(新高考)高考數學一輪復習講義+鞏固練習2.7《對數與對數函數》(原卷版)

第第頁§2.7對數與對數函數考試要求1.理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.2.通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.3.了解指數函數y＝ax與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數．知識梳理1．對數的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．以10為底的對數叫做常用對數，記作lgN.以e為底的對數叫做自然對數，記作lnN.2．對數的性質與運算性質(1)對數的性質：loga1＝0，logaa＝1，SKIPIF1<0＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數的運算性質如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．3．對數函數的圖象與性質y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0當x>1時，y>0；當0<x<1時，y<0當x>1時，y<0；當0<x<1時，y>0在(0，＋∞)上是增函數在(0，＋∞)上是減函數4.反函數指數函數y＝ax(a>0且a≠1)與對數函數y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．常用結論1．logab·logba＝1，SKIPIF1<0＝eq\f(n,m)logab.2．如圖給出4個對數函數的圖象則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數函數圖象從左到右底數逐漸增大．3．對數函數y＝logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數．()(3)函數y＝logaeq\f(1＋x,1－x)與函數y＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x)是同一個函數．()(4)函數y＝log2x與y＝SKIPIF1<0的圖象重合．()教材改編題1．函數y＝loga(x﹣2)＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點．2．計算：(log29)·(log34)＝.3．若函數y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝.題型一對數式的運算例1(1)設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于()A.eq\r(10)B．10C．20D．100(2)計算：log535＋SKIPIF1<0﹣log5eq\f(1,50)﹣log514＝.教師備選計算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝.思維升華解決對數運算問題的常用方法(1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡．(2)將同底對數的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用．跟蹤訓練1(1)已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，則a＋b＝.(2)計算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.題型二對數函數的圖象及應用例2(1)已知函數f(x)＝loga(2x＋b﹣1)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是()A．0<a﹣1<b<1B．0<b<a﹣1<1C．0<b﹣1<a<1D．0<a﹣1<b﹣1<1(2)若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則實數a的取值范圍為．教師備選已知x1，x2分別是函數f(x)＝ex＋x﹣2，g(x)＝lnx＋x﹣2的零點，則SKIPIF1<0＋lnx2的值為()A．e2＋ln2B．e＋ln2C．2D．4思維升華對數函數圖象的識別及應用方法(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解．跟蹤訓練2(1)已知函數f(x)＝logax＋b的圖象如圖所示，那么函數g(x)＝ax＋b的圖象可能為()(2)設x1，x2，x3均為實數，且SKIPIF1<0＝lnx1，SKIPIF1<0＝ln(x2＋1)，SKIPIF1<0＝lgx3，則()A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3題型三對數函數的性質及應用命題點1比較指數式、對數式大小例3(1)設a＝log3e，b＝e1.5，c＝SKIPIF1<0，則()A．b<a<cB．c<a<bC．c<b<aD．a<c<b(2)設a＝log63，b＝log126，c＝log2412，則()A．b<c<aB．a<c<bC．a<b<cD．c<b<a命題點2解對數方程不等式例4若loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0，a≠1)，則實數a的取值范圍是．命題點3對數性質的應用例5設函數f(x)＝ln|2x＋1|﹣ln|2x﹣1|，則f(x)()A．是偶函數，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調遞增B．是奇函數，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調遞減C．是偶函數，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調遞增D．是奇函數，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調遞減教師備選1．已知a＝log23，b＝2log53，c＝SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關系為()A．a>c>bB．a>b>cC．b>a>cD．c>b>a2．若f(x)＝lg(x2﹣2ax＋1＋a)在區(qū)間(﹣∞，1]上單調遞減，則a的取值范圍為()A．[1,2)B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)思維升華求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成．跟蹤訓練3(1)若實數a，b，c滿足loga2<logb2<logc2<0，則下列關系中正確的是()A．a<b<cB．b<a<cC．c<b<aD．a<c<b(2)若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x≥2，,－logax－4，0<x<2))存在最大值，則實數a的取值范圍是．(3)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，設函數g(x)＝f2(x)＋f(x2)，則g(x)max﹣g(x)min＝.課時精練1．設a＝eq\f(1,2)，b＝log7eq\r(5)，c＝log87，則()A．a>b>cB．a>c>bC．c>b>aD．c>a>b2．若函數y＝f(x)是函數y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數且f(2)＝1，則f(x)等于()A．log2xB.eq\f(1,2x)C．SKIPIF1<0D．2x﹣23．我們知道：人們對聲音有不同的感覺，這與它的強度有關系．一般地，聲音的強度用(W/m2)表示，但在實際測量時，聲音的強度水平常用L1＝10lg

eq\f(I,I0)(單位：分貝，L1≥0，其中I0＝1×10﹣12是人們平均能聽到的最小強度，是聽覺的開端)．某新建的小區(qū)規(guī)定：小區(qū)內公共場所的聲音的強度水平必須保持在50分貝以下，則聲音強度I的取值范圍是()A．(﹣∞，10﹣7)B．[10﹣12，10﹣5)C．[10﹣12，10﹣7)D．(﹣∞，10﹣5)4．設函數f(x)＝SKIPIF1<0若f(a)>f(﹣a)，則實數a的取值范圍是()A．(﹣1,0)∪(0,1)B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)C．(﹣1,0)∪(1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)5.(多選)函數y＝loga(x＋c)(a，c為常數，其中a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是()A．a>1B．0<c<1C．0<a<1D．c>16．(多選)已知函數f(x)＝ln(e2x＋1)﹣x，則()A．f(ln2)＝ln

eq\f(5,2)B．f(x)是奇函數C．f(x)在(0，＋∞)上單調遞增D．f(x)的最小值為ln27．log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的值等于．8．函數f(x)＝log2eq\r(x)·SKIPIF1<0的最小值為．9．設f(x)＝log2(ax﹣bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)當x∈[1,2]時，求f(x)的最大值．10．已知函數f(x)＝loga(x＋1)﹣loga(1﹣x)，a>0且a≠1.(1)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(2)當a>1時，求使f(x)>0的x的解集．11．設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則()A．a＋b<ab<0B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<abD．ab<0<a＋b12．若實數x，y，z互不相等，且滿足2x＝3y＝log4z，則()A．z>x>yB．z>y>xC．x>y，x>zD．z>x，z>y13．函數f(x)＝|log3x|，若正實數m，n(m<n)滿足f(m)＝f(n)，且f(x)在區(qū)間[m2，n]上的最大值為2，則n﹣m等于()A.eq\f(8,3)B.eq\f(80,9)C.eq\f(1