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文檔簡介
小學四年級下冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第15課《數(shù)學競賽試題選講》試題附答案
第十五講數(shù)學競賽試題選講
例1計算:1+2+22+23+-+29+210
分析這是首項系數(shù)是2的等比數(shù)列求和問題,可采用“錯位相減法”求解.
例2計算:1X0.5+3X(0.5)2+5X(0.5)3+?X(0.5)4+-+17X(0.5)
9+19X(0.5)10
例3計算:11X12X13+12X13X14+13X14X15+-+100X101X102
例4規(guī)定a*b=ab(其中a、b都是自然數(shù)),分別計算(5*3)*2和5*
(3*2).
例5互為反序①的兩個自然數(shù)之積是92565,求這兩個互為反序的自然數(shù).
例6用1、2、3、4這四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)艱,
如果a盧4,b盧3,c#2且d卉1,那么滿足上述條件的四位數(shù)一共有多少個?
例7一個樓梯共有10級臺階,規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階,最多可以
邁三級臺階.從地面上到最上面一級臺階,共有多少種不同的邁法?
答案
第十五講數(shù)學競賽試題選講
例1計算:1+2+22+23+-+29+210
分析這是首項系數(shù)是2的等比數(shù)列求和問題,可采用“錯位相減法”求解.
解:設S=l+2+22+23+…+29+21°(1)
用2乘以上式的兩邊可得
2S=2+22+23+-=210+211(2)
用(2)式減去(1)式的兩邊,得
S=(2+22+23+…+210+211)-(1+2+22+23+-+29+210)
=211-1
=2048-1
=2047.
例2計算:1XQ.5+3X(0.5)2+5X(0.5)3+7X(0.5)4+…+17X(0.5)
9+19X(0.5)10
分析這個和式中的每一項都是兩個數(shù)的乘積,把各乘積的前一個數(shù)依次排在
一起構成一個公差為2的等差數(shù)列,把各乘積的后一個數(shù)依次排在一起構成一個
公比是0.5的等比數(shù)列,這種數(shù)列通常稱為混合數(shù)列,它的求和方法也采用“錯
位相減法”.
解:設5=1X0.5+3X(0.5)2+5X(0.5)3+…+17X(0.5)9+19X(0.5)10(1)
用2乘以上式的兩邊可得
2S=1+3X0.5+5X(0.5)2+7X(0.5)3+-+17X(0.5)S+19X(0.5)9
(2)
用(2)式減去(1)式的兩邊,得
S=l+2X0.5+2X(0.5)2+2X(0.5尸+…+2X(0.5)S+2X(0.5)9-19X(0.5)10
=1+1+0.5+(0.5)2+…+(o.5)7+(0.5)S-19X(0.5)
再設A=l+0.5+再5)斗??+(0.5)7+(0.5)8⑶
用2乘以(3)式的兩邊可得:
2A=2+1+0.5+…+(0.5)7(4)
用(4)式減去(3)式兩邊,得
A=2-(0.5)^2-0.00390625=1.99609375
于是,有:
5=1+1.99609375-19X(0.5)10
=2.99609375-19XQ.0009765625
=2.99609375-0.0185546875
=2.9775390625.
例3計算:11X12X13+12X13X14+13X14X15+-+100X101X102
解:利用裂項法,有
11X12X13=(11X12X13X14-10X11X12X13)+4,
12X13X14=(12X13X14X15-11X12X13X14)-4,
13X14X15=(13X14X15X16-12X13X14X15)+4,
100X101X102
=(100X101X102X103-99X100X101X102)+4,
把這90個等式相加,得
原式=(100X101X102X1Q3-10X11X12X13)+4
=25X101X102X103-10X11X3X13
=26527650-4290
=26523360.
例4規(guī)定a*b=ab(其中a、b都是自然數(shù)),分別計算(5*3)*2和5*
(3*2).
解:由5*3=53=125
125*2=125—15625,
即有
(5*3)*2=15625
又由
3*2=3、9,
5*9=59=1953125
即有
5*(3*2)=1953125.
說明:規(guī)定新的代數(shù)運算是一類以近世代數(shù)為基礎的新題型,近年來多次
出現(xiàn)于國內外的數(shù)學競賽題中.解這類問題的關鍵在于牢記新運算的定義,在
計算時嚴格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值,遇到括號要優(yōu)先運算.
值得注意的是,有些規(guī)定的新運算未必滿足交換律或結合律.譬如,本例
實質上是乘方運算,由計算結果可知
(5*3)*2盧5*(3*2)
這就是說,本例規(guī)定的運算不滿足結合律.又如,運算”^=3乂&?-2就
不滿足交換律,事實上
lZ\2=lX3-2+2=3-L=2,
22X1=2X3-1+2=6-0.5-5.5,
即
1A2^2A1.
