(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義+鞏固練習8.3《圓的方程》(原卷版)

§8.3圓的方程考試要求1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題．知識梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓方程標準(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點與圓的位置關系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2之間存在著下列關系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內，即(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2<r2?M在圓內．常用結論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x﹣x1)(x﹣x2)＋(y﹣y1)(y﹣y2)＝0.2．圓心在過切點且與切線垂直的直線上．3．圓心在任一弦的垂直平分線上．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)圓x2＋y2＝a2的半徑為a.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2﹣4AF>0.()(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.()教材改編題1．圓x2＋y2﹣4x＋6y＝0的圓心坐標和半徑分別是()A．(2,3)，3 B．(﹣2,3)，eq\r(3)C．(﹣2，﹣3)，13 D．(2，﹣3)，eq\r(13)2．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝23．若坐標原點在圓(x﹣m)2＋(y＋m)2＝4的內部，則實數(shù)m的取值范圍為________．題型一圓的方程例1(1)已知圓M與直線3x﹣4y＝0及3x﹣4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝﹣x﹣4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x﹣3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1(2)已知圓的圓心在直線x﹣2y﹣3＝0上，且過點A(2，﹣3)，B(﹣2，﹣5)，則圓的一般方程為________________．教師備選1．已知圓E經過三點A(0,1)，B(2,0)，C(0，﹣1)，則圓E的標準方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)2．在平面直角坐標系Oxy中，以點(0,1)為圓心且與直線x﹣by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為()A．x2＋(y﹣1)2＝4 B．x2＋(y﹣1)2＝2C．x2＋(y﹣1)2＝8 D．x2＋(y﹣1)2＝16思維升華(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．跟蹤訓練1(1)圓心在y軸上，半徑長為1，且過點A(1,2)的圓的方程是()A．x2＋(y﹣2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x﹣1)2＋(y﹣3)2＝1 D．x2＋(y﹣3)2＝4(2)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是()A．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1C．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1 D．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1題型二與圓有關的軌跡問題例2已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(﹣1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．教師備選已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．思維升華求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質列方程．(4)相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式．跟蹤訓練2(1)當點P在圓x2＋y2＝1上運動時，連接它與定點Q(3,0)，則線段PQ的中點M的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝1 B．(x﹣3)2＋y2＝1C．(2x﹣3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1(2)自圓C：(x﹣3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為()A．8x﹣6y﹣21＝0 B．8x＋6y﹣21＝0C．6x＋8y﹣21＝0 D．6x﹣8y﹣21＝0題型三與圓有關的最值問題命題點1利用幾何性質求最值例3已知M(x，y)為圓C：x2＋y2﹣4x﹣14y＋45＝0上任意一點，且點Q(﹣2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y﹣x的最大值和最小值．命題點2利用函數(shù)求最值例4設點P(x，y)是圓x2＋(y﹣3)2＝1上的動點，定點A(2,0)，B(﹣2,0)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．延伸探究若將本題改為“設點P(x，y)是圓(x﹣3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0,2)，B(0，﹣2)”，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．教師備選1．已知圓C：(x﹣3)2＋(y﹣4)2＝1和兩點A(﹣m，0)，B(m，0)(m>0)．若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7B．6C．5D．42．若點P為圓x2＋y2＝1上的一個動點，A(﹣1,0)，B(1,0)為兩個定點，則|PA|＋|PB|的最大值為()A．2B．2eq\r(2)C．4eq\r(2)D．4思維升華與圓有關的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x﹣a)2＋(y﹣b)2形式的最值問題．(2)建立函數(shù)關系式求最值：列出關于所求目標式子的函數(shù)關系式，然后根據(jù)關系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值問題的基本思路：①“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．跟蹤訓練3(1)已知A(﹣2,0)，B(2,0)，點P是圓C：(x﹣3)2＋(y﹣eq\r(7))2＝1上的動點，則|AP|2＋|BP|2的最小值為()A．9B．14C．16D．26(2)已知x，y滿足x2＋y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，則eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值為()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)課時精練1．圓x2＋y2＋4x﹣6y﹣3＝0的圓心坐標和半徑分別為()A．(4，﹣6)，16 B．(2，﹣3)，4C．(﹣2,3)，4 D．(2，﹣3)，162．圓(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝1關于直線y＝x對稱的圓的方程為()A．(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y﹣2)2＝1C．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝1 D．(x﹣1)2＋(y＋2)2＝13．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A．x2＋y2﹣2x﹣3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x﹣3＝0 D．x2＋y2﹣4x＝04．點P(4，﹣2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是()A．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x﹣2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y﹣2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y﹣1)2＝15．(多選)已知△ABC的三個頂點為A(﹣1,2)，B(2,1)，C(3,4)，則下列關于△ABC的外接圓圓M的說法正確的是()A．圓M的圓心坐標為(1,3)B．圓M的半徑為eq\r(5)C．圓M關于直線x＋y＝0對稱D．點(2,3)在圓M內6．(多選)設有一組圓Ck：(x﹣k)2＋(y﹣k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是()A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上B．所有圓Ck均不經過點(3,0)C．經過點(2,2)的圓Ck有且只有一個D．所有圓的面積均為4π7．已知圓C的圓心在x軸上，并且經過點A(﹣1,1)，B(1,3)，若M(m，eq\r(6))在圓C內，則m的取值范圍為________．8．已知A(0,2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2﹣4x﹣2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．9．已知圓心為C的圓經過點A(﹣1,1)和B(﹣2，﹣2)，且圓心在直線l：x＋y﹣1＝0上．(1)求圓心為C的圓的標準方程；(2)設點P在圓C上，點Q在直線x﹣y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．10．已知點A(﹣3,0)，B(3,0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.(1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；(2)若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值．11．點A為圓(x﹣1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，|PA|＝1，則點P的軌跡方程是()A．(x﹣1)2＋y2＝4 B．(x﹣1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝﹣2x12．等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，且△ABC的內心為M，若平面內的點N滿足|MN|＝1，則eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值為()A．﹣5﹣2eq\r(3) B．﹣5﹣4eq\r(3)C．﹣6﹣2eq\r(3) D．﹣6﹣4eq\r(3)13．(多選)已知圓C過點M(1，﹣2)且與兩坐標軸均相切，則下列敘述正確的是()A．滿足條件的圓C的圓心在一條直線上B．滿足條件的圓C有且只有一個C．點(2，﹣1)在滿足條件的圓C上D．滿足條件的圓C有且只有兩個，它們的圓心距為4eq\r(2)14．已知長為2a(a＞0)的線段AB的兩個端點A和B分別在