學(xué)案 1.2 命題及充要條件(2011.9.2)

1.若非空集合A,B,C滿足A∪B=C,且B不是A的子集，則“x∈C

”是“x∈A”的()BA.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分條件也不必要條件由A∪B=C，則A?C且B?C，故x∈A,則x∈C．2.已知P:x＋y≠2009；Q：x≠2000且y≠9,則P是Q的___________________條件.解:逆否命題是x＝2000或y＝9?x＋y＝2009不成立，既不充分又不必要做一做信心倍增顯然其逆命題也不成立.【01】設(shè)A={x|x＞4,x<-2},B={x|a≤x<a+3},(1)若A∩B=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若A∩B≠?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;-24作業(yè)講評(píng)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍所以實(shí)數(shù)a的取值范圍【01】設(shè)A={x|x＞4,x<-2},B={x|a≤x<a+3},(3)若A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(4)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)∵A∩B=B,∴B?A.-24-24所以實(shí)數(shù)a的取值范圍所以實(shí)數(shù)a的取值范圍作業(yè)講評(píng)學(xué)案1.2命題、充要條件常用邏輯用語(yǔ)命題及其關(guān)系簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞充分條件必要條件充要條件量詞命題充分條件充要條件必要條件且∧全稱量詞

存在量詞

全稱命題特稱命題或∨p∧qp∨qp?qp?qp?q

p

或

q非四種命題原命題：若p則q逆命題：若q則p否命題：若

p則

q逆命題：若

q則

p互逆互逆互否互否互為逆否等價(jià)關(guān)系四種命題的相互關(guān)系1.命題的概念在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以__________的陳述句叫做命題.其中____________的語(yǔ)句叫真命題，_____________的語(yǔ)句叫假命題.判斷真假判斷為真判斷為假2.四種命題及其關(guān)系(1)四種命題原命題若p則q逆命題若q則p否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p互為逆否同真同假互為逆否同真同假互逆互逆互否互否2.四種命題及其關(guān)系(2)四種命題間的逆否關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題假真真真真真真真真假假假假假假假①兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性.②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.(3)四種命題的真假關(guān)系①p

q,相當(dāng)于P

Q,即從集合角度理解：(1)若p

q,則p是q的充分條件.3.充分條件與必要條件(2)若q

p,則p是q的必要條件.PQP(Q)或②q

p,相當(dāng)于Q

P,即QPP(Q)或(3)若q

p,則p是q的充要條件.③p

q,相當(dāng)于P=Q,即P(Q)4.充分(必要、充要)條件的判別方法①分清條件與結(jié)論②找推式(嘗試用條件推結(jié)論,再嘗試用結(jié)論推條件）③下結(jié)論(指出條件是結(jié)論的什么條件）(1)定義法判斷(2)集合法判斷(利用集合之間的包含關(guān)系)(3)轉(zhuǎn)化法判斷(等價(jià)命題)(4)傳遞法判斷從集合的角度理解，小范圍可以推出大范圍，大范圍不能推出小范圍.(1)定義法：判斷p是q的什么條件，實(shí)際上就是判斷p?q或q?p是否成立，只要把題目中所給條件按邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖，再利用定義即可判斷.①若p?q，則p是q的充分條件；②若q?p，則p是q的必要條件；③若p?q且q?p，則p是q的充要條件；④若p?q且q?p，則p是q的充分不必要條件；⑤若p?q且q?p，則p是q的必要不充分條件；⑥若p?q且q

?

p，則p是q的既不充分也不必要條件.4.充分(必要、充要)條件的判別方法(2)集合法：在對(duì)命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系判斷有困難時(shí)，有時(shí)可以從集合的角度來(lái)考慮，記條件p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則：①若A?B，則p是q的充分條件；②若AB，則p是q的充分非必要條件；③若A?B，則p是q的必要條件；④若AB，則p是q的必要非充分條件；⑤若A=B，則p是q的充要條件；⑥若A?B，且A?B，則p是q的既非充分條件也非必要條件.4.充分(必要、充要)條件的判別方法(3)用命題的等價(jià)性判斷：(“若p，則q”)①原命題為真而逆命題為假，p是q的充分不必要條件；②原命題為假而逆命題為真，則p是q的必要不充分條件；③原命題為真，逆命題為真，則p是q的充要條件；④原命題為假，逆命題為假，則p是q的既不充分也不必要條件.同時(shí)要注意反例法的運(yùn)用.(4)傳遞法判斷4.充分(必要、充要)條件的判別方法【自我檢測(cè)】CAA【自我檢測(cè)】CD①③真D題型三與充要條件有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題解：設(shè)A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝{x|≤x≤1}，

B＝{x|a≤x≤a＋1}.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是從而p是q的充分不必要條件，即