再如,運算akb=aXb+a+b就既滿足交換律又滿足^合律,事實上
b。a=bXa+b+a=aXb+a+b=a0b,
并且
(a°b)°c=(aXb+a+b)0c
=(aXb+a+b)Xc+(aXb+a+b)+c
二aXbXc+aXc+bXc+aXb+a+b+c,
a?(b0c)=a0(bXc+b+c)
二aX(bXc+b+c)+a+(bXc+b+c)
二axBxc+axb+axc+a+bxc+b+c,
從而有
(a°b)°c=a°(b°c)
不過,這個運算“工”對普通數(shù)的加法都不滿足分配律,看反例
1V(2+3)=1b5=1X5+1+5=11,
(1V2)+(1~3)=(1X2+1+2)+(1X3+1+3)
=5+7=12,
因此
V(2+3)盧(1丁2)+(1T3).
例5互為反序①的兩個自然數(shù)之積是92565,求這兩個互為反序的自然數(shù).
注釋:①例如1204與4021是互為反序的自然數(shù),而120與21不是互為反序的
數(shù).
解:①這兩個自然數(shù)必是三位數(shù).
首先,這兩個自然數(shù)不能是小于100的數(shù),因為小于100的兩個最大的反序
數(shù)是99和99,而99X99<92565.
其次,這兩個自然數(shù)也不能大于998,因為大于998的兩個最小的反序數(shù)是
999與999,而999X999〉92565.
②設友與何為所求的兩個自然數(shù),
即
abcX^ba=92565.
由于aXc的個位數(shù)字是5,可以推得:
aXc=lX5或3X5或5X5或7X5或9X5;
而當aXc>3X5時有
航X詼>305X503
即
abcX^ba>92565,
這是不合題意的.因此,我們可以斷定:
aXc=lX5,
不妨設a=l,c=5.
又由于b是0,1,2,9之一,經(jīng)檢驗,只有b=6符合題意,這時有165X
561=92565.
答:所求的兩個互為反序的自然數(shù)是165和561.
例6用1、2、3、4這四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)航士
如果a盧*br3,c盧2且d盧1,那么滿足上述條件的四位數(shù)一共有多少個?
分析分類、枚舉、篩選是解決這類組合計數(shù)問題的基本思路.
解:依題意,因為ar4,所以分三類討論:
①首位數(shù)字a=l時,百位數(shù)字b可取2或4,于是可以畫出如下“樹形圖”
①:
注釋:①樹形圖是圖論中常用的一種分類的直觀表示方法.
<
再考慮十位數(shù)字c的限制條件,可以畫出如下樹形圖:
——3
最后考慮個位數(shù)字d的限制條件,可以畫出如下樹形圖:
/3------4
、4------3
、-3—2
從而可知,砌=1234或1243或1432,共3種數(shù)值.
②首位數(shù)字a=2時,百位數(shù)字b可取1或4,于是畫出如下樹形圖:
<1
再考慮十位數(shù)字C的限制條件,可以畫出如下樹形圖:
最后考慮個位數(shù)字d的限制條件,可以畫出如下樹形圖:
從而可知,abed=2134或2143或2413,共刑可能數(shù)值.
③首位數(shù)字a=3時,類似①、②可以畫出如下樹形圖:
/1—4—2
3G2<1一二
\4、4—無解
—1——2
從而可知,原=3142或3214或3412,共刑不同數(shù)值.
綜上所述,滿足題設條件的四位數(shù)艱,總計有9種可能數(shù)值.
說明。本例實質上是著名的“錯裝信封的問題
例7一個樓梯共有10級臺階,規(guī)定每步可以邁一級臺階或二級臺階,最多可以
邁三級臺階.從地面上到最上面一級臺階,共有多少種不同的邁法?
分析按照規(guī)定的上樓悌方式,依次考慮樓梯的階數(shù)是1級、2級、3級、4級、
…的情況:(用記號an表示檄臺階的樓梯的邁法總數(shù))
①當n=l時,顯然只有一種邁法,即a1二l;
②當n=2時,可以一步一級地走二步上到最上面一級臺階,也可以一步邁
二級直接上到最上面一級臺階,因此共有2種不同的邁法,即
a:=2;
③當n=3時,可以一步一級地走上樓,也可以一步三級上樓,還可以第一手
邁一級、第二步邁二級或第一步邁二級、第二步邁一級上樓,因此共有4種不忙
的邁法,即
a,=4;
④當n=4時,分三種情況來分別討論邁法:
1°若第一步邁一級臺階,則還剩下3級臺階,由③可知有-
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