新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破學(xué)案6.8《橢圓、雙曲線的二級結(jié)論的應(yīng)用》（原卷版）

微重點16橢圓、雙曲線的二級結(jié)論的應(yīng)用橢圓、雙曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識的綜合性較強，因而解題時需要運用多種基礎(chǔ)知識，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式.法則固然很重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，正確靈活地運用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問題便能迎刃而解.考點一焦點三角形核心提煉焦點三角形的面積公式：P為橢圓(或雙曲線)上異于長軸端點的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2且∠F1PF2＝θ，則橢圓中SKIPIF1<0＝b2·taneq\f(θ,2)，雙曲線中SKIPIF1<0＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).例1已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其離心率為e＝eq\f(1,2)，點P為該橢圓上一點，且滿足∠F1PF2＝eq\f(π,3)，已知△F1PF2的內(nèi)切圓的面積為3π，則該橢圓的長軸長為()A.2B.4C.6D.12易錯提醒(1)要注意公式中θ的含義.(2)橢圓、雙曲線的面積公式不一樣，易混淆.跟蹤演練1如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(6),2)考點二焦半徑的數(shù)量關(guān)系核心提煉焦半徑的數(shù)量關(guān)系式：直線l過焦點F與橢圓相交于A，B兩點，則eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2a,b2)，同理，雙曲線中，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2a,b2).例2已知雙曲線C的左、右焦點分別為F1(﹣eq\r(7)，0)，F(xiàn)2(eq\r(7)，0)，過F2的直線與C的右支交于A，B兩點.若eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，|AB|＝|F1B|，則雙曲線C的方程為________.易錯提醒公式的前提是直線AB過焦點F，焦點F不在直線AB上時，公式不成立.跟蹤演練2已知橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，過右焦點F2的直線交橢圓于A，B兩點，且|AF2|＝2，則|AB|＝______，cos∠F1AB＝________.考點三周角定理核心提煉周角定理：已知點P為橢圓(或雙曲線)上異于頂點的任一點，A，B為長軸(或?qū)嵼S)端點，則橢圓中kPA·kPB＝﹣eq\f(b2,a2)，雙曲線中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).例3已知橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右兩個頂點為A，B，點M1，M2，…，M5是AB的六等分點，分別過這五點作斜率為k(k≠0)的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10，則直線AP1，AP2，…，AP10，這10條直線的斜率乘積為()A.﹣eq\f(1,16)B.﹣eq\f(1,32)C.eq\f(1,64)D.eq\f(1,1024)規(guī)律方法周角定理的推廣：A，B兩點為橢圓(雙曲線)上關(guān)于原點對稱的兩點，P為橢圓(雙曲線)上異于A，B的任一點，則橢圓中kPA·kPB＝﹣eq\f(b2,a2)，雙曲線中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2).跟蹤演練3設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上、下頂點分別為A，B，直線AF2與該橢圓交于A，M兩點，若∠F1AF2＝90°，則直線BM的斜率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.﹣1D.﹣eq\f(1,2)考點四過圓錐曲線上點的切線方程核心提煉已知點P(x0，y0)為橢圓(或雙曲線)上任一點，則過點P與圓錐曲線相切的切線方程為橢圓中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，雙曲線中eq\f(x0x,a2)﹣eq\f(y0y,b2)＝1.例4已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1.如圖，設(shè)直線l與圓O：x2＋y2＝R2(1<R<2)相切于點A，與橢圓C相切于點B，則|AB|的最大值為________.規(guī)律方法(1)該切線方程的前提是點P在圓錐曲線上.(2)類比可得過圓(x﹣a)2＋(y﹣b)2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)·(y﹣b)＝1.跟蹤演練4已知F為橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點，點A是直線x＝3上的動點，過點A作橢圓C的切線AM，AN，切點分別為M，N，則|MF|＋|NF|﹣|MN|的值為()A.3B.2C.1D.0專題強化練1.過雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點P作雙曲線C的切線l，若直線OP與直線l的斜率均存在，且斜率之積為eq\f(2,5)，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(\r(29),5)B.eq\f(\r(30),3)C.eq\f(\r(35),5)D.eq\f(\r(30),5)2.已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y＝kx(k≠0)與C交于M，N兩點，且四邊形MF1NF2的面積為8a2.若點M關(guān)于點F2的對稱點為M′，且|M′N|＝|MN|，則C的離心率是()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.3D.53.橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作直線交橢圓于A，B兩點，且eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，則△AF1B的外接圓面積為()A.eq\f(5π,2)B.4πC.9πD.eq\f(25π,4)4.已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過原點O的直線交C于A，B兩點(點B在右支上)，雙曲線右支上一點P(異于點B)滿足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直線PA交x軸于點D，若∠ADO＝∠AOD，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B.2C.eq\r(3)D.35.(多選)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A1，A2，點P是C上異于A1，A2的一點，則下列結(jié)論正確的是()A.若C的離心率為eq\f(1,2)，則直線PA1與PA2的斜率之積為﹣eq\f(4,3)B.若PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為b2C.若C上存在四個點P使得PF1⊥PF2，則C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.若|PF1|≤2b恒成立，則C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))6.(多選)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為A1，A2，P為雙曲線的左支上一點，且直線PA1與PA2的斜率之積等于3，則下列說法正確的是()A.雙曲線C的離心率為2B.若PF1⊥PF2，且SKIPIF1<0＝3，則a＝2C.以線段PF1，A1A2為直徑的兩個圓外切D.若點P在第二象限，則∠PF1A2＝2∠PA2F17.橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b