新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破學(xué)案4.5《球的切接問題》（教師版）

微重點(diǎn)11球的切接問題空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過對幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置.考點(diǎn)一空間幾何體的外接球例1(1)已知三棱錐P﹣ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，則該三棱錐外接球的表面積為()A.12πB.16πC.20πD.24π答案為：C解析：∵PA⊥平面ABC，所以把三棱錐P﹣ABC補(bǔ)成直三棱柱PB′C′﹣ABC，如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)為上、下底面三角形的外心，則EF的中點(diǎn)O為直三棱柱PB′C′﹣ABC的球心，在△ABC中，由余弦定理知BC＝2eq\r(3)，∵2FA＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，∴FA＝2，∵FA＝2，又OF＝eq\f(1,2)PA＝1，設(shè)該三棱錐外接球半徑為R，∴R＝OA＝eq\r(OF2＋FA2)＝eq\r(5)，∴表面積S＝4πR2＝20π.(2)兩個(gè)邊長為2的正三角形△ABC與△ABD，沿公共邊AB折疊成60°的二面角，若點(diǎn)A，B，C，D在同一球O的球面上，則球O的表面積為()A.eq\f(20π,9)B.eq\f(52π,9)C.eq\f(16π,3)D.eq\f(28π,3)答案為：B解析：如圖，設(shè)△ABC與△ABD的中心分別為N，M，連接DM，CN并延長交AB于E，連接OE，OB，OM，ON.根據(jù)外接球的性質(zhì)有OM⊥平面ABD，ON⊥平面ABC，又二面角D﹣AB﹣C的大小為60°，故∠DEC＝60°，又△ABC與△ABD的邊長均為2，故DE＝CE＝eq\r(3)，故EM＝EN＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(\r(3),3).易得Rt△MEO≌Rt△NEO，故∠MEO＝∠NEO＝30°，故OE＝eq\f(ME,cos30°)＝eq\f(2,3)，又EB＝1，故球O的半徑OB＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(13),3)，故球O的表面積為S＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3)))2＝eq\f(52π,9).規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問題的策略(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的；(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.跟蹤演練1(1)已知四面體ABCD中，AB＝CD＝2eq\r(5)，AC＝BD＝eq\r(29)，AD＝BC＝eq\r(41)，則四面體ABCD的外接球的表面積為______.答案為：45π解析：設(shè)四面體ABCD的外接球的半徑為R，將四面體ABCD置于長、寬、高分別為a，b，c的長方體中，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝20，,b2＋c2＝29，,a2＋c2＝41，))故R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(\r(45),2)，故四面體ABCD的外接球的表面積為4πR2＝45π.(2)已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為邊長是4的正方形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且△PAB為等邊三角形，則該四棱錐P﹣ABCD的外接球的表面積為()A.eq\f(112π,3)B.eq\f(64π,3)C.64πD.16π答案為：A解析：如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，取側(cè)面△PAB和底面正方形ABCD的外接圓的圓心分別為O1，O2，分別過O1，O2作兩個(gè)平面的垂線交于點(diǎn)O，則由外接球的性質(zhì)知，點(diǎn)O即為該球的球心，取線段AB的中點(diǎn)E，連接O1E，O2E，O2D，OD，則四邊形O1EO2O為矩形，在等邊△PAB中，可得PE＝2eq\r(3)，則O1E＝eq\f(2\r(3),3)，即OO2＝eq\f(2\r(3),3)，在正方形ABCD中，因?yàn)锳B＝4，可得O2D＝2eq\r(2)，在Rt△OO2D中，可得OD2＝OOeq\o\al(2,2)＋O2D2，即R2＝OOeq\o\al(2,2)＋O2D2＝eq\f(28,3)，所以四棱錐P﹣ABCD的外接球的表面積為S＝4πR2＝eq\f(112π,3).考點(diǎn)二空間幾何體的內(nèi)切球例2(1在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，則該三棱錐內(nèi)切球的體積為()A.eq\f(9π,16)B.eq\f(9π,4)C.eq\f(16π,9)D.eq\f(4π,3)答案為：A解析：由AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，得AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB，BC?平面ABC，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以CD⊥AC.由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，所以三棱錐A﹣BCD的表面積S＝2×eq\f(1,2)×3×4＋2×eq\f(1,2)×4×5＝32，三棱錐A﹣BCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×4＝8.