數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)第5章課后題答案

第五章習(xí)題答案

1.求下面等式約束最優(yōu)化問題可能的極值點(diǎn)，要求寫出一階必要條件并求解由一階必要條

件構(gòu)成的方程組。

maxormin/(xx)=x；尤2

⑴max/(%l,x2)=%lx2152

s.t.Xj+4X2=16's.t.+x；=3

maxorminf(x,y)=xy

〔3〕

s.t.x2+y2=1和％+y=1

解：〔1〕首先寫出拉格朗日函數(shù)：L（x1,x2,/l）=x1x2+2（16-%1-4X2）

將L對%，々和力分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：

解得$*=8,々*=2,2*=2,此時(shí)/=16。

則點(diǎn)（8,2）為目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)，且在該點(diǎn)處約束條件滿足約束規(guī)格。

2XJ2X2

〔2〕首先寫出拉格朗日函數(shù)：L（xpx2,/l）=X1X2+2（3-2-2）

將L對玉，%和％分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：

解得西*=1,工2*=1，義*=；，此時(shí)/=1：或者再*=1,=一1，4*=—:'此時(shí)

f--1：或者X；=—1,%2*=1，4*=；，此時(shí)/=1；或者2*=一1，工2*=一1，萬=—5，

此時(shí)/=-1O

則點(diǎn)（1,1）、（1,-1）,（―1,1）和（一1,-1）為目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)，且在這些點(diǎn)處約束條件滿

足約束規(guī)格。

〔3〕首先寫出拉格朗日函數(shù)：L（x,y，4,4）=肛+4（1一廠—）廣）+4（1—工―y）

羽1L對X,y,4和4分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：

解得￡=l,y*=0,4*=-g，4*=1，此時(shí)/=0；或者x*=0,y*=1，4*=-g，

A2*=1,此時(shí)f=0o

則點(diǎn)（1,0）和點(diǎn)（0,1）為目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)，且在這兩點(diǎn)處約束條件滿足約束規(guī)格。

2.利用等式約束極值問題的二階充分條件判斷習(xí)題1中求得的點(diǎn)是否為極大值點(diǎn)或極小值

點(diǎn)。

解：〔1〕對4,=Z-4=°,L&=芭—44=°求偏導(dǎo)數(shù)可得4皆=Lx.%=°,

4m=4泊=1,加邊元素g&=-1,g*=-4。所以，海賽加邊行列式為：

所以，由定理5.2得，在$*=8,尤2*=2處函數(shù)取得極大值/*=16。

[2]對&=2xtx2—4Ax,=0,Lx=—2Ax2=0求偏導(dǎo)數(shù)可得4內(nèi)=2/—42,

4匹=-2九L=L=2x,加邊元素g&=-4*，g=所以，海賽加邊行列

V2X2X1tX2-2X2O

式為：

當(dāng)X*=1,x2*=1,2*=；時(shí)，

所以，由定理5.2得，在X；=L々*=1處函數(shù)取得極大值/*=1。

當(dāng)X*=1,x2*=—1,4*=—5時(shí)，

所以，由定理5.2得，在％*=1,々*=一1處函數(shù)取得極小值尸=一1。

當(dāng)X；=-1,%2*=1，丸*=!時(shí)，

2

所以，由定理5.2得，在=%*=1處函數(shù)取得極大值/*=1。

當(dāng)X*=-1,A??=—1,4*=一萬時(shí)，

所以，由定理5.2得，在=9*=一1處函數(shù)取得極小值/*=一1。

〔3〕對k=y_24x_4=0,Lv=%_24,-4=0求偏導(dǎo)數(shù)可得L”==-2/1,

LL122

xy=yx=,加邊元素g[=_2x,g\,=~2y,gx=gy-\,gy=~1o所以，海

賽加邊行列式為：

當(dāng)x*=1,y*=0,4*=_g，4*=1時(shí)，

當(dāng)x*=0,y*=1，4*=—g，%2*=1時(shí)，

所以，由定理5.2得，在x*=l,y*=0或者x*=0,y*=l處函數(shù)取得極大值/*=0。

3.求函數(shù)/(x,y,z)=x+y+z2在約束/+y2+z2=0和y=0下的可能的極值點(diǎn)。

解：首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x,y,z,\,A1)=x+y+z2+A,(-x2-y2-z2)-A2y

