新教材2021-2022學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修二學(xué)案：第五章元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

5.1.1變化率問題

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1.通過實(shí)例分析?經(jīng)歷山平均變化率過渡到

1.借助教材實(shí)例掌握平均變化率的求法?會求函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時變化率.

瞬時變化率的過程.

（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

2.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.知道導(dǎo)致是關(guān)

2.借助教材實(shí)例理解櫛數(shù)的概念及我兒何意義.（數(shù)學(xué)抽象）

于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)?體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)

3.會求過曲線上一點(diǎn)的切線的方程.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）

涵。思想.

I.能利用導(dǎo)數(shù)的概念解釋相關(guān)的現(xiàn)象.會利用導(dǎo)數(shù)的定義求曲線的切線方

3.體會極限思想.

程.（數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模）

I.通過函數(shù)圖象山：觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

必備知識?自主學(xué)習(xí)

1.什么是平均速度？什么是瞬時速度？兩者由何

耳粽？

導(dǎo)思

2.什么是割線的斜率？什么是切線的斜率？兩者

有何聯(lián)系？

1.變化率

對于高臺跳水中運(yùn)動員的重心相對水面的高度h（單位：m）與起跳后

的時間t（單位:S）的函數(shù)y=h（t）.

（1）平均速度

在t￡6t2這段時間里的平均變化率：

①時間的改變量：At=t2-t).

②高度的改變量：Ay=h(t2)-h(t,).

Avh(t)-h(ti)

③平均變化率第2--.

9￡2-ti

⑵瞬時速度

①瞬時速度：物體在某二幽的速度稱為瞬時速度.

②極限：函數(shù)h(t)在t=2處的瞬時速度是函數(shù)h(t)從2到2+At的平

均變化率在At->0時的極限，即lim興=

At->0

h(2+At)-h(2)

lim___?

At—O空

思考？

(l)At,Ay以及平均變化率一定為正值嗎？

提示：At,Ay可正可負(fù)，Ay也可以為零，但At不能為零，平均變化

率詈可正可負(fù)可為零.

(2)函數(shù)平均變化率的幾何意義

提示：如圖所示，函數(shù)f(X)在區(qū)間區(qū)，X2]上的平均變化率，就是直線

AB的斜率，其中A(x,,f(x,)),B(X2,f(x2)),事實(shí)上kAB=

f(X2)-f(X])_Ay

⑶物體的平均速度能反映它在某一時刻的瞬時速度嗎？

提示：不能，物體的瞬時速度是指某一時刻的速度，而平均速度是指

某一段時間或一段路程的速度.

2.拋物線的切線的斜率

⑴割線的斜率:設(shè)Po(2,f(2)),P(2+Ax,f(2+Ax))是拋物線y=f(x)

f(2+Ax)-f(2)

上任意不同兩點(diǎn)，則割線PoP的斜率為?---------=

2+Ax-2

f(2+Ax)-f(2)

Ax,

⑵過點(diǎn)Po(2,f(2))切線的斜率：當(dāng)P點(diǎn)逐漸靠近Po點(diǎn)，即Ax逐漸變

,f(2+Ax)-f(2)

小，當(dāng)Ax->0時，瞬時變化率lim-------T7---------就是y=f(x)

Ax-0

f(2+Ax)-f(2)

在2處的切線的斜率，即k=lim--------T；--------.

Ax->0AX

思考T

(1)曲線的割線PoP與曲線在Po的切線有什么關(guān)系？

提示：當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|Ax|無限變小時，點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)Po,割線

PoP無限趨近于點(diǎn)Po處的切線PoT.割線PoP的斜率k無限趨近于點(diǎn)Po

處的切線PoT的斜率k0.

⑵曲線的切線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)嗎？

提示：不一定，如圖所示，可知切線與函數(shù)的圖象不一定只有一個交

點(diǎn).

,基礎(chǔ)小測

1.辨析記憶(對的打y"，錯的打“X”).

