(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)3.8《隱零點與極值點偏移問題培優(yōu)課》(原卷版)

第第頁§3.8隱零點與極值點偏移問題題型一隱零點問題導(dǎo)函數(shù)的零點在很多時候是無法直接解出來的，我們稱之為“隱零點”，即能確定其存在，但又無法用顯性的代數(shù)進行表達．這類問題的解題思路是對函數(shù)的零點設(shè)而不求，通過整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件解決問題．例1已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax(a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明不等式ex﹣2﹣ax>f(x)恒成立．思維升華零點問題求解三步曲(1)用函數(shù)零點存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，列出零點方程f′(x0)＝0，并結(jié)合f′(x)的單調(diào)性得到零點的取值范圍．(2)以零點為分界點，說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負，進而得到f(x)的最值表達式．(3)將零點方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進行化簡證明，有時(1)中的零點范圍還可以適當(dāng)縮?。櫽?xùn)練1已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)x2＋lnx﹣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,a)))x(a≠0)．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時，求函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)令F(x)＝af(x)﹣x2，若F(x)<1﹣2ax在x∈(1，＋∞)上恒成立，求整數(shù)a的最大值eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：ln3<\f(4,3)，ln4>\f(5,4))).題型二極值點偏移問題極值點偏移是指函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量色．例2(12分)已知函數(shù)f(x)＝x(1﹣lnx)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna﹣alnb＝a﹣b，證明：2<eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<e.思維升華極值點偏移問題的解法(1)(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論x1＋x2>(<)2x0型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)﹣f(2x0﹣x)；對結(jié)論x1x2>(<)xeq\o\al(2,0)型，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)﹣f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換t＝eq\f(x1,x2)化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝aex﹣x，a∈R.若f(x)有兩個不同的零點x1，x2.證明：x1＋x2>2.課時精練1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)＋eq\f(1,x)＋1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求實數(shù)a的取值范圍．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,a)﹣2lnx(a∈R，a≠0)．(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1<x2)，且a＝4，證明：x1＋x2>4.3．已知函數(shù)f(x)＝aex﹣2x，a∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝1時，求證：f(x)＋x2﹣eq\f(21,8)x＋1>0.4．已知函數(shù)f(x)＝xlnx﹣eq\f(1,2)mx2﹣x，m∈R.(1)若g(x)＝f′