概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布

匯報(bào)人：AA2024-01-20概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)向量及其分布目錄隨機(jī)向量基本概念二維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)向量的數(shù)字特征條件分布與獨(dú)立性多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)向量在統(tǒng)計(jì)分析中的應(yīng)用01隨機(jī)向量基本概念Part定義與性質(zhì)定義隨機(jī)向量是指由多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的向量。這些隨機(jī)變量定義在同一個(gè)樣本空間上，取值于不同的實(shí)數(shù)空間。性質(zhì)隨機(jī)向量具有與隨機(jī)變量類似的性質(zhì)，如獨(dú)立性、相關(guān)性等。此外，隨機(jī)向量的分布函數(shù)描述了其取值的概率分布特性。定義聯(lián)合分布函數(shù)用于描述多個(gè)隨機(jī)變量（即隨機(jī)向量）同時(shí)取值的概率分布。對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)，其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示X取值小于等于x且Y取值小于等于y的概率。性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)具有非負(fù)性、單調(diào)不減性、右連續(xù)性等性質(zhì)。此外，通過聯(lián)合分布函數(shù)可以求得隨機(jī)向量的各種概率。應(yīng)用聯(lián)合分布函數(shù)在多維隨機(jī)變量的概率計(jì)算、條件概率和獨(dú)立性判斷等方面有廣泛應(yīng)用。010203聯(lián)合分布函數(shù)定義邊緣分布函數(shù)是指多維隨機(jī)向量中某一分量的概率分布函數(shù)。對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y)，X的邊緣分布函數(shù)FX(x)表示X取值小于等于x的概率，Y的邊緣分布函數(shù)FY(y)表示Y取值小于等于y的概率。性質(zhì)邊緣分布函數(shù)具有與一維隨機(jī)變量分布函數(shù)相同的性質(zhì)，如非負(fù)性、單調(diào)不減性、右連續(xù)性等。此外，邊緣分布函數(shù)可以由聯(lián)合分布函數(shù)求得。應(yīng)用邊緣分布函數(shù)在多維隨機(jī)變量的概率計(jì)算、條件概率和獨(dú)立性判斷等方面有重要應(yīng)用。例如，在判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否獨(dú)立時(shí)，可以通過比較它們的聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的乘積是否相等來進(jìn)行判斷。邊緣分布函數(shù)02二維隨機(jī)變量及其分布Part二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律描述二維離散型隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)的概率。邊緣分布律通過聯(lián)合分布律求得其中一個(gè)隨機(jī)變量的分布律。條件分布律在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布律。聯(lián)合概率密度函數(shù)描述二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布情況，其值表示隨機(jī)變量落在某區(qū)域的概率大小。邊緣概率密度函數(shù)通過聯(lián)合概率密度函數(shù)求得其中一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。條件概率密度函數(shù)在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維均勻分布在某一矩形區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)變量取各點(diǎn)的概率相等。二維正態(tài)分布兩個(gè)隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，且它們之間存在線性關(guān)系。圓形區(qū)域內(nèi)的二維均勻分布在某一圓形區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)變量取各點(diǎn)的概率相等。其他二維連續(xù)型分布如二維指數(shù)分布、二維泊松分布等，這些分布在某些特定問題中有重要應(yīng)用。常見的二維連續(xù)型分布03隨機(jī)向量的數(shù)字特征Part描述隨機(jī)向量取值的“中心位置”或“平均水平”，是隨機(jī)向量各分量概率加權(quán)的平均值。數(shù)學(xué)期望衡量隨機(jī)向量取值的離散程度，即各分量與數(shù)學(xué)期望的偏離程度。方差越大，說明隨機(jī)向量的取值越分散。方差數(shù)學(xué)期望與方差協(xié)方差衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量變化趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量。若兩個(gè)隨機(jī)變量的變化趨勢(shì)一致，則協(xié)方差為正；若變化趨勢(shì)相反，則協(xié)方差為負(fù)；若變化趨勢(shì)無關(guān)，則協(xié)方差為零。相關(guān)系數(shù)將協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化后的統(tǒng)計(jì)量，用于消除量綱影響，更準(zhǔn)確地反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[-1,1]，其中1表示完全正相關(guān)，-1表示完全負(fù)相關(guān)，0表示不相關(guān)。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)VS描述隨機(jī)向量分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，包括一階原點(diǎn)矩（即數(shù)學(xué)期望）和二階中心矩（即方差）。高階矩可以進(jìn)一步描述分布的偏態(tài)和峰態(tài)等特征。協(xié)方差矩陣由隨機(jī)向量的各分量之間的協(xié)方差構(gòu)成的矩陣。協(xié)方差矩陣描述了隨機(jī)向量各分量之間的線性相關(guān)關(guān)系，是多元統(tǒng)計(jì)分析中的重要工具。通過協(xié)方差矩陣可以求解主成分分析、因子分析等問題。