第十三章 軸對稱 (A·基礎(chǔ)鞏固)-【過關(guān)檢測】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期單元測試卷(人教版)(解析版)

第十三章軸對稱(A·基礎(chǔ)鞏固)班級：姓名：得分：總分：150分時間：120分鐘一．選擇題（共12小題）1．下列交通安全標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．2．如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．90° D．100°【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故選：D．3．到三角形的三個頂點距離相等的點是（）A．三條角平分線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點 C．三條高的交點 D．三條中線的交點【解答】解：∵OA＝OB，∴O在線段AB的垂直平分線上，∵OC＝OA，∴O在線段AC的垂直平分線上，∵OB＝OC，∴O在線段BC的垂直平分線上，即O是△ABC的三邊垂直平分線的交點，故選：B．4．如圖，∠BAC＝110°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ的度數(shù)是（）A．20° B．40° C．50° D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ為AB，AC的垂直平分線，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故選：B．5．若等腰三角形有兩條邊的長度為5和8，則此等腰三角形的周長為（）A．18或21 B．21 C．24或18 D．18【解答】解：根據(jù)題意，①當(dāng)腰長為5時，周長＝5+5+8＝18；②當(dāng)腰長為8時，周長＝8+8+5＝21．故選：A．6．如圖，直線m∥n，Rt△ABC的頂點A在直線n上，∠C＝90°，AB，CB分別交直線m于點D和點E，且DB＝DE，若∠1＝65°，則∠BDE的度數(shù)為（）A．115° B．120° C．130° D．145°【解答】解：如圖，∵DB＝DE，∴∠2＝∠B，∴∠3＝2∠B，∵∠C＝90°，∴∠5＝90°﹣∠B，∵m∥n，∴∠1+∠5+∠3＝180°，∴65°+90°﹣∠B+2∠B＝180°，∴∠B＝25°，∴∠BDE＝130°，故選：C．7．在下列結(jié)論中：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；④有一個角是60°，且是軸對稱的三角形是等邊三角形．其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形，正確；②有兩個外角相等的等腰三角形不一定是等邊三角形，錯誤；③有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形不一定是等邊三角形，錯誤；④有一個角是60°，且是軸對稱的三角形是等邊三角形，正確．故選：C．8．已知等腰三角形其中一個內(nèi)角為70°，那么這個等腰三角形的頂角度數(shù)為（）A．70° B．70°或55° C．40°或55° D．70°或40°【解答】解：分兩種情況：當(dāng)70°的角是底角時，則頂角度數(shù)為40°；當(dāng)70°的角是頂角時，則頂角為70°．故選：D．9．已知點P（a+1，2a﹣3）關(guān)于x軸的對稱點在第一象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜﹣1 B．﹣1＜a＜32 C．?32＜a【解答】解：∵點P（a+1，2a﹣3）關(guān)于x軸的對稱點在第一象限，∴點P在第四象限，∴a+1＞0①2a?3＜0②解不等式①得，a＞﹣1，解不等式②得，a＜3所以，不等式組的解集是﹣1＜a＜3故選：B．10．如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，點E為AD的中點，連接BE并延長交AC于點F．若∠AFB＝90°，EF＝2，則BF長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC邊上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵點E為AD的中點，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故選：D．11．如圖，已知△ABC的面積為12，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于點P，則△BPC的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4【解答】解：延長AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPBP=BP∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC=12S△ABC故選：C．12．如圖，點C、D在線段AB的同側(cè)，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中點，∠CMD＝120°，則CD長的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【解答】解：如圖，作點A關(guān)于CM的對稱點A′，點B關(guān)于DM的對稱點B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′為等邊三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值為19，故選：B．二．填空題（共4小題）13．若點A（m，﹣3），B（﹣2，n）關(guān)于y軸對稱，則2m+3n的值為﹣5．【解答】解：∵點A（m，﹣3），B（﹣2，n）關(guān)于y軸對稱，∴m＝2，n＝﹣3，∴2m+3n＝2×2+3×（﹣3）＝﹣5．故答案為：﹣514．如圖：△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為19cm．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，又∵△ABD的周長＝AB+BD+AD＝13cm，∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．故答案為19cm．15．如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，B、D兩點落在B′、D′點處，若得∠AOB′＝70°，則∠B′OG的度數(shù)為55°．【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得：∠B′OG＝∠BOG又∠AOB′＝70°，可得∠B′OG+∠BOG＝110°∴∠B′OG=12×110°16．如圖，∠MON＝30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形．若OA1＝1，則△AnBnAn+1的邊長為2n﹣1．