將L對x,>,z和4,4分別求偏導(dǎo)數(shù)可得:

解得該方程無實(shí)解，存在虛數(shù)解：x=—,y*=0,z=±—/,4*=1，凡*=1,此時(shí)

2-2

4.利用海賽加邊行列式確定下面每一小題的Z值是極大值還是極小值。

〔1〕z=到滿足約束x+2y=2；

(2〕z=x(y+4)滿足約束x+y=8；

〔3〕z=x-3y一孫滿足約束x+y=6；

〔4〕z=X?-y+7滿足約束x+y=0。

解：〔1〕首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x,y,A)=xy+2(2-x-2y)

將L對x,V和；l分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：

解得x*=l,y*=/l*=；,

對L、.=y_/l=0,=x_22=0求偏導(dǎo)數(shù)可得Lq=Lv,v=0,L^,=Lyx=1,加邊元

-

素8=-1,gy=2?所以，海賽加邊行列式為：

所以，由定理5.2得，z(l,1)=，為目標(biāo)函數(shù)的極大值。

22

〔2〕首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x,y,A)=%(y+4)+2(8-x-y)

將L對x,y和;i分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：

解得x*=6,y*=2,2*=6,

LL1

對4=y+4-4=0,Lv=x-/l=0求偏導(dǎo)數(shù)可得L"=L*=0,x>-yx-,加邊

元素gx=g>=T。所以，海賽加邊行列式為：

所以，由定理5.2得，z(6,2)=36為目標(biāo)函數(shù)的極大值。

(3)首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x,y,A)^x-3y-xy+A(6-x-y)

將L對x,》和;I分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：

解得￡=1,y*=5,2*=-4,

對&=l_y_4=0,4=-x-3一丸=0求偏導(dǎo)數(shù)可得=0,Lxy=Lyx--\t

加邊元素g.r=g>,=-1。所以，海賽■加邊行列式為：

所以，由定理5.2得，z(l,5)=-19為目標(biāo)函數(shù)的極小值。

〔4〕首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x,y,2)=x?-y+7+2(-x-y)

將L對x,y和;I分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：

解得x*=—工，y*=:，彳*=_],

22

對&=2%_2=0,&=_1_/1=0求偏導(dǎo)數(shù)可得=2,4>，=0,Lxy=Lyx=0,加邊

元素g*=g,=-l。所以，海賽加邊行列式為：

所以，由定理5.2得，=7為目標(biāo)函數(shù)的極小值。

5.求原點(diǎn)(0,0)至U橢圓x?+孫+y2=3的最大和最小距離〔提示：目標(biāo)函數(shù)取為x?+y?可

簡化運(yùn)算。

解：由題意知，解決如下最優(yōu)化問題，

首先寫出拉格朗日函數(shù)：L(x,j,2)=x2+y2+A(3-x2-xy-y2)

將L對x,》和;l分別求偏導(dǎo)數(shù)可得：

解得x=y*=±1或者x*-±\/3,y*-;#),

則z(±l,±l)=2為最小距離，z(土百，.百)=6為最大距離。

6.繪出有如下特征的曲線z=/(x)

〔1〕擬凹的，〔2〕擬凸的，[3]既擬凹又?jǐn)M凸的

解:

[1〕擬凹〔2〕擬凸

0x

(3)既擬凹又?jǐn)M凸

7.運(yùn)用海賽加邊行列式檢險(xiǎn)以下函數(shù)的擬凹性和擬凸性：

[1Jz=-x2-y2(x,y>0)

〔2〕z=—(x+l)2-(y+2)2(x,y>0)

解：[1[z*=-2x,zy=-2y,z.=zvv=-2,zxy=zyx=-2

所以，由定理5.7得，該函數(shù)為擬凹函數(shù)。

〔2〕zx=-2x-2,zy=-2y-4,=z”，=-2,z^.=z?=0

所以，由定理5.7得，該函數(shù)為擬凹函數(shù)。

8.判斷以下命題的正誤，并給予說明。

⑴設(shè)/(x)是單變量遞增函數(shù)，則/(x)為擬凹函數(shù)。

〔2〕設(shè).f(x)是單變量遞減函數(shù)，則/(x)為擬凹函數(shù)。

〔3〕設(shè)/(%)是單變量函數(shù)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)。使得/(%)在(—8,勿區(qū)間上遞減，在矽,+8)