矩矩與協(xié)方差矩陣04條件分布與獨(dú)立性Part條件分布律設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)向量，其聯(lián)合分布律為P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…。若P{X=xi}>0，則稱P{Y=yj|X=xi}=pij/P{X=xi}為在X=xi條件下Y的條件分布律。要點(diǎn)一要點(diǎn)二條件密度函數(shù)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y)。若對(duì)于固定的y，fY(y)>0，則稱f(x,y)/fY(y)為Y=y的條件下X的條件概率密度，記為fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)。條件分布律與條件密度函數(shù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)F(x,y)及Fx(x),Fy(y)分別是二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)及關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)。若對(duì)所有的x和y有F(x,y)=Fx(x)Fy(y)，則稱隨機(jī)變量X和Y是獨(dú)立的。定義對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以通過聯(lián)合分布律判斷；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，可以通過聯(lián)合密度函數(shù)判斷。若聯(lián)合分布律或聯(lián)合密度函數(shù)可以分解為兩個(gè)邊緣分布律或邊緣密度函數(shù)的乘積，則隨機(jī)變量相互獨(dú)立。判定方法如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于各自邊緣分布函數(shù)的乘積，即F(x,y)=FX(x)FY(y)，則稱這兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，一個(gè)隨機(jī)變量的取值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值；反之，如果兩個(gè)隨機(jī)變量的取值相互影響，則它們不相互獨(dú)立。定義性質(zhì)兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立05多維隨機(jī)變量及其分布PartSTEP01STEP02STEP03多維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律描述多維離散型隨機(jī)變量中某一維度取值的概率，可通過聯(lián)合分布律求和得到。邊緣分布律條件分布律在多維離散型隨機(jī)變量中，當(dāng)某一維度取值已知時(shí)，其他維度取值的概率分布。描述多維離散型隨機(jī)變量同時(shí)取值的概率，通常通過表格形式表示。聯(lián)合概率密度函數(shù)描述多維連續(xù)型隨機(jī)變量同時(shí)取值的概率密度，具有非負(fù)性和規(guī)范性。邊緣概率密度函數(shù)描述多維連續(xù)型隨機(jī)變量中某一維度取值的概率密度，可通過聯(lián)合概率密度函數(shù)積分得到。條件概率密度函數(shù)在多維連續(xù)型隨機(jī)變量中，當(dāng)某一維度取值已知時(shí)，其他維度取值的條件概率密度。多維連續(xù)型隨機(jī)變量030201常見的多維連續(xù)型分布二維正態(tài)分布若二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)服從二維正態(tài)分布，則其具有圓形或橢圓形的等高線，且各維度之間相互獨(dú)立。多項(xiàng)分布描述多維離散型隨機(jī)變量在多次試驗(yàn)中各維度取值次數(shù)的概率分布，常用于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的分類數(shù)據(jù)分析。Dirichlet分布是多項(xiàng)分布的共軛先驗(yàn)分布，常用于貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)中的參數(shù)估計(jì)和模型選擇。Wishart分布是多元正態(tài)分布的共軛先驗(yàn)分布，常用于多元統(tǒng)計(jì)分析中的協(xié)方差矩陣估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。06隨機(jī)向量在統(tǒng)計(jì)分析中的應(yīng)用Part利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，作為未知參數(shù)的估計(jì)值。常見的點(diǎn)估計(jì)方法有矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法。點(diǎn)估計(jì)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出未知參數(shù)的一個(gè)置信區(qū)間，該區(qū)間以一定的概率包含未知參數(shù)的真值。區(qū)間估計(jì)的精度與樣本量、置信水平和總體分布有關(guān)。區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)問題原假設(shè)與備擇假設(shè)在假設(shè)檢驗(yàn)中，首先需要明確原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)通常是研究者想要推翻的假設(shè)，而備擇假設(shè)則是研究者希望證實(shí)的假設(shè)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域根據(jù)原假設(shè)和備擇假設(shè)，構(gòu)造一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定拒絕域。當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值落在拒絕域內(nèi)時(shí)，我們拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。顯著性水平與第一類錯(cuò)誤顯著性水平是事先設(shè)定的一個(gè)概率值，用于控制第一類錯(cuò)誤（即錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)）的概率。顯著性水平越低，第一類錯(cuò)誤的概率越小，但同時(shí)第二類錯(cuò)誤（即錯(cuò)誤地接受原假設(shè)）的概率可能會(huì)增加。假設(shè)檢驗(yàn)問題多因素方差分析用于研究多個(gè)控制變量對(duì)觀測(cè)變量的影響。通過構(gòu)建包含多個(gè)因素的模型，分析各因素對(duì)觀測(cè)變量的貢獻(xiàn)程度以及因素之間的交