小學四年級下冊數(shù)學《奧數(shù)》知識點講解第15課 數(shù)學競賽試題選講 試題附答案

小學四年級下冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第15課《數(shù)學競賽試題選講》試題附答案

第十五講數(shù)學競賽試題選講

例1計算：1+2+22+23+-+29+210

分析這是首項系數(shù)是2的等比數(shù)列求和問題，可采用“錯位相減法”求解.

例2計算：1X0.5+3X（0.5）2+5X（0.5）3+?X（0.5）4+-+17X（0.5）

9+19X（0.5）10

例3計算：11X12X13+12X13X14+13X14X15+-+100X101X102

例4規(guī)定a*b=ab（其中a、b都是自然數(shù)），分別計算（5*3）*2和5*

（3*2）.

例5互為反序①的兩個自然數(shù)之積是92565,求這兩個互為反序的自然數(shù).

例6用1、2、3、4這四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)艱，

如果a盧4,b盧3,c#2且d卉1,那么滿足上述條件的四位數(shù)一共有多少個？

例7一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階，最多可以

邁三級臺階.從地面上到最上面一級臺階，共有多少種不同的邁法？

答案

第十五講數(shù)學競賽試題選講

例1計算：1+2+22+23+-+29+210

分析這是首項系數(shù)是2的等比數(shù)列求和問題，可采用“錯位相減法”求解.

解：設S=l+2+22+23+…+29+21°（1）

用2乘以上式的兩邊可得

2S=2+22+23+-=210+211（2）

用（2）式減去（1）式的兩邊，得

S=（2+22+23+…+210+211）-（1+2+22+23+-+29+210）

=211-1

=2048-1

=2047.

例2計算：1XQ.5+3X（0.5）2+5X（0.5）3+7X（0.5）4+…+17X（0.5）

9+19X（0.5）10

分析這個和式中的每一項都是兩個數(shù)的乘積，把各乘積的前一個數(shù)依次排在

一起構成一個公差為2的等差數(shù)列，把各乘積的后一個數(shù)依次排在一起構成一個

公比是0.5的等比數(shù)列，這種數(shù)列通常稱為混合數(shù)列，它的求和方法也采用“錯

位相減法”.

解：設5=1X0.5+3X（0.5）2+5X（0.5）3+…+17X（0.5）9+19X（0.5）10（1）

用2乘以上式的兩邊可得

2S=1+3X0.5+5X（0.5）2+7X（0.5）3+-+17X（0.5）S+19X（0.5）9

（2）

用（2）式減去（1）式的兩邊，得

S=l+2X0.5+2X（0.5）2+2X（0.5尸+…+2X（0.5）S+2X（0.5）9-19X（0.5）10

=1+1+0.5+（0.5）2+…+（o.5）7+（0.5）S-19X（0.5）

再設A=l+0.5+再5）斗??+（0.5）7+（0.5）8⑶

用2乘以（3）式的兩邊可得：

2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4）

用（4）式減去（3）式兩邊，得

A=2-（0.5）^2-0.00390625=1.99609375

于是，有：

5=1+1.99609375-19X（0.5）10

=2.99609375-19XQ.0009765625

=2.99609375-0.0185546875

=2.9775390625.

例3計算：11X12X13+12X13X14+13X14X15+-+100X101X102

解：利用裂項法，有

11X12X13=（11X12X13X14-10X11X12X13）+4,

12X13X14=（12X13X14X15-11X12X13X14）-4,

13X14X15=（13X14X15X16-12X13X14X15）+4,

100X101X102

=（100X101X102X103-99X100X101X102）+4,

把這90個等式相加，得

原式=（100X101X102X1Q3-10X11X12X13）+4

=25X101X102X103-10X11X3X13

=26527650-4290

=26523360.

例4規(guī)定a*b=ab（其中a、b都是自然數(shù)），分別計算（5*3）*2和5*

（3*2）.

解：由5*3=53=125

125*2=125—15625,

即有

（5*3）*2=15625

又由

3*2=3、9,

5*9=59=1953125

即有

5*（3*2）=1953125.

說明：規(guī)定新的代數(shù)運算是一類以近世代數(shù)為基礎的新題型，近年來多次

出現(xiàn)于國內外的數(shù)學競賽題中.解這類問題的關鍵在于牢記新運算的定義，在

計算時嚴格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值，遇到括號要優(yōu)先運算.

值得注意的是，有些規(guī)定的新運算未必滿足交換律或結合律.譬如，本例

實質上是乘方運算，由計算結果可知

（5*3）*2盧5*（3*2）

這就是說，本例規(guī)定的運算不滿足結合律.又如，運算”^=3乂&?-2就

不滿足交換律，事實上

lZ\2=lX3-2+2=3-L=2,

22X1=2X3-1+2=6-0.5-5.5,

即

1A2^2A1.

