàn)其通項(xiàng)公式是否包含n＝1的情形.[備選例題]數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(an,2an＋1)，a1＝1.(1)證明：數(shù)列{eq\f(1,an)}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{eq\f(1,an)}的前n項(xiàng)和Sn，并證明eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＞eq\f(n,n＋1).1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1﹣(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列{eq\f(an,n)}是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式.2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn﹣1，其中λ為常數(shù).(1)證明：an＋2﹣an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由.考點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用等差數(shù)列中常用的解題性質(zhì)(1)項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n﹣1＝(2n﹣1)an.(3)在Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)中常用性質(zhì)或等差中的項(xiàng)解題.(1)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＋a9﹣aeq\o\al(2,6)＋15＝0，則S11＝()A.35B.36C.45D.55(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15等于()A.35B.42C.49D.63(3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝﹣2018，eq\f(S2019,2019)﹣eq\f(S2013,2013)＝6，則S2020＝________.以數(shù)列項(xiàng)或和的下角標(biāo)為突破口，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)靈活解答.[備選例題](1)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于()A.0B.37C.100D.﹣37(2)等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9﹣a10的值是()A.20B.22C.24D.8(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于()A.63B.45C.36D.271.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若m＞1，且am﹣1＋am＋1﹣aeq\o\al(2,m)﹣1＝0，S2m﹣1＝39，則m等于()A.39B.20C.19D.102.設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意的n∈N*，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a2,b3＋b13)＋eq\f(a14,b5＋b11)的值為()A.eq\f(29,45)B.eq\f(13,29)C.eq\f(9,19)D.eq\f(19,30)考點(diǎn)4等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的2種方法(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法：①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是()A.5B.6C.7D.8[母題探究]將本例中“a1＝13，S3＝S11”改為“a1＝20，S10＝S15”，則n為何值？本題用了三種不同的方法，其中方法一是從項(xiàng)的角度分析函數(shù)最值的變化；方法二、三是借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)給與解得，三種方法各有優(yōu)點(diǎn)，靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.1.設(shè)數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為()A.5B.6C.5或6D.112.設(shè){an}是等差數(shù)列，a1＝﹣10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、選擇題1.若{an}為等差數(shù)列，且a7﹣2a4＝﹣1，a3＝0，則公差d等于()A.﹣2B.﹣eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.22.在等差數(shù)列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和等于()A.66B.132C.﹣66D.﹣1323.數(shù)列{an}滿足2an＝an﹣1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5＝()A.9B.10C.11D.124.公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，則λ的值為()A.15B.21C.23D.255.等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為()A.6B.7C.8D.9二、填空題6.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1≠0，a2＝3a1，則eq\f(S10,S5)＝_______.7.已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________.8.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，給出下列結(jié)論：①a10＝0；②S10最??；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正確的結(jié)論是________.(填序號(hào))三、解答題9.已知數(shù)列{an}滿足(an＋1﹣1)(an﹣1)＝3(an﹣an＋1)，a1＝2，令bn＝eq\f(1,an－1).(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.10.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9＝﹣a5.(1)若a3＝4，求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍.1.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31