⑴在平均變化率的定義中，自變量x在X。處的變化量Ax可取任意實(shí)

數(shù).(x)

提示：⑴在平均變化率的定義中，自變量X在X0處的變化量Ax可以

是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，但不能為0.

⑵函數(shù)y=f(x)從X,到x2的平均變化率好=--------------公式

X2-X1

中Ax與Ay同號.(x)

Avf(X2)-f(X1)

提示：(2)函數(shù)y=f(x)從X］到x2的平均變化率好=--------------

公式中Ax與Ay可能同號，也可能異號.

⑶物體在某一時刻t的瞬時速度即在［t,t+M上，當(dāng)加較小時的平

均速度.(x)

提示：⑶物體在某一時刻t的瞬時速度是當(dāng)加一。時，平均速度的極

限.

2.函數(shù)y=f(x),自變量x由xo改變到xo+Ax時，函數(shù)的改變量Ay

為()

A.f(xo+Ax)B.f(xo)+Ax

C.f(x())-AxD.f(xo+Ax)-f(xo)

選D.Ay=f(x()+Ax)-f(x0).

3.(教材練習(xí)改編)曲線y=x2-2x+4在點(diǎn)(1,3)處的切線的斜率為

A.OB.1C.-1D.g

但f(1+Ax)-f(1)

選A.k二hm

Ax—o

1+2Ax+(Ax)123-2-2Ax+4-3

=lim----------------------T------------------------=limAx=0.

Ax—>0AXAx—>0

關(guān)鍵能力?合作學(xué)習(xí)

類型一求運(yùn)動物體的平均速度(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

題組訓(xùn)練、

1.已知函數(shù)y=f(x)=x2+1,則在X=2,Ax=0.1時,Ay的值為()

A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44

B.Ay=f(2+Ax)-f(2)=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.

2.已知一物體的運(yùn)動方程為y=f(t)=2t2+1,其中t的單位是s,路

程單位為m,那么物體在時間［1,1+At］內(nèi)的平均速度為()

A.4B.4At

C.4+2AtD.2At

選C.由題意，Ay=f(l+At)-f(l)

=2(1+At)2+1-3=4At+2(At)2,

-'Ay4At+2(At)2

所以標(biāo)==4+2At

3.一個物體做直線運(yùn)動，位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的

函數(shù)關(guān)系為s(t)=5t2+mt,且這一物體在2<t<3這段時間內(nèi)的平均速

度為26m/s,則實(shí)數(shù)m的值為()

A.2B.1C.-1D.6

s(3)-s(2)

選B.由已知，得-------------=26,所以(5x32+3m)-(5x22+2m)

=26,解得m=1.

；解題策略

求平均變化率的步驟

物體的運(yùn)動方程為y=f(x),求在區(qū)間［xo,x］的平均變化率的步驟:

(1)求時間的改變量Ax=x-Xo；

⑵求函數(shù)值的變化量Ay=f(x)-f(x0)；

(3)求平均變化率%.

ZAA.

提醒：Ax,Ay的值可正、可負(fù)，但Ax#0,當(dāng)f(x)=c為常數(shù)時，Ay

=0.

第【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.物體甲、乙在時間0到L范圍內(nèi)路程的變化情況如圖所示，下列

說法正確的是()

A.在0到S范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在0到to范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度

C在to到L范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在％到L范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度

選C.在。到to范圍內(nèi)，甲、乙所走的路程相同，時間一樣，所以平

均速度相同；在歷到白范圍內(nèi)，甲、乙所用的時間相同，而甲走的路

程較多，所以甲的平均速度較大.

2.若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=8+t?運(yùn)動，則在一小段時間［2,2.1］內(nèi)的平均

速度是（）

A.4B.4.1C.0.41D.-1.1

Ass(2.1)-s(2)2.12-22

選B.v=-0J—9I.

加-2.1-2

3.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程是s=4-2t2,則在時間段［1,1+At］內(nèi)相應(yīng)的

平均速度為（）

A.2At+4B.-2At+4

C.2At-4D.-2At-4

_\s4-2（1+At）2-4+2x12

選D-v二瓦=癡

-4At-2（At）2

=---------Ai---------=-2At-4.