【1】設(shè)命題p:|4x-3|≤1;命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若

p是

q的必要而不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由|4x-3|≤1,得0.5≤x≤1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，得a≤x≤a+1.因?yàn)?/p>

p是

q的必要而不充分條件,所以p是q的充分而不必要條件,解得0≤a≤0.5.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,0.5].題型三求參數(shù)的范圍有關(guān)充要條件的題目在各省市的高考題中出現(xiàn)的比較多，通過(guò)對(duì)考試大綱和高考真題的分析研究，可以發(fā)現(xiàn)高考考題的常見(jiàn)類型為“直接考查條件和結(jié)論之間的充要關(guān)系”另一類題目，考查角度比較獨(dú)特，如(2008·全國(guó)卷Ⅱ)平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：題型一充分條件、必要條件的判斷例1.下列各小題中，p是q的充要條件的是()①p:m<-2或m>6,q:y=x2+mx+m+3有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；②p:,q:y=f(x)是偶函數(shù)；③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;④p:A∩B=A,q:?UB??UAA.①②B.②③C.③④D.①④D充要條件的判斷：（1）分清命題的條件與結(jié)論；（2）常用方法有：定義法,集合法,變換法(命題的等價(jià)變換)等.練一練

【1】a＞b成立的充分不必要的條件是()

A.ac＞bcB.DC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2

【2】已知p:|2x-3|≥1;q:,則

p是

q的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件AA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件B【3】練一練【4】“sinA>sinB”是“A>B”的________________條件.既不充分又不必要充要【5】在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的_____條件.【6】在△ABC中,“B=60°”是“A,B,C成等差數(shù)列”的__________條件.充要例2.求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是m≥2.證明：(1)充分性：因?yàn)閙≥2，所以?＝m2－4≥0，

所以方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)根.設(shè)x2＋mx＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2＝1＞0.所以x1、x2同號(hào).又因?yàn)閤1＋x2＝－m≤－2，

所以x1、x2同為負(fù)根.題型二充要條件的證明證明：(2)必要性:因?yàn)閤2＋mx＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根x1,x2均為負(fù)，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2所以m≥2.綜合(1)(2)知命題得證.例2.求證：關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是m≥2.題型二充要條件的證明(1)充分性：①若xy=0，則有x=0或y=0，或x=0且y=0.此時(shí)顯然|x+y|=|x|+|y|.題型二充要條件的證明

充分性即證：xy≥0?|x+y|=|x|+|y|,必要性即證：|x+y|=|x|+|y|?

xy≥0.②若xy＞0，則x,y同號(hào),當(dāng)x＞0且y＞0時(shí)，|x+y|=x+y=|x|+|y|;當(dāng)x＜0且y＜0時(shí)，|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|.綜上所述，由xy≥0可知|x+y|=|x|+|y|.設(shè)x,y∈R,求證：|x+y|=|x|+|y|的充要條件是xy≥0.設(shè)x,y∈R,求證：|x+y|=|x|+|y|的充要條件是xy≥0.(2)必要性：因?yàn)閨x+y|=|x|+|y|，且x,y∈R，所以(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2,可得xy=|xy|，可得xy≥0.故|x+y|=|x|+|y|可知xy≥0.

綜合(1)(2)知命題成立.充要條件的證明問(wèn)題，要分清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，由“條件”“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論”“條件”是證明命題的必要性.題型二充要條件的證明解得0<a≤1.

2.求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件.解:(1)a=0適合.

(2)a≠0時(shí)，顯然方程沒(méi)有零根.①若方程有兩異號(hào)實(shí)根，則a<0；②若方程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則因此，關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一負(fù)的實(shí)根的充要條件是a≤1.綜上知，若方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a≤1.反之，若a≤1,則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，題型三與充要條件有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題解：設(shè)A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝{x|≤x≤1}，

B＝{x|a≤x≤a＋1}.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是從而p是q的充分不必要條件，即

【1】設(shè)命題p:|4x-3|≤1;命題q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若

p是

q的必要而不充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由|4x-3|≤1,得0.5≤x≤1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，得a≤x≤a+1.因?yàn)?/p>

p是

q的必要而不充分條件,所以p是q的充分而不必要條件,解得0≤a≤0.5.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,0.5].題型三求參數(shù)的范圍例1．函數(shù)f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限的一個(gè)充分但不必要條件是(

)【解析】∵f

'(x)＝a(x＋2)(x－1)，∴函數(shù)f(x)在x＝－2和x＝1處取得極值，如圖所示.B函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限的充要條件是f(－2)·f(1)<0，解之得，在四個(gè)選項(xiàng)中只有題型四綜合題型點(diǎn)擊進(jìn)入B

練一練題型四綜合題型1.命題的定義用語(yǔ)言、符號(hào)、或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.2.命題的條件和結(jié)論命題具有“若p,則q”的形式.其中p叫命題的條件;則q叫命題的結(jié)論.原命題為:若p則q,則它的：逆命題為:若q則p(交換原命題的條件和結(jié)論).否命題為:若┐p則┐q

(同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論).逆否命題:若┐q則┐p

(即交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時(shí)否定).復(fù)習(xí)回顧3.四種命題的定義例1.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假：題型一四種命題的相互關(guān)系（1）若A∪B=U，則A=?UB.逆命題否命題逆否命題若A=?UB,則A∪B=U若A∪B≠U,則A≠?UB若A≠?UB,則A∪B≠U真命題真命題假命題寫成“若p，則q”的形式寫出逆命題、否命題、逆否命題判斷真假思維啟迪(2)若x+y=5,則x=3且y=2.逆命題：若x=3且y=2，則x+y=5,真命題.否命題：若x+y≠5，則x≠3或y≠2，真命題.逆否命題：若x≠3或y≠2，則x+y≠5,假命題.題型一四種命題的相互關(guān)系例1.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假：判斷：若x+y≠5，則x≠3或y≠2.【1】若命題p的逆命題是