新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第10章概率章末知識梳理學(xué)案新人教A版必修第二冊

章末知識梳理1．隨機(jī)試驗的特點(diǎn)(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行．(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個．(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．2．有限樣本空間與隨機(jī)事件(1)有限樣本空間：隨機(jī)試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用ω表示，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗E的樣本空間，用Ω表示，稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}為有限樣本空間．(2)樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，稱Ω為必然事件，稱?為不可能事件．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算事件關(guān)系或運(yùn)算含義符號表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B＝?互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B＝?，且A∪B＝Ω4.古典概型計算公式P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ)，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個數(shù)．5．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1；P(?)＝0；性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B)；性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．事件的相互獨(dú)立性對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．7．頻率與概率一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．要點(diǎn)一互斥事件、對立事件與相互獨(dú)立事件典例1從1,2,3，…，7這7個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．上述事件中，是對立事件的是(C)A．① B．②④C．③ D．①③[解析]③中“至少有一個是奇數(shù)”，即“兩個奇數(shù)或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個數(shù)，根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三個事件：“兩個都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個都是偶數(shù)”，故“至少有一個是奇數(shù)”與“兩個都是偶數(shù)”是對立事件，易知其余都不是對立事件．[歸納提升]1.互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件；對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有一個發(fā)生．因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況．2．掌握互斥事件和對立事件的概率公式及應(yīng)用，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．對點(diǎn)練習(xí)?(1)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是(A)A．至多有一張移動卡B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡D．至少有一張移動卡(2)(2021·全國新高考Ⅰ)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球、甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(B)A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立[解析]由獨(dú)立事件的定義知B正確.要點(diǎn)二古典概型典例2我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：4＝2＋2,6＝3＋3,8＝3＋5，那么在不超過12的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為(B)A.eq\f(3,10) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,5)[解析]不超過12的素數(shù)為2,3,5,7,11，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，共有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10種方法，其和為奇數(shù)的共有4種方法，故其和為奇數(shù)的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).[歸納提升]1.古典概型是一種最基本的概率模型，是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A)＝eq\f(m,n)時，關(guān)鍵在于正確理解試驗的發(fā)生過程，求出試驗的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)n和事件A的樣本點(diǎn)個數(shù)m.2．掌握古典概型的概率公式及其應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．對點(diǎn)練習(xí)?為全面貫徹落實習(xí)近平總書記“把周總理的家鄉(xiāng)建設(shè)好，很有象征意義”的殷切囑托，近年來，淮安加快建設(shè)稻米、小龍蝦、規(guī)模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大產(chǎn)業(yè)集群，小龍蝦產(chǎn)業(yè)獲批國家優(yōu)勢特色產(chǎn)業(yè)集群，創(chuàng)成以小龍蝦為主導(dǎo)的國家現(xiàn)代農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)園、特色農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)勢區(qū)．為了進(jìn)一步擴(kuò)大產(chǎn)業(yè)規(guī)模，某村農(nóng)業(yè)綜合服務(wù)中心決定對20戶養(yǎng)殖戶進(jìn)行技術(shù)幫扶，每戶配發(fā)同樣重量的龍蝦苗，經(jīng)過一段時間的養(yǎng)殖后，根據(jù)這20戶未存活的龍蝦苗重量(單位：公斤)繪制如下頻率直方圖，未存活重量超過30公斤的養(yǎng)殖戶，列為“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶”．