類型二求瞬時速度（數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算）

【典例】槍彈在槍筒中運(yùn)動可以看作勻加速運(yùn)動，如果它的加速度是

5.0X105m/s2,槍彈從槍口射出時所用時間為1.6xl0-3s,求槍彈射出

槍口時的瞬時速度.

四內(nèi)容

步

理

條件：①加速度是5.0x1051nzs2

解

②槍彈從槍口射出時所用時間為1.6X10-3s

題

結(jié)論：槍彈射出槍口時的瞬時速度

意

思

利用位移公式，求出位移的變化量As，時間的變化量At,最后

路

求出

探

lim苦即為所求.

求At->0八L

位移公式為S=1at2,因?yàn)锳s=；a（t（）+At）2-；a6=at（）At+1

書As1

2

a（At）,所以左=at0+2aAt,

寫

所以lim第=lim|at+^aAt|=ato,

表0

At—0At—O'乙）

達(dá)523

已知a=5.0x10m/s,to=1.6xWs,所以at0=800m/s.所以槍

彈射出槍口時的瞬時速度為800m/s.

題

后

__............................................._As,,.,,_一,

求瞬時速度關(guān)鍵是求瓦的值,然后■求具極限值即可.

反

思

■解題策略

1.求運(yùn)動物體瞬時速度的三個步驟

(1)求時間改變量At和位移改變量As=s(to+At)-s(t0).

(2)求平均速度三二言.

⑶求瞬時速度，當(dāng)At無限趨近于。時，辭無限趨近于常數(shù)v,即為

瞬時速度.

2.求發(fā)(當(dāng)Ax無限趨近于。時)的極限的方法

⑴在極限表達(dá)式中，可把Ax作為一個數(shù)來參與運(yùn)算.

(2)求出望的表達(dá)式后，Ax無限趨近于0,可令A(yù)x=0,求出結(jié)果即

可.

跟蹤訓(xùn)練'

1.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的方程為s=5-3t12,若該質(zhì)點(diǎn)在t=1到t=1+At這

段時間內(nèi)的平均速度為-3加-6,則該質(zhì)點(diǎn)在t=1時的瞬時速度是

()

A.-3B.3C.6D.-6

選D.v=lim(-3At-6)=-6.

△t—O

2.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2t2+3做直線運(yùn)動(位移單位：m，時間單位：

s),則質(zhì)點(diǎn)M在t=2s時的瞬時速度是()

A.2m/sB.6m/sC.4m/sD.8m/s

、2(2+At)2+3-(2x22+3)

選D.v=limT；

At—O公1

8At+2(At)2

=lim--------T7--------=lim(8+2At)=8(m/s).

At->0ZAt-0

類型三求曲線的切線方程(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)

角度1求切線方程

【典例】求函數(shù)y=g4在x=2處的切線方程.

【思路導(dǎo)引】先求出變化量，再求平均變化率，再求切線的斜率，進(jìn)

而求切線方程.

44

因?yàn)榧q二百F-^―-1

(Ax+2)2

(Ax)2+4Ax

(Ax+2)2

所以A弁vAx+4

_,-Ax-4-4

所以k=limv2-=lim---------------7=~7~=-1.

△x->oAxAx-o(Ax+2)~4

4

又x=2時y=g=1.

所以切線方程為y-1=-1x(x-2),即x+y-3=0.

+變式探究

在本例中“x=2”改為“x=-2”結(jié)果如何？

44

因?yàn)锳y=---------------;"(Ax-2)2-1

)(Ax-2)2(-2產(chǎn)

(Ax)2-4Ax,所以需二Ax-4

2(Ax-2)2'

所以k=lim名-Ax+44

=lim----------------=7=1.

Ax->05Ax—o(Ax-2)-4

4

又x=-2時y=-^~~—=1.

(-2尸

所以切線方程為y-1=lx(x+2),即x-y+3=0.

