工程數(shù)學(xué)課件

1第二章矩陣分析基礎(chǔ)

第一節(jié)線性空間

第二節(jié)賦范線性空間

第三節(jié)內(nèi)積空間

第四節(jié)矩陣代數(shù)基礎(chǔ)

第五節(jié)矩陣的三角分解

第六節(jié)矩陣的正交分解

第七節(jié)矩陣的奇異值分解2第一節(jié)線性空間

一、線性空間的定義

二、線性空間的性質(zhì)

三、線性空間的基與維數(shù)

四、元素在給定基下的坐標(biāo)

五、線性空間的同構(gòu)

六、基變換公式與過(guò)渡矩陣

七、坐標(biāo)變換公式

八、線性空間的子空間3一、線性空間的定義456

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．

線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作線性空間，進(jìn)而通過(guò)研究線性空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．7定義

設(shè)是一個(gè)非空集合，為數(shù)域．如果(1)對(duì)于任意兩個(gè)元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記作(2)對(duì)于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的積，記作如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域上的線性空間．89

2．線性空間中的元素不一定是有序數(shù)組．

3．判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說(shuō)明

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算．10

（１）一個(gè)集合，如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．例１

實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法11

通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律．1213例４

正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．14是一個(gè)線性空間.例５

在區(qū)間上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．15例６

正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線性空間．

（２）一個(gè)集合，如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．證明所以對(duì)定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉．16下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：17所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．18不構(gòu)成線性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７

個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體19(1)零元素是唯一的．二、線性空間的性質(zhì)(2)負(fù)元素是唯一的．(4)如果，則或

.20三、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無(wú)關(guān)的向量組最多由個(gè)向量組成，而任意個(gè)向量都是線性相關(guān)的．

問(wèn)題：線性空間的一個(gè)重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量？21

22數(shù)值分析2324定義

在線性空間中，如果存在個(gè)元素滿足：25

當(dāng)一個(gè)線性空間中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量時(shí)，就稱是無(wú)限維的．26定義四、元素在給定基下的坐標(biāo)272829注意

線性空間的任一元素在不同的基下所對(duì)的坐標(biāo)一般不同，一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．30例２

所有二階實(shí)矩陣組成的集合，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間．對(duì)于中的矩陣313233五、線性空間的同構(gòu)3435定義

設(shè)是兩個(gè)線性空間，如果它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，那末就稱線性空間與同構(gòu).36例如與維數(shù)組向量空間同構(gòu).形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；37則有３．同維數(shù)的線性空間必同構(gòu)．

２．同構(gòu)的線性空間之間具有反身性、對(duì)稱性與傳遞性．結(jié)論１．?dāng)?shù)域上任意兩個(gè)維線性空間都同構(gòu)．38同構(gòu)的意義

在線性空間的抽象討論中，無(wú)論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運(yùn)算是如何定義的，我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)．從這個(gè)意義上可以說(shuō)，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)．39六、基變換公式與過(guò)渡矩陣

那么，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？換句話說(shuō)，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？

問(wèn)題：在維線性空間中，任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以作為的一組基．對(duì)于不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的．40稱此公式為基變換公式．41基變換公式矩陣稱為由基到基的過(guò)渡矩陣．過(guò)渡矩陣是可逆的．42若兩個(gè)基滿足關(guān)系式七、坐標(biāo)變換公式則有坐標(biāo)變換公式或43證明4445數(shù)值分析464748數(shù)值分析八、線性空間的子空間定義

設(shè)是一個(gè)線性空間，是的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱為的子空間．定理

線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對(duì)于中的線性運(yùn)算封閉．49解(1)不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)例

有