小學(xué)五年級(jí)下冊(cè) 數(shù)學(xué)《奧數(shù)》知識(shí)點(diǎn)講解第3課 巧求表面積 試題附答案

小學(xué)五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第3課《巧求表面積》試題附答案

第三講巧求表面積

我們己經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體，知道長(zhǎng)方體或正方體六個(gè)面面積的總和

叫做長(zhǎng)方體或正方體的表面積.如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用a表示、寬用b表示、高用h表

示，那么，長(zhǎng)方體的表面積=（ab+ah+bh）X2.如果正方體的棱長(zhǎng)用a表示，

則正方體的表面積=6a2.對(duì)于由幾個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而成的幾何形體，或者

是一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而面的幾何形體，它們的表面積又如何求呢？涉及

立體圖形的問(wèn)題，往往可考查同學(xué)們的看圖能力和空間想象能九小學(xué)階段遇

到的立體圖形主要是長(zhǎng)方體和正方體，這些圖形的特點(diǎn)都是可以從六個(gè)方向去

看，特別是求表面積時(shí)，就是上下、左右和前后六個(gè)方向（有時(shí)只考慮上、

左、前三個(gè)方向）的平面圖形的面積的總和.有了這個(gè)原則，在解決類(lèi)似問(wèn)題

時(shí)就十分方便了。

例1在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（右圖），

求這個(gè)立體圖形的表面積。

例2下圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個(gè)

棱長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個(gè)棱

長(zhǎng)為￡厘米的正方體小洞，第三個(gè)正方體小洞的挖法與前兩個(gè)相同，棱長(zhǎng)為

g厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？

例3把19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個(gè)立體

圖形.求這個(gè)立體圖形的表面積。

例4一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)為1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，每片又

按任意尺寸鋸成4條，每條又按任意尺寸鋸成5小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體

60塊，如下圖.問(wèn)這60塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方米？

例5有一些棱長(zhǎng)是1厘米的正方體，共1993個(gè)，要拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，問(wèn)表面

積最小是多少？

例6用12個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體弱放成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)

方體.碼放后得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？

答案

第三講巧求表面積

我們己經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和正方體，知道長(zhǎng)方體或正方體六個(gè)面面積的總和

叫做長(zhǎng)方體或正方體的表面積.如果長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用a表示、寬用b表示、高用h表

示，那么，長(zhǎng)方體的表面積=（ab+ah+bh）X2.如果正方體的棱長(zhǎng)用a表示，

則正方體的表面積=6屋.對(duì)于由幾個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而成的幾何形體，或者

是一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體組合而面的幾何形體，它們的表面積又如何求呢？涉及

立體圖形的問(wèn)題，住住可考查同學(xué)們的看圖能力和空間想象能力.小學(xué)階段遇

到的立體圖形主要是長(zhǎng)方體和正方體，這些圖形的特點(diǎn)都是可以從六個(gè)方向去

看，特別是求表面積時(shí)，就是上下、左右和前后六個(gè)方向（有時(shí)只考慮上、

左、前三個(gè)方向）的平面圖形的面積的總和.有了這個(gè)原則，在解決類(lèi)似問(wèn)題

時(shí)就十分方便了。

例1在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（右圖），

求這個(gè)立體圖形的表面積。

分析我們把上面的小正方體想象成是可以向下“壓縮”的，“壓縮”后我們

發(fā)現(xiàn)：小正方體的上面與大正方體上面中的陰影部分合在一起，正好是大正方

體的上面.這樣這個(gè)立體圖形的表面積就可以分成這樣兩部分：

上下方向：大正方體的兩個(gè)底面，

［小正方體的四個(gè)側(cè)面，

仙回：j大正方體的四個(gè)側(cè)面。

卜

解：上下方向：5X5X2=50（平方分米）；

側(cè)面：5X5X4=100（平方分米），

4X4X4=64（平方分米）o

這個(gè)立體圖形的表面積為:

50+100+64=214（平方分米）。

答：這個(gè)立體圖形的表面積為214平方分米。

例2下圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的正方體，在正方體上表面的正中，向下挖一個(gè)

棱長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個(gè)棱

長(zhǎng)為!厘米的正方體小洞，第三個(gè)正方體小洞的挖法與前兩個(gè)相同，棱長(zhǎng)為

9厘米，那么最后得到的立體圖形的表面積是多少平方厘米？

分析這道題的難點(diǎn)是洞里的表面積不易求.在小洞里，平行于上下表面的所有

面的面積和等于邊長(zhǎng)為1厘米的正方形的面積，這個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形再與