設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為O，半徑為r，由V＝VO﹣ABC＋VO﹣ABD＋VO﹣ACD＋VO﹣BCD＝eq\f(1,3)Sr，得r＝eq\f(3V,S)＝eq\f(3,4)，所以該三棱錐內(nèi)切球的體積V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(9π,16).(2)已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為()A.eq\f(49π,36)B.eq\f(576π,49)C.eq\f(576π,25)D.eq\f(344π,25)答案為：B解析：旋轉(zhuǎn)體的軸截面如圖所示，其中O為內(nèi)切球的球心，過O作AB，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則OE＝OF＝r(r為內(nèi)切球的半徑)，故AO＝eq\f(r,sin∠BAC)＝eq\f(5,3)r，CO＝eq\f(r,sin∠BCA)＝eq\f(5,4)r，故5＝AO＋OC＝eq\f(5,3)r＋eq\f(5,4)r，解得r＝eq\f(12,7)，故該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)))2＝eq\f(576π,49).規(guī)律方法空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.跟蹤演練2(1)在封閉的直三棱柱ABC﹣A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，則V的最大值是()A.16πB.eq\f(32π,3)C.36πD.eq\f(125π,3)答案為：B解析：由題意，因?yàn)锳B⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，可得△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r＝eq\f(6×8,6＋8＋10)＝2，又由AA1＝6，故在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的內(nèi)部的球半徑最大為R＝2，所以此時(shí)V的最大值為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)×π·23＝eq\f(32π,3).(2)六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常溫常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫的分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)(正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體)，如圖所示.若此正八面體的棱長為2，則它的內(nèi)切球的表面積為()A.eq\f(4\r(2)π,3)B.eq\f(8\r(3)π,27)C.eq\f(8π,3)D.eq\f(16π,3)答案為：C解析：設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑為R，給正八面體標(biāo)出字母如圖所示，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接EO，因?yàn)镋A＝EC，ED＝EB，所以EO⊥AC，EO⊥BD，又AC和BD交于點(diǎn)O，所以EO⊥平面ABCD，所以O(shè)為正八面體的中心，所以O(shè)到八個(gè)面的距離相等，且距離即為內(nèi)切球半徑，設(shè)內(nèi)切球與平面EBC切于點(diǎn)H，所以O(shè)H⊥平面EBC，所以O(shè)H即為正八面體內(nèi)切球半徑，所以R＝OH，因?yàn)檎嗣骟w的棱長為2，所以EB＝EC＝BC＝2，OB＝OC＝eq\r(2)，EO＝eq\r(EB2－OB2)＝eq\r(2)，所以S△EBC＝eq\r(3)，S△OBC＝1，因?yàn)閂E﹣OBC＝VO﹣EBC＝eq\f(1,3)×S△OBC×EO＝eq\f(1,3)×S△EBC×OH，所以O(shè)H＝eq\f(\r(6),3)，即R＝eq\f(\r(6),3)，所以正八面體內(nèi)切球的表面積為4πR2＝eq\f(8π,3).專題強(qiáng)化練1.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，得到三棱錐O﹣DEF，則該三棱錐外接球的表面積為()A.3πB.eq\r(6)πC.6πD.24π答案為：C解析：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，折起后OD，OE，OF兩兩垂直，故該三棱錐外接球即以O(shè)D，OE，OF為棱的長方體外接球.因?yàn)镺D＝2，OE＝1，OF＝1，所以2R＝eq\r(OD2＋OE2＋OF2)＝eq\r(6)，所以R＝eq\f(\r(6),2)，所以該三棱錐外接球的表面積為4πR2＝6π.2.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底面和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側(cè)面積為()A.2eq\r(6)πB.4eq\r(6)πC.16πD.eq\f(16π,3)答案為：B解析：依題意，做球的軸截圖如圖所示，其中，O是球心，E是圓錐的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，由題意可知eq\f(4,3)πR3＝36π，解得R＝3，由于圓柱的高為2，則OD＝1，DE＝3﹣1＝2，DC＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，母線EC＝eq\r(22＋8)＝2eq\r(3)，故圓錐的側(cè)面積為S＝π·DC·EC＝π×2eq\r(2)×2eq\r(3)＝4eq\r(6)π.3.