小學六年級上冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第12課《棋盤中的數(shù)學3》試題附答案

小學六年級上冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第12課《棋盤中的數(shù)學3》試題附答案

第十二講棋盤中的數(shù)學（三）

——棋盤對弈的數(shù)學問題

我們看這樣一個比輸贏的問題.

例1在8X8的棋盤格中的某個格子里已放入一枚棋子“王”（如右圖），

甲、乙兩人輪流移動“王”子，每次只能橫向或豎向移動一格.凡“王''子己

經(jīng)占據(jù)過的格都不得再進入.誰先遇到無法移動“王”子時，誰就算輸方.試

證明，先走者存在必勝的策略.

例2下圖是一盤未下完的中國象棋殘局，各子走法必須按中國象棋的規(guī)則

辦事，將對方憋死或無怯走子時算取得勝利.如果輪到乙方走，問乙怎樣走法

才能取勝？

乙方

例4在8X8的國際象棋盤中（如下頁圖）有三枚棋子，兩個人輪流移動棋

子，每一次可將一枚棋子移動任意多格（允許兩枚或三枚棋子在同一格），但

只能按箭頭所表示的方向移動.在所有棋子都移到A點時，游戲結(jié)束，并且走

最后一步的算贏，問哪一個人能夠獲勝？

答案

第十二講棋盤中的數(shù)學（三）

一—棋盤對弈的數(shù)學問題

我們看這樣一個比輸贏的問題.

例1在8義8的棋盤格中的某個格子里已放入一枚棋子“王”（如右圖），

甲、乙兩人輪流移動"王'’子，每次只能橫向或豎向移動一格.凡“王'’子己

經(jīng)占據(jù)過的格都不得再進入.誰先遇到無法移動“王”子時，誰就算輸方.試

證明，先走者存在必勝的策略.

分析“王''子己占一個格，還剩下8X8-1=63個格，比如甲先走一個

格，還剩下62個格.若能將62個格分成31對，每對都是相鄰的兩小格，這時該

乙走，乙領(lǐng)先進入一格，甲就隨之進入與其配對的格，這樣就造成了甲必取勝

的態(tài)勢.因此，將64個格兩兩配對成為32個IX2的小矩形是解決本題的關(guān)鍵.

證明：設(shè)甲為先走的一方，在甲的心目中如上圖將64個方格兩兩配對分成

32個1X2的小矩形，“王”子必在某個IX2的小矩形的一個格子中.甲先走，

將“王”子走入這個IX2的小矩形的另一個格子中.這時還有31個1X2的小矩

形，每個小矩形中都有兩個小方格.這時該乙走，乙總是領(lǐng)先進入某個IX2小

矩形的第一個格，甲就可以隨之進入這個小矩形的第二個格.由于不能重復進

入“王”已經(jīng)進過的格子，所以乙總處于領(lǐng)先進入新的小矩形的第一格的地

位，甲就總可隨之進入這個小矩形的第二個格.最后必然乙先無法移動“王”

子，乙輸.甲必取勝.

例2下圖是一盤未下完的中國象棋殘局，各子走法必須按中國象棋的規(guī)則

辦事，將對方憋死或無法走子時算取得勝利.如果輪到乙方走，問乙怎樣走法

才能取勝？

分析在上圖中，雙方的將（帥）均無法移動，雙方的士（仕）也無法移

動，底炮也不能在橫線上移動（否則對方可將炮沉底打悶將）.底線兵（卒）

只能橫向移動.誰先移動底線兵（卒）打?qū)?，會造成對方將（帥）移出，從?/p>

出現(xiàn)移兵（卒）方自己必輸?shù)膽B(tài)勢.因而只有底炮、中炮和邊卒（兵）可以在

縱線上移動，兵（卒）只能前移1步，中炮只能前移4步，底炮只能前移8步.

現(xiàn)在的問題是：乙先走，輪流走完這三對子的13步，問乙怎樣走才能取勝？

解：我們把乙的獲勝策略及甲的各種走法列表于下（其中，“甲1,乙1”

分別表示，“甲第一步走棋''與"乙第二步走棋”，其余類同；“中炮2,相

炮3,卒1”分別表示“中路炮進2步”,“相位炮進3步”和“卒進1步其

余類同；“結(jié)果”欄表明乙1,甲1,乙1之后的態(tài)勢，其中的“距”以步為單

位）：

乙1相炮3

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨?

Mi卒1相相中炮2相炮3中炮1相炮4中炮4相炮5中

炮1炮2炮3

乙2相兵1中相炮2中炮1相炮3中炮4相炮4中炮3相

煙1炮2炮5

結(jié)兵卒距01111

果中炮距42301

相炮距43210

其中，情形⑦??顯然為乙勝.情形①，②中，如甲2進炮幾步，則乙3就

將另一路炮進同樣步數(shù)，…，這樣，終將乙勝.情形③，④與⑤，⑥是類似

的.以③為例，甲的各種走法及乙的策略見下表：

甲2卒1相炮1相炮2中炮2相炮3中炮1

乙3相炮1兵］中炮2相炮2中炮1相炮3

結(jié)兵卒距011

果中炮距201

相炮距210

顯然，各種情形中也是乙勝.

注意，若甲某次退炮幾步，則乙接著將同一路炮進相同步數(shù)（這樣，這兩

只炮之間的間隔沒有改變）.