圖中陰影部分的面積合在一起正好是邊長(zhǎng)為2厘米的正方體的上表面的面積.這

個(gè)立體圖形的表面積分成兩部分：

上下方向：2個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形的面積,

'邊長(zhǎng)為2厘米的4個(gè)正方形的面積和,

邊長(zhǎng)為1厘米的4個(gè)正方形的面積和,

側(cè)面：《邊長(zhǎng)為9厘米的4個(gè)正方形的面積和,

邊長(zhǎng)為《厘米的4個(gè)正方形的面積和。

解：平行于上下表面的各面面積之和:

2X2X2=8（平方厘米）；

側(cè)面：2X2X4=16（平方厘米），

1X1X4=4（平方厘米），

：xgx4=l（平方厘米），

—x—x4=—（平方厘米）?

這個(gè)立體圖形的表面積為：

84-16+4+1+^=29^（平方厘米）。

答：這個(gè)立體圖形的表面積為29*平方厘米。

例3把19個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體重疊在一起，按右圖中的方式拼成一個(gè)立體

圖形.求這個(gè)立體圖形的表面積。

分析從上下、左右、前后看時(shí)的平面圖形分別由下面三圖表示。

因此，這個(gè)立體圖形的表面積為：

上下面左右面前后面

2個(gè)上面+2個(gè)左面+2個(gè)前面。

解：上面的面積為：9平方厘米，

左面的面積為：8平方厘米，

前面的面積為：10平方厘米。

因此，這個(gè)立體圖形的表面積為：

（9+8+10）X2=54（平方厘米）。

答：這個(gè)立體圖形的表面積為54平方厘米。

例4一個(gè)正方體形狀的木塊，棱長(zhǎng)為1米，沿著水平方向?qū)⑺彸?片，每片又

按任意尺寸鋸成4條，每條又按任意尺寸鋸成5小塊，共得到大大小小的長(zhǎng)方體

60塊，如下圖.問(wèn)這60塊長(zhǎng)方體表面積的和是多少平方米？

分析原來(lái)的正方體有六個(gè)外表面，每個(gè)面的面積是1X1=1（平方米），無(wú)論

后來(lái)鋸成多少塊，這六個(gè)外表面的6平方米總是被計(jì)入后來(lái)的小木塊的表面積

的.再考慮每鋸一刀，就會(huì)得到兩個(gè)1平方米的表面，現(xiàn)在一共鋸了：2+3+4=9

（刀），一共得到18平方米的表面.因此，總的表面積為：6+（2+3+4）X2

=24（平方米》。

解：每鋸一刀，就會(huì)得到兩個(gè)1平方米的表面,

1X2=2（平方米）

一共鋸了：2+3+4=9（刀），

得到：2X9=18（平方米）的表面。

因此，這大大小小的60塊長(zhǎng)方體的表面積的和為：

6+18=24（平方米）。

答：這60塊長(zhǎng)方體表面積的和為24平方米.

例5有一些棱長(zhǎng)是1厘米的正方體，共1993個(gè)，要拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，問(wèn)表面

積最小是多少？

解：因?yàn)?993是一個(gè)質(zhì)數(shù)，所以這1993個(gè)正方體只能擺成長(zhǎng)1993厘米、寬

1厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體，因此這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為：

1993X1X4+1X1X2=7974（平方厘米）。

答：擺成的大長(zhǎng)方體表面積最小是7974平方厘米。

例6用12個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體碼放成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)

方體.碼放后得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？

分析用這12個(gè)長(zhǎng)方體可以碼放出許多種不同的長(zhǎng)方體，當(dāng)然得到的表面積就

不會(huì)相同.我們可以把所有不同情況下的長(zhǎng)方體的表面積都計(jì)算出來(lái)，再選出

最小值，但這樣做，會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間，情況還不一定考慮得周全，因此，要考

慮有沒(méi)有巧妙的方法.先重申一下基本原理：

在體積固定的所有長(zhǎng)方體中，只有各棱長(zhǎng)相等的立方體，其各棱長(zhǎng)之和為

最小，其裝面積也最小。

因?yàn)樗o長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都己確定，而且已知是12個(gè)長(zhǎng)方體，所歷并

成的這個(gè)大長(zhǎng)方體的體積就已固定（3X4X5X12=720立方厘米）.因?yàn)檫@個(gè)

大長(zhǎng)方體的體積不是一個(gè)立方數(shù)，因而不可能使各棱長(zhǎng)都相等，但我們可以使

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高這三個(gè)數(shù)盡可能地接近，這樣使其各棱長(zhǎng)之和為最小，這

個(gè)大&方體的表面積也最小。

解：一方面12=22X3,另一方面，長(zhǎng)、寬、高應(yīng)盡量接近，觀察到720（立

方厘米）=8（厘米）X9（厘米）X10（厘米），并且有5X2=10（厘米），4

X2=8（厘米），3X3=9（厘米）.