(1)根據(jù)頻率直方圖估計這20戶的未存活龍蝦苗的平均數(shù)和中位數(shù)；(2)現(xiàn)從“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶”中隨機(jī)抽取兩戶調(diào)查其養(yǎng)殖情況，求抽出來的養(yǎng)殖戶中恰有一戶未存活龍蝦苗重量在(40,50]的概率．[解析](1)根據(jù)頻率直方圖可得：每組的頻率依次為0.2,0.2,0.3,0.2,0.1，估計平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))為：eq\o(x,\s\up6(－))＝5×0.2＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.1＝23.因為0.2＋0.2＝0.4<0.5,0.2＋0.2＋0.3＝0.7>0.5，可知中位數(shù)位于[20,30)內(nèi)，設(shè)為m，則0.4＋0.03(m－20)＝0.5，解得m＝eq\f(70,3)，所以可估計中位數(shù)為eq\f(70,3).(2)由(1)可知：未存活龍蝦苗重量在(30,40]的養(yǎng)殖戶有20×0.2＝4個，記為A，B，C，D；未存活龍蝦苗重量在(40,50]的養(yǎng)殖戶有20×0.1＝2個，記為a，b；從“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶”中隨機(jī)抽取兩個，則有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15種情況，其中有且僅有一個“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶”在(40,50]的情況有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8種情況，所以恰有一戶未存活龍蝦苗重量在(40,50]的概率P＝eq\f(8,15).要點(diǎn)三相互獨(dú)立事件概率的求法典例3甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出．已知在一局比賽中甲、乙兩人獲勝的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,5)，則甲勝出的概率為eq\f(16,25).[解析](解法一)甲勝的情況：①舉行一局比賽，甲勝出，比賽結(jié)束；②舉行兩局比賽，第一局乙勝、第二局甲勝．①②的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,5)×eq\f(2,5)，且這兩個事件是互斥的，所以甲勝出的概率為eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(16,25).(解法二)因為比賽只有甲勝出和乙勝出的兩種結(jié)果，而乙勝出的情況只有一種，舉行兩局比賽都是乙勝出，其概率為eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,25)，所以甲勝出的概率為1－eq\f(9,25)＝eq\f(16,25).[歸納提升]計算相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，一般分為以下幾步：(1)先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，把這些事件分為若干個彼此互斥的事件的和；(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計算出這些彼此互斥的事件的概率；(3)根據(jù)互斥事件的概率加法公式求出結(jié)果．對點(diǎn)練習(xí)?為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“＋”表示“上漲”，即當(dāng)天價格比前一天價格高；用“－”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同.時段價格變化第1天到第20天－＋＋0－－－＋＋0＋0－－＋－＋00＋第21天到第40天0＋＋0－－－＋＋0＋0＋－－－＋0－＋用頻率估計概率．(1)試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨(dú)立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．(結(jié)論不要求證明)[解析](1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，40天里，有16個＋，也就是有16天是上漲的，根據(jù)古典概型的計算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為：eq\f(16,40)＝0.4(2)在這40天里，有16天上漲，14天下跌，10天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是0.4,0.35,0.25，于是未來任取4天，2天上漲，1天下跌，1天不變的概率是Ceq\o\al(2,4)×0.42×Ceq\o\al(1,2)×0.35×0.25＝0.168(3)由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有4次，不變的有9次，下跌的有2次，因此估計第41次不變的概率最大.要點(diǎn)四頻率與概率典例4某學(xué)校為了解高一新生的體質(zhì)健康狀況，對學(xué)生的體質(zhì)進(jìn)行了測試．現(xiàn)從男、女生中各隨機(jī)抽取20人，把他們的測試數(shù)據(jù)，按照《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》整理如下表．規(guī)定：數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格.等級數(shù)據(jù)范圍男生人數(shù)男生平均分女生人數(shù)女生平均分優(yōu)秀[90,100]591.3291良好[80,89]483.9484.1及格[60,79]8701170.2不及格60以下349.6349.1合計－－2075.02071.9(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，求這名學(xué)生體質(zhì)健康為合格的概率；(2)從男生樣本和女生樣本中各隨機(jī)選取一人，求恰有一人的體質(zhì)健康等級是優(yōu)秀的概率．[解析](1)樣本中合格的學(xué)生人數(shù)為5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，樣本總數(shù)為20＋20＝40，則這名學(xué)生體質(zhì)健康為合格的概率是eq\f(34,40)＝eq\f(17,20).(2)設(shè)事件A為“從男生樣本中隨機(jī)選出一人的體質(zhì)健康等級是優(yōu)秀”，則P(A)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).事件B為“從女生樣本中隨機(jī)選出一人的體質(zhì)健康等級是優(yōu)秀”，則P(B)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10).因為A，B為獨(dú)立事件，故所求概率為P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝eq\f(1,4)×eq\f(9,10)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,10)＝eq\f(3,10).對點(diǎn)練習(xí)?某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：空氣質(zhì)量等級鍛煉人次[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組