說明：本題的深刻道理和規(guī)律在于自然數(shù)的二進制表示，將1步，4步，8

步分別用二進制表示為1,100,1000.

當乙從8步中走了3步后，變?yōu)檫€有5步即1,100,101.

我們把這三個數(shù)寫成豎式

1

100

101

容易看出每一個數(shù)位上的數(shù)字之和都是偶數(shù).（這里均勿進位）.無論甲

/羊走，所走的那一行的步數(shù)（用二進制表示）至少有一個數(shù)位上的數(shù)字發(fā)生

r變化，從而破壞了上面的規(guī)律，即不是每一個數(shù)位上的數(shù)字之和都是偶數(shù)

r,比如說，甲在中路炮進一步，三路的步數(shù)變?yōu)椋?/p>

1

11

101

這時三個數(shù)位上的數(shù)字之和1+1+1,1+0,1都不是偶數(shù).

乙再接著走，他的辦法是恢復上面的規(guī)律.這是能辦到的.首先，他看一

下數(shù)字和不是偶數(shù)的最高數(shù)位，三路步數(shù)二進制表示中至少有一路在這數(shù)位上

的數(shù)字是1,然后，他就在這一路上走若干步，使得上述數(shù)位上的數(shù)字和為0,

而較低數(shù)位上的數(shù)字為1或0以保證這些數(shù)位上的數(shù)字之和為偶數(shù)，其它數(shù)位上

的數(shù)字不變.比如，對于上面的情形，乙應(yīng)當在“相”位炮所在的路線上走3

步，將三路步數(shù)變?yōu)椋?/p>

1

11

10

這樣繼續(xù)下去，步數(shù)逐漸減少，必有結(jié)束的時候，由于甲走后，不是每個

數(shù)位上的數(shù)字之和都是偶數(shù)，所以甲不可能走到最后一步.走最后一步的是

乙，所以乙必然取勝.

例4在8X8的國際象棋盤中(如下貝圖)有三枚棋子，兩個人輪流移動棋

子，每一次可將一枚棋子移動任意多格(允許兩枚或三枚棋子在同一格)，但

只能按箭頭所表示的方向移動.在所有棋子都移到A點時，游戲結(jié)束，并且走

最后一步的算贏，問哪一個人能夠獲勝？

O

O

O

A

解：由三枚棋子到A的格數(shù)分別要走59步，50步和30步，這樣就與例2在三

條路線上走步本質(zhì)上一樣的，我們不妨把59,50,30這三個數(shù)寫成2進制.

59=(111011)2,50=(110010)2,30=(11110)2

排在一起：

111011

110010

11110

第一個人應(yīng)當將第一行的111011改為101100,也就是減少1111,這樣就使各

個數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù).這時無論第二個人如何走都將破壞這個特性，第一

個人接著可以采取使各個數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)的方法，穩(wěn)步地走向勝利.

這就是說，第一個人應(yīng)當將最外面的棋子移動15步(即(1111)2=1X2'

+1X22+1X2+1=15),即可按例2的規(guī)則穩(wěn)步取勝.

習題十二

1.如下頁圖是一個3X101的棋盤，甲每次可走一個黑子，乙每次可走一

個白子.每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移動，走步數(shù)不限，但不能越

過對方棋子，誰不能走子誰算輸.若甲先走，請指出甲必取勝的著法.

2.對8X8的棋盤，討論“皇后登山”問題.

3.在普通圍棋盤上（共18X18=324個格）討論“皇后登山”游戲.

4.圖a是一個彩色激光棋盤，上面有紅（打X）黃（空白格），藍（斜線

格）三種顏色的方格.游戲人可以隨意地通過按電鈕將某一行或某一列的小方

格同時改變顏色，紅變黃，黃變藍，藍變紅，如果按不多于10次電鈕將圖a變?yōu)?/p>

圖b,便可得獎.問游戲人能否得獎？

X7X力力XX夕力X

夕X力X夕力力

XXXX不多于次夕XXX

XX7/X7/X

變?yōu)?/p>

XXX力X%X

XXXXX力

力XX力力X力X7/

b

5.由甲在2X19的棋盤格上任放兩個皇后Q1與Q2（如圖）于兩行中，然后

乙開始先走棋：如果走一個皇后，則可把任一皇后向右（向E方向）走任意多

少格；如果同時走兩個皇后，則必須向右同時走相同的格數(shù)，不得不走棋，也

不可倒走；這樣輪流走棋，誰使得另一方無棋可走時即獲勝，試討論乙取勝的

策略.

Qi

Q2

六年級奧數(shù)上冊:第十二講棋盤中的數(shù)學（三）習題

習題十二

1.如下頁圖是一個3X101的棋盤，甲每次可走一個黑子，乙每次可走一

個白子.每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移動，走步數(shù)不限，但不能越

過對方棋子，誰不能走子誰算輸.若甲先走，請指出甲必取勝的著法.

2.對8X8的棋盤，討論“皇后登山”問題.

3.在普通圍棋盤上（共18X18=324個格）討論“皇后登山”游戲.

4.圖a是一個彩色激光棋盤，上面有紅（打X）黃（空白格），藍（斜線

格）三種顏色的方格.游戲人可以隨意地通過按電鈕將某一行或某一列的小方

格同時改變顏色