拼成的大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10厘米、8厘米、9厘米，這時(shí)長(zhǎng)方體

的表面積為：

（10X9+10X8+9X8）X2=484（平方厘米）。

答：碼放后得到的這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為484平方厘米。

習(xí)題三

1.如右圖所示，由三個(gè)正方體木塊粘合而成的模型，它們的棱長(zhǎng)分別為1

米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方體的下面不涂油漆，則模型涂

酈由漆的面積是多少率方米？

2.將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱體如右圖

所示組成一個(gè)物體，求這個(gè)物體的表面積（榭為3.14）o

3.小明小制作時(shí)把6個(gè)棱長(zhǎng)分別為1、2、3、4,5、6（單位：分米）的正

方體按由大到小的順序碼放成一個(gè)寶塔，并且把重合部分用膠固定粘牢，再把

所有外露的部分涂上油漆，交給老師.所有涂上油漆部分的面積是多少平方分

米？

4.有30個(gè)棱長(zhǎng)為1米的正方體，在地面上擺成如右圖的形式，求這個(gè)立體

圖形的表面積是多少平方米？

5.下面（a）中的一些積木是由16塊棱長(zhǎng)為2厘米的正方體堆成的，它的表

面積是多少平方厘米？

6.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為4厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心

各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體做成一種玩具，求這個(gè)玩具的表面積.如果把

本題的條件“4厘米”改換為“3厘米”，那么這個(gè)玩具的表面積是多少？（圖

（b））O

7.下圖（c）中是一個(gè)表面被涂上紅色的棱長(zhǎng)為10厘米的正方體木塊，如

果把它沿著虛線(xiàn)切成8個(gè)正方體，這些小正方體中沒(méi)有被涂上紅色的所有表面

的面積和是多少平方厘米？

8.有一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體木塊，從它的每一個(gè)面看都有一個(gè)穿透

"十字形''的孔（如左圖陰影部分），如果將其全部浸入黃漆后取出，曬干

后，再切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，這些小正方體未被染上黃漆的面積總和

是多少？

五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第三講巧求表面積習(xí)題解答

習(xí)題三解答

1.解：4X4+（1X1+2X2+4X4）X4

=100（平方米）。

答：模型涂刷油漆的面積是100平方米。

2.解：nXl.52X2+2HX（0.5+1+1.5）Xl

=32.97（平方米）。

答：這個(gè)物體的表面積為32.97平方米。

3.解：62X2+（M+22+3?+42+5斗2）X4

=436（平方分米）。

答：涂上油漆部分的面積是436平方分米。

4.解：42X2+（1:+1X2+1X3+1X4）X4

=72（平方米）。

答：這個(gè)立體圖形的表面積為72平方米。

5.解:上下方向：22X9X2=72（平方厘米），

前后方向：22X7X2=56（平方厘米），

左右方向：22X9X2=72（平方厘米），

（計(jì)算左右方向面積時(shí)，請(qǐng)注意底層前部凹進(jìn)去的二個(gè)側(cè)面）.

表面積為：72+56+72=200（平方厘米）。

答：立體圖形的表面積為200平方厘米。

6.解：由于本題所給出的正方體棱長(zhǎng)為4厘米，從六個(gè)面的中心位置各挖

去一個(gè)棱長(zhǎng)為1厘米的正方體，這樣得到的玩具中心部分是實(shí)體。

原正方體的表面積為：42X6=96（平方厘米）.在它的六個(gè)面各挖去一個(gè)棱

長(zhǎng)為1厘米的正方體后增加的面積為：12X4X6=24（平方厘米），

這個(gè)玩具的表面積為：96+24=120（平方厘米）。

答：這個(gè)玩具的表面積為120平方厘米。

如果把本題的條件“4厘米”改換成“3厘米”，那么解法就要發(fā)生變化，

因?yàn)橥谌チ鶄€(gè)小正方體后，大正方體的中心部分即與其主體脫離，這時(shí)得到的

新玩具是鏤空的.把這個(gè)玩具分成20部分，8個(gè)“角”和12條“梁”，如右圖。

每個(gè)“角”為棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，它外露部分的面積為：#X3=3（平

方厘米），則8個(gè)“角”外露部分的面積為：3X8=24（平方厘米）。

每條“梁”為棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，它外露部分的面積為：JX4=4（平