【復習】第05講 三角函數(shù)（原卷版）-【寒假銜接講義】高一數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）

第第頁第05講三角函數(shù)【學習目標】1、任意角的概念，象限角的表示并能靈活運用弧長公式、扇形面積公式解決問題.2、誘導公式的推導、記憶及符號的判斷。3、掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4、體會其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進行簡單的應(yīng)用．5、對周期變換、相位變換順序不同，圖象平移量也不同的理解．【考點目錄】考點一：任意角和弧度制考點二：三角函數(shù)的概念考點三：誘導公式考點四：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考點五：三角恒等變換考點六：伸縮變換考點七：三角函數(shù)的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】知識點一：任意角的概念1、角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角．負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角．零角：如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角．2、終邊相同的角、象限角終邊相同的角為角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合．那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．知識點二：弧度制1、弧度制的定義長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．知識點三：三角函數(shù)定義設(shè)是一個任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識點四：三角函數(shù)在各象限的符號三角函數(shù)在各象限的符號：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號時，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識點五：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識點六：誘導公式誘導公式一：，，，其中誘導公式二：，，，其中誘導公式三：，，，其中誘導公式四：，．，，其中知識點七：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點；最小值點對稱中心對稱軸知識點八：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點最小值點對稱中心對稱軸知識點九：正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當且無限接近于時，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當，無限減小，記作（趨向于負無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增知識點十：三角恒等變換公式1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）和角公式（），（），（）．（2）差角公式（），（），（）．2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（），（），（）3、降冪公式，，．4、半角公式，，．其中，符號由所在象限決定．5、輔助角公式，其中，．叫做輔助角，的終邊過點．知識點十一：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）．若則可用誘導公式將符號“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑【考點剖析】考點一：任意角和弧度制例1．扇形的弧長為12，面積為24，則圓心角的弧度數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例2．下列與的終邊相同的角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．例3．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點二：三角函數(shù)的概念例4．已知，則的值為（

）A． B． C． D．例5．已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．例6．若，，則的值為（

）A． B．－ C． D．考點三：誘導公式例7．（1）計算：；（2）已知，求的值.例8．已知為第三象限角，且．(1)化簡；(2)若，求的值．例9．已知為第二象限角，．(1)求的值；(2)若，求的值．考點四：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例10．（多選題）關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在上單調(diào)遞減例11．某同學用“五點法”作函數(shù)（，，）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，見下表：000(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫出函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的最小正周期和在上的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.例12．設(shè).(1)若函數(shù)的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)當時，函數(shù)正零點由小到大依次為x1，x2，x3，…，若，求ω的值.考點五：三角恒等變換例13．已知.(1)求的值(2)求的值.例14．設(shè)函數(shù)(1)求的最小正周期及其圖像的對稱中心；(2)若且，求的值.例15．已知，(1)求和的值(2)若，，求的大?。键c六：伸縮變換例16．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增例17．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位例18．函數(shù)（其中，）的圖像如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度考點七：三角函數(shù)的應(yīng)用例19．如圖所示半徑為4m的水輪其圓心O距離水面2m．已知水輪自點A開始沿逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，1min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點P(起始點為A)到水面距離y（m）與時間x（s）滿足函數(shù)關(guān)系，則有（

）A．， B．，C．， D．，例20．從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如下圖所示（均為正弦型曲線）：體力、情緒、智力在從出生之日起的每個周期中又存在著高潮期（前半個周期）和低潮期（后半個周期）．它們在一個周期內(nèi)的表現(xiàn)如下表所示：高潮期低潮期體力體力充沛疲倦乏力情緒心情愉快心情煩躁智力思維敏捷反應(yīng)遲鈍如果從同學甲出生到今日的天數(shù)為，那么今日同學甲（

）A．體力充沛，心情煩躁，思維敏捷 B．體力充沛，心情愉快，思維敏捷C．疲倦乏力，心情愉快，思維敏捷 D．疲倦乏力，心情愉快，反應(yīng)遲鈍例21．水車（如圖1）是一種圓形灌溉工具，它是古代中國勞動人民充分利用水力發(fā)展出來的一種運轉(zhuǎn)機械．根據(jù)文獻記載，水車大約出現(xiàn)于東漢時期．水車作為中國農(nóng)耕文化的重要組成部分，體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力，為水利研究史提供了見證．圖2是一個水車的示意圖，它的半徑為2m，其中心（即圓心）O距水面1m．如果水車每60s逆時針轉(zhuǎn)1圈，在水車輪邊緣上取一點P，我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動時，P點距水面的高度h（單位：m）是一個變量，它是關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)．為了方便，不妨從P點位于水車與水面交點Q時開始計時（），則我們可以建立函數(shù)關(guān)系式（其中，，）來反映h隨t變化的周期規(guī)律．下面說法中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為40B．C．當時，水車P點離水面最高D．當時，水車P點距水面2m【真題演練】1．已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度

4．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．5．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．36．若，則（

）A． B．C． D．7．記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．8．若，則__________，_________．【過關(guān)檢測】一、單選題1．800°是以下哪個象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函數(shù)的圖象的相鄰兩個零點的距離為，，則（

）A． B．C． D．3．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值是（

）A． B． C． D．4．已知角的終邊經(jīng)過點，且，則m等于（

）A．－3 B．3 C． D．5．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若角的終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．7．下列不等關(guān)系成立的是（

）A． B．C． D．8．函數(shù)的圖象在[0，2]上恰有兩個最大值點，則ω的取值范圍為（

）A．[π，2π） B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．終邊相同的角相等B．扇形的圓心角為，周長為8，則扇形面積為4C．若，則為第一或第二象限角D．10．關(guān)于函數(shù)有如下四個命題，其中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于y軸對稱 B．的圖象關(guān)于原點對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點(π，0)對稱11．已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．12．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到的圖象，則（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．是函數(shù)的一個零點C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱三、填空題13．__________.14．若，則__________.15．將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平個單位長度得到的圖象，則________．16．已知函數(shù)，當時函數(shù)能取得最小值，當時函數(shù)能取得最大值，且在區(qū)間上單調(diào)，則當取最大值時的值為__________.四、解答題17．已知函數(shù)的最小正周期．(1)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心；(2)求函數(shù)在