【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此類推：△AnBnAn+1的邊長為2n﹣1．故答案是：2n﹣1．三．解答題（共8小題）17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）延長AC至E，使CE＝AC，求證：DB＝DE．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵∠CAB＝2∠B，∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝30°；（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，∴AD＝DB，∵AC＝EC，∠ACB＝90°，∴AD＝DE，∴DE＝DB．18．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是AB上一點，過點D作DE⊥BC交BC于點E，交CA延長線于點F．（1）證明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的長，【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE=12∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．19．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．（1）△ABC的面積為5；（2）在圖中作出△ABC關(guān)于直線MN的對稱圖形△A′B′C′．（3）利用網(wǎng)格紙，在MN上找一點P，使得PB+PC的距離最短．（保留痕跡）【解答】解：（1）S△ABC＝3×4?12×2×2?12×1×4?12×故答案為：5；（2）如圖，△A′B′C′即為所求；（3）如圖，點P即為所求．20．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，點F是DE的中點，AB與AG關(guān)于AE對稱，AE與AF關(guān)于AG對稱．（1）求證：△AEF是等邊三角形；（2）若AB＝2，求△AFD的面積．【解答】解：（1）∵AE是BC邊上的高，∴AE⊥BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴AE⊥AD，即∠DAE＝90°，∵點F是DE的中點，即AF是Rt△ADE的中線，∴AF＝EF＝DF，∵AE與AF關(guān)于AG對稱，∴AE＝AF，則AE＝AF＝EF，∴△AEF是等邊三角形；（2）記AG、EF交點為H，∵△AEF是等邊三角形，且AE與AF關(guān)于AG對稱，∴∠EAG＝30°，AG⊥EF，∵AB與AG關(guān)于AE對稱，∴∠BAE＝∠GAE＝30°，∠AEB＝90°，∵AB＝2，∴BE＝1、DF＝AF＝AE=3則EH=12AE=32∴S△ADF=121．如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點，DM與EN相交于點F．（1）若△CMN的周長為15cm，求AB的長；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度數(shù)．【解答】解：（1）∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周長＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，∵△CMN的周長為15cm，∴AB＝15cm；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．22．已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高為h．（1）若點P在一邊BC上[如圖①]，此時h3＝0，求證：h1+h2+h3＝h；（2）當(dāng)點P在△ABC內(nèi)[如圖②]，以及點P在△ABC外[如圖③]這兩種情況時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關(guān)系，請說出你的猜想，并說明理由．【解答】解：（1）如圖1，連接AP，則S△ABC＝S△ABP+S△APC∴12BC?AM=12AB?PD+即12BC?h=12AB?h1+1又∵△ABC是等邊三角形∴BC＝AB＝AC，∴h＝h1+h2；（2）點P在△ABC內(nèi)時，h＝h1+h2+h3，理由如下：如圖2，連接AP、BP、CP，則S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP∴12BC?AM=12AB?PD+12AC?即12BC?h=12AB?h1+12AC?h2又∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AC．∴h＝h1+h2+h3；點P在△ABC外時，h＝h1+h2﹣h3．理由如下：如圖3，連接PB，PC，PA由三角形的面積公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，即12BC?AM=12AB?PD+12AC?PE∵AB＝BC＝AC，∴h1+h2﹣h3＝h，即h1+h2﹣h3＝h．23．如圖，在等邊△ABC中，AB＝12cm，現(xiàn)有M，N兩點分別從點A，B同時出發(fā)，沿△ABC的邊按順時針方向運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s，當(dāng)點N第一次到達B點時，M，N同時停止運動，設(shè)運動時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，M，N兩點重合？兩點重合在什么位置？（2）當(dāng)點M，N在BC邊上運動時，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，請求出此時點M，N運動的時間；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）由題意，t×1+12＝2t，解得：t＝12，∴當(dāng)t＝12時，M，N兩點重合，此時兩點在點C處重合；（2）結(jié)論：當(dāng)點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形．理由：由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，如圖，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵△ACB是等邊三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∠C=∠B∠AMC=∠ANB∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，設(shè)當(dāng)點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，∴CM＝y(tǒng)﹣12，NB＝36﹣2y，∵CM＝NB，∴y﹣12＝36﹣2y，解得：y＝16．故假設(shè)成立．∴當(dāng)點M、N在BC邊上