區(qū)間上遞增時(shí)，f(x)為擬凹函數(shù)。

解:〔1〕命題正確，對于一元遞增函數(shù)/定義域〔凸集〕中任意點(diǎn)〃〈嘰有/(v)N/("),

則：對任意8e[0J,有/((j)”+%)"〃)；則/為擬凹的。

〔2〕命題錯(cuò)誤，對于一元遞減函數(shù)/定義域〔凸集〕中任意點(diǎn)〃<v,有f(u)>/(V),

則：對任意8e[0,1],有f((l-6)v+縱)Nf(v)；則/為擬凸的。

〔3〕命題錯(cuò)誤，用反證法證明，假設(shè)命題成立，則在區(qū)間(—8,。)上與該題〔2〕一樣,

則該函數(shù)為擬凸函數(shù)，與命題結(jié)論矛盾，故命題錯(cuò)誤。

9.極大化問題

試估計(jì)以下目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，并說明理由。

maxf(x,y,z)=x+y+zmaxf(x,y,z)-x+1.02y+z

⑴，,，…，⑵

s.t.x2+y2+z2=3.05's.t.x2+y2+z2=3.05

max/(x,y,z)=x+1.02y+z

〔3〕,',

s.t.x~+1.01y+z~-3.05

解：根據(jù)〔1〕、〔2〕、〔3〕小問中目標(biāo)函數(shù)與約束條件變動項(xiàng)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

22

L(x,y,z,A;a)=x+axy+z+A(a2-x-a3y~-z),將(4,%,%)=(1,3,1)代入極大化

1**1

問題，在約束條件下目標(biāo)函數(shù)的極大值點(diǎn)為(1,1,1),乘子為一。從而有w=(1,1,1),2=一。

22

(1〕當(dāng)?shù)仁郊s束改為/+),+z?=3.05時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為：

極大化問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值分別是(1+1+1)+0.025=3.025?

〔2〕當(dāng)目標(biāo)函數(shù)改為f(x,y,z)=x+1.02y+z,等式約束改為f=3.05時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為：

極大化問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是(1+1+1)+0.045=3.045。

〔3〕當(dāng)目標(biāo)函數(shù)改為/(乂乂2)=%+1.02)，+2,等式約束改為》2+]()1>!2+22=305時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值改變分量為：

工(1,3,DM+(1,3,1)9+—(h3,1)9=1X0.02+-X0.05+(--)x0.01=0.04

datda2da322

極大化問題的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值是(1+1+1)+0.04=3.04。

10.一個(gè)消費(fèi)者具有效用函數(shù)：U(x,y)=x(y+1),其中x和V是兩種商品的數(shù)量，它們

的價(jià)格分別是P(x)和P(y)。消費(fèi)者的預(yù)算約束是“，因此消費(fèi)者的拉格朗日函數(shù)是

〔1〕從一階條件中找出需求函數(shù)的表達(dá)式。說明商品》是哪種商品尤其當(dāng)Pr>M的時(shí)候,

會出現(xiàn)哪種情況

〔2〕通過檢查二階充分條件來證明這是一個(gè)極大值。把％*和y*代入到效用函數(shù)中，找出

間接效用函數(shù)的表達(dá)式：U*=U(Px,Py,M),并推導(dǎo)出支出函數(shù)的表達(dá)式：

E=E0Py,U")。

MinPxx+P.y

⑶'*

s.t.x(y+1)=U

dE

求出這個(gè)最小化問題的％和y的解，并證明》和y的解值等于支出函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)—