若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為()A.2∶1B.3∶2C.7∶3D.7∶4答案為：C解析：如圖，設(shè)O1，O2分別為正六棱柱的底面中心，r為內(nèi)切球半徑，R為外接球半徑，O為O1O2的中點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，設(shè)正六棱柱的底面邊長為2，若正六棱柱有內(nèi)切球，則OO1＝O1D＝eq\r(3)，即r＝eq\r(3)，OA2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1A2＝7，即R＝eq\r(7)，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為4πR2∶4πr2＝R2∶r2＝7∶3.4.)半正多面體亦稱阿基米德多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，如此共可截去八個(gè)三棱錐，得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，它們的邊長都相等，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.現(xiàn)有一個(gè)體積為V1的二十四等邊體，其外接球體積為V2，則eq\f(V2,V1)等于()A.eq\f(4\r(2)π,3)B.eq\f(4π,5)C.eq\f(2\r(2)π,5)D.eq\f(4\r(2)π,5)答案為：C解析：設(shè)該半正多面體是由棱長為2的正方體沿正方體各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得，即為二十四等邊體，如圖所示，其體積V1＝2×2×2﹣8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(20,3)；由二十四等邊體的對稱性可知，其外接球的球心即為正方體的中心O，半徑為中心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，設(shè)外接球半徑為R，則R＝eq\r(OA2＋AB2)＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，故V2＝eq\f(4π,3)×(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，從而eq\f(V2,V1)＝eq\f(2\r(2)π,5).5.(多選)已知A，B，C三點(diǎn)均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3)，則下列結(jié)論正確的是()A.球O的半徑為eq\f(3,2)B.球O的表面積為6πC.球O的內(nèi)接正方體的棱長為eq\r(6)D.球O的外切正方體的棱長為eq\r(6)答案為：BD解析：設(shè)球O的半徑為r，△ABC的外接圓圓心為O′，半徑為R，則R＝eq\f(2\r(3),3)，因?yàn)榍蛐腛到平面ABC的距離等于球O半徑的eq\f(1,3)，所以r2﹣eq\f(1,9)r2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2)，所以A不正確；所以球O的表面積S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，選項(xiàng)B正確；設(shè)球O的內(nèi)接正方體的棱長為a，則a滿足eq\r(3)a＝2r，顯然選項(xiàng)C不正確；設(shè)球O的外切正方體的棱長為b，則b滿足b＝2r，顯然選項(xiàng)D正確.6.(多選)已知球O是三棱錐P﹣ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2eq\r(2)，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，且CD＝eq\r(7)，則下列說法正確的是()A.三棱錐P﹣ABC最長的棱的棱長為2eq\r(2)B.AC⊥平面PABC.球心O到底面PAB的距離為eq\r(3)D.球O的表面積為eq\f(28π,3)答案為：ABD解析：如圖，因?yàn)镻A＝AC＝2，CP＝2eq\r(2)，所以PA2＋AC2＝CP2，得CA⊥PA，由D是PB的中點(diǎn)，得AD⊥PB，AD＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，又CD＝eq\r(7)，所以AC2＋AD2＝CD2，得AC⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAB，所以AC⊥平面PAB，故B正確；由AB＝AP，得CB＝CP＝2eq\r(2)，故三棱錐P﹣ABC最長的棱的棱長為2eq\r(2)，故A正確；取等邊三角形PAB的中心G，連接OG，OA，則OG＝eq\f(1,2)AC＝1，即球心O到底面PAB的距離為1，故C錯(cuò)誤；底面△PAB外接圓的半徑r＝eq\f(2\r(3),3)，外接球的半徑R＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2)＝eq\r(\f(7,3))＝eq\f(\r(21),3)，所以球O的表面積為S＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21),3)))2＝eq\f(28π,3)，故D正確.7.某中學(xué)開展勞動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作包裝盒.現(xiàn)將一張足夠用的正方形硬紙片加工制作成軸截面的頂角為60°，高為6的圓錐形包裝盒，若在該包裝盒中放入一個(gè)球形冰淇淋(內(nèi)切)，則該球形冰淇淋的表面積為________.答案為：16π解析：如圖，由題意知，∠BAC＝60°，AO1＝6，故在Rt△AO1C中，AC＝4eq\r(3)，O1C＝2eq\r(3)，設(shè)內(nèi)切球球心為O，半徑