角度2…求切點(diǎn)坐標(biāo)

【典例】已知曲線y=2x2-7在點(diǎn)P處的切線方程為8x-y-15=0,

則切點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(-2,1)B.(0,-7)

C.(2,1)D.(3,11)

【思路導(dǎo)引】求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出切點(diǎn)坐標(biāo).

選C.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x(),2x5-7),

f(xo+Ax)-f(x)

則lim0

△x—>0Ax

2[xo+2xoAx+(Ax)12]-7-2xo+7

=lim

Ax—>0Ax

=lim(4x()+2Ax)=4x().

△x—>0

所以4xo=8,解得x0=2.所以P的坐標(biāo)為(2,1).

廨題聲求曲線上某點(diǎn)處切線方程的三個步驟

求出曲線在點(diǎn)(X。'飛)

嚀上口處切線的斜率，!黑加

(寫務(wù)程)T用點(diǎn)耨式叱假)=代7。)寫出切線方程)

(變形式I將點(diǎn)斜式變?yōu)橐话闶?

題組訓(xùn)練\

1?已知點(diǎn)P(-l,1)為曲線上的一點(diǎn)，PQ為曲線的割線，當(dāng)Ax^O

時，若kPQ的極限為-2,則在點(diǎn)P處的切線方程為()

A.y=-2x+1B.y=-2x-1

C.y=-2x+3D.y=-2x-2

選B.由題意可知，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y-1=-2(x+1),即

y=-2x-1.

2.已知函數(shù)f(x)=ax*23*+b在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為2,則號=

f(1+Ax)-f(1)

因?yàn)樾甭蕿?,又lim-------7--------=lim

a(1+Ax)2-a

=lim(aAx+2a)=2a,所以2a=2,所以a=1.又

1.

f(l)=a+b=3,所以b=2.所以；d=2.

答案：2

3.下面是一段登山路線圖.同樣是登山，但是從A處到B處會感覺

比較輕松，而從B處到C處會感覺比較吃力.想想看，為什么？你

能用數(shù)學(xué)語言來量化AB段、BC段曲線的陡峭程度嗎？

3()

20

10

5070100x/m

山路從A到B高度的平均變化率為kAB=彩Av=——10-0=17，山路從

△x50-05

,一，一,Av20-101

=

B到C(W)度的平均變化率為kBcA==9/所以kBc>kAB,

△x70-502

所以山路從B到C比從A到B陡峭.

量1【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處切線斜率為2,則△短M)

f(1+Ax)-f(1)

3Ax

f(1+Ax)-f(1)

根據(jù)條件知k=lim=2,

△x—>0Ax

f(1+Ax)-f(1)1f(1+Ax)-f(1)

所以lim

Ax->0

2

3-

答案4

2.已知函數(shù)y=f(x)=1,則此函數(shù)在區(qū)間“，1+Ax］上的平均變化

率為________

-1

△yf(1+Ax)-f(1)1+Ax-1

△x-Ax-Ax1]+Ax

-1

答案:

1+Ax

課堂檢測?素養(yǎng)達(dá)標(biāo)

1.已知一直線運(yùn)動的物體，當(dāng)時間從t變到t+At時物體的位移為As,

那么

lim署為()

At—0八I

A.時間從t變到t+At時物體的速度

B.在t時刻該物體的瞬時速度

C.當(dāng)時間為At時物體的速度

D.時間從t變到t+At時物體的平均速度

選B.筆表示從時間t到t+At時物體的平均速度，從而lim華表

△IAt-*O公1

示在t時刻該物體的瞬時速度.

2.如圖，函數(shù)y=f(x)在口，3］上的平均變化率為()

A.1B.-1C.2D.-2

Ayf(3)-f(1)

選B△x=3-1-1.

3.(2021.汕頭高二檢測)一個物體的運(yùn)動方程為s=l-t+1?.其中s的

單位是米，t的單位是秒，那么物體在t=3秒時的瞬時速度是()

A.7米/秒B