此

dE

和----O

dPY

解：〔1〕根據(jù)拉格朗日函數(shù)得出一階必要條件為：

求解得出

其中，是消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)。

由上”。，誓M

<0可知,

dM5Py

商品y的價(jià)格增加，數(shù)量減少；貨幣收入增加，數(shù)量增加，因此為正常商品。當(dāng)時(shí),

yM<0。

(2〕L「Lyy=0,Lxy=Lyx=1,加邊元素gx=-Px,gy=_P、…所以，海賽加邊行列

式為：

因此，由定理5.2最優(yōu)值為極大值。

把X”和y"代入目標(biāo)函數(shù)中，得出間接效用函數(shù)為：

支出函數(shù)表達(dá)式為：E=U(PX,PR)=xPx+yPv=M-2Py=2(U*P￡)5—Pv

〔3〕構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：L(x,y,//)=Rx+Ry+MU*-x(y+l)]

一階必要條件為

求解這個(gè)方程組的x,y和〃，得到均衡解為

其中x〃，y”是消費(fèi)者的?？怂剐枨蠛瘮?shù)。

檢臉二階充分條件：

因此均衡解是模型的極小值點(diǎn)。

把X"，y”代入初始目標(biāo)函數(shù)，得到支出函數(shù)為

由于

證畢。

11.給定。=(x+2)(y+l)及巴=4,P、=6,M=30,

〔1〕寫出該問題的拉格朗日函數(shù)；

〔2〕求出最優(yōu)消費(fèi)束；

〔3〕在最優(yōu)消費(fèi)束處滿足極大值的二階充分條件嗎

〔4〕問題〔2〕的答案給出對比靜態(tài)信息了嗎

解：⑴L=(x+2)(y+1)+2(30-4%-6y)

Lx=y+1—4A.=0

(2]<Ly=x_6A.-0解得：

3

%=30—4x—6y=0

/J

12

〔3〕/=Lyy=0,Lxy=%=1,加邊元素g<=-4gy=-6。所以,海賽加邊行列式

為：

因此，由定理5.2最優(yōu)值滿足極大值的二階充分條件。

12.假設(shè)U=(x+2)(y+l),但不為價(jià)格和收入?yún)?shù)設(shè)定具體數(shù)值。

〔1〕寫出拉格朗日函數(shù)；

〔2〕求￡,y"及尤〔以參數(shù)P3Pv和M表示〕；

〔3〕檢驗(yàn)極大值點(diǎn)處的二階充分條件。

〔4〕令P,=4,4=6及"=30,檢驗(yàn)?zāi)銓α?xí)題8答復(fù)的正確性。

解：設(shè)x的價(jià)格為P、,y的價(jià)格為Pv，收入為M,則有:

'*M+2PX+PX

x-----------2

f2P

4=y+l—死=0V

*M+2PX+Pv

(1)一階條件為，Lv=x+2-APv=0，解得均衡解為，y=-----------^-1

2P、

[LA=M-xPx-yPy=Q

M+2R+P,

A=------------

2PR

01_P、

⑵同=10

-Py=2P、Py>0,則均衡解為極大值

-Px-Py0

(3)正確

13.習(xí)題10的解〔￡和y*〕能夠產(chǎn)生對比靜態(tài)信息嗎求出所有對比靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，確定其符

號，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

參見習(xí)題10o

14.給定消費(fèi)者消費(fèi)商品x和y的效用函數(shù)U(x,y)=(x+D(y+D,x和y為商品x和y

的消費(fèi)量，Pi和02是商品x和y的價(jià)格，消費(fèi)者的收入為/。

〔1〕求消費(fèi)者的效用極大值和相應(yīng)兩種商品的最優(yōu)消費(fèi)量

〔2〕收入增加一個(gè)單位時(shí)，對消費(fèi)者的的極大效用有何影響

〔3〕求出對比靜態(tài)函數(shù)生，也，工,0二,2,0二，判斷其符號，解釋其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義。

dp^dp2didpidp2di

解：極大化問題為：maxu-(%+l)(y+l)