再如，運算akb=aXb+a+b就既滿足交換律又滿足^合律，事實上

b。a=bXa+b+a=aXb+a+b=a0b,

并且

(a°b)°c=(aXb+a+b)0c

=(aXb+a+b)Xc+(aXb+a+b)+c

二aXbXc+aXc+bXc+aXb+a+b+c,

a?(b0c)=a0(bXc+b+c)

二aX(bXc+b+c)+a+(bXc+b+c)

二axBxc+axb+axc+a+bxc+b+c,

從而有

(a°b)°c=a°(b°c)

不過，這個運算“工”對普通數(shù)的加法都不滿足分配律，看反例

1V(2+3)=1b5=1X5+1+5=11,

(1V2)+(1~3)=(1X2+1+2)+(1X3+1+3)

=5+7=12,

因此

V(2+3)盧(1丁2)+(1T3).

例5互為反序①的兩個自然數(shù)之積是92565,求這兩個互為反序的自然數(shù).

注釋：①例如1204與4021是互為反序的自然數(shù)，而120與21不是互為反序的

數(shù).

解：①這兩個自然數(shù)必是三位數(shù).

首先，這兩個自然數(shù)不能是小于100的數(shù)，因為小于100的兩個最大的反序

數(shù)是99和99,而99X99<92565.

其次，這兩個自然數(shù)也不能大于998,因為大于998的兩個最小的反序數(shù)是

999與999,而999X999〉92565.

②設友與何為所求的兩個自然數(shù)，

即

abcX^ba=92565.

由于aXc的個位數(shù)字是5,可以推得：

aXc=lX5或3X5或5X5或7X5或9X5；

而當aXc>3X5時有

航X詼>305X503

即

abcX^ba>92565,

這是不合題意的.因此，我們可以斷定：

aXc=lX5,

不妨設a=l,c=5.

又由于b是0,1,2,9之一，經(jīng)檢驗，只有b=6符合題意，這時有165X

561=92565.

答：所求的兩個互為反序的自然數(shù)是165和561.

例6用1、2、3、4這四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)航士

如果a盧*br3,c盧2且d盧1,那么滿足上述條件的四位數(shù)一共有多少個？

分析分類、枚舉、篩選是解決這類組合計數(shù)問題的基本思路.

解：依題意，因為ar4,所以分三類討論:

①首位數(shù)字a=l時，百位數(shù)字b可取2或4,于是可以畫出如下“樹形圖”

①：

注釋：①樹形圖是圖論中常用的一種分類的直觀表示方法.

<

再考慮十位數(shù)字c的限制條件，可以畫出如下樹形圖:

——3

最后考慮個位數(shù)字d的限制條件，可以畫出如下樹形圖:

/3------4

、4------3

、-3—2

從而可知，砌=1234或1243或1432,共3種數(shù)值.

②首位數(shù)字a=2時，百位數(shù)字b可取1或4,于是畫出如下樹形圖:

<1

再考慮十位數(shù)字C的限制條件，可以畫出如下樹形圖:

最后考慮個位數(shù)字d的限制條件，可以畫出如下樹形圖:

從而可知，abed=2134或2143或2413,共刑可能數(shù)值.

③首位數(shù)字a=3時，類似①、②可以畫出如下樹形圖：

/1—4—2

3G2<1一二

\4、4—無解

—1——2

從而可知，原=3142或3214或3412,共刑不同數(shù)值.

綜上所述，滿足題設條件的四位數(shù)艱，總計有9種可能數(shù)值.

說明。本例實質上是著名的“錯裝信封的問題

例7一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階，最多可以

邁三級臺階.從地面上到最上面一級臺階，共有多少種不同的邁法？

分析按照規(guī)定的上樓悌方式，依次考慮樓梯的階數(shù)是1級、2級、3級、4級、

…的情況：（用記號an表示檄臺階的樓梯的邁法總數(shù)）

①當n=l時，顯然只有一種邁法，即a1二l；

②當n=2時，可以一步一級地走二步上到最上面一級臺階，也可以一步邁

二級直接上到最上面一級臺階，因此共有2種不同的邁法，即

a:=2；

③當n=3時，可以一步一級地走上樓，也可以一步三級上樓，還可以第一手

邁一級、第二步邁二級或第一步邁二級、第二步邁一級上樓，因此共有4種不忙

的邁法，即

a,=4；

④當n=4時，分三種情況來分別討論邁法：

1°若第一步邁一級臺階，則還剩下3級臺階，由③可知有-