(1)L=(x+l)(y+l)+；l(/_qx_￡y)，一階條件為

*_/+-+?_1

A-1

4=y+l—環(huán)=0

均衡解為\y=I+P'+P--2,二階條件為

,L,=X+1—丸6=0

2鳥

LA=I-Pix^P2y=0

i*I+Pt+P,

/I=---------------------------

23

01

|H|=Io-P2=2［鳥〉O,均衡解為極大值

Y-P.0

⑵業(yè)=----空值——=/+片+2>0,表示收入每增加一單位，大小用增加

~dl~di_2.8

⑶及_]/+4+￡dx_1dx_1

麗一函2^-'超一函'了一函

dy_1dy_1I+Pt+P2dy_1

函一項(xiàng)，位一西2^-，~cH~2^

15.考慮極大化問題

利用包絡(luò)定理解決以下問題：

[1[求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值在(a,。)=(16,4)處分別關(guān)于a和b的偏導(dǎo)數(shù)。

〔2〕據(jù)〔1〕，估計(jì)當(dāng)人=4、。由16變?yōu)?6.03時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的改變量為多少估

計(jì)新問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值

〔3〕據(jù)〔1〕，估計(jì)當(dāng)a=16、b由4變?yōu)?.98時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的改變量為多少估

計(jì)新問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值

〔4〕據(jù)〔1〕，估計(jì)a由16變?yōu)?6.03、人由4變?yōu)?.98時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的改變量

為多少估計(jì)新問題目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值

解：(1)極大化問題為maxu-x}x2

s.t.x]+4X2=16,

拉格朗日函數(shù)為：L-xtx2+A(16-X1-4x2),

Lv=x2—A=0%,=8

LV、=X1-4丸=0，均衡解為，

L2-16一元]—4%2-0X=2

(2)—(16,4)Aa+—(16,4)AZ?=2x0.03+(-4)x0=0.06,則“*=16.06

dadb

(3)—(16,4)Aa+—(16,4)AZ?=2x0+(-4)x0.02=-0.08,則u=15.92

dadb

(4)—(16,4)Aa+—(16,4)AZ?=2x0.03+(-4)x0.02=-0.02,則u=15.98

16.設(shè)X=(X],X2),效用函數(shù)。(%],%2)=2％2,預(yù)算約束條件為P|XI+2242=加。試求

需求函數(shù)及間接效用函數(shù)。

解：極大化問題為max必(西,x2)=xxx2

s.t.PR+p2x2=m,

*m

x,=----

2P2

4=%一%|=。

?m……、……，，

-Lxx-x1x-A/pL2--0，則需求函.數(shù)為=----，則間接效用函數(shù)為

22Pl

。=根一0內(nèi)-。2工2=0

/m

A—

2Plp2

17.〔1〕商品x和)的邊際效用遞減假設(shè)意味著無差異曲線嚴(yán)格凸嗎

〔2〕無差異曲線的嚴(yán)格凸性意味著商品x和N的邊際效用遞減嗎

解：〔1〕否，當(dāng)效用函數(shù)為嚴(yán)格擬凹時(shí)，無差異曲線凸向遠(yuǎn)點(diǎn)，與邊際效用遞減無關(guān)。

〔2〕否，邊際替代率遞減。

18.有一個(gè)消費(fèi)者，某商品價(jià)格上漲1000元時(shí)，其間接效用減少60個(gè)單位；而貨幣收入增

加1000元時(shí)，其間接效用增加5個(gè)單位，問這個(gè)消費(fèi)者對該商品的消費(fèi)量是多少

由儒dVjdPx-60/1000

解：=-xM解得xM

dV/dM5/1000

故消費(fèi)量為12個(gè)單位。

19.假設(shè)消費(fèi)者消費(fèi)兩種商品修和》2，價(jià)格分別為0,02，效用函數(shù)為：

U(xl,x2)=xfx*(a,b>O,a+b=V),消費(fèi)者的收入為I.

〔1〕求消費(fèi)者的馬歇爾需求函數(shù)(p?,介，/)和X?(p1,p2,/),并驗(yàn)證它是零次齊次函

數(shù)；

〔2〕求間接效用函數(shù)V(p”p2，/);

〔3〕求貨幣的邊際效用。

a

解：極大化問題為maxM(XPX2)=x}x^

*al

X］一

1

Lq=ax/x^-Ap}=0(a+b)P|

*bl

L=如"九2"'一沏2=0,均衡解為＜

xx9—

'(a+h)p2

七九二/一〃然］一〃2%2=°ha-\