隨機(jī)抽樣中樣本容量的確定

隨機(jī)抽樣中樣本容量的確定摘要：本文就隨機(jī)抽樣中對總體平均數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)或假設(shè)檢驗(yàn)時，對樣本的必要容量問題進(jìn)行了討論，對在總體方差02已知和未知情況下，如何確定樣本的必要容量進(jìn)行了討論，并對實(shí)際應(yīng)用中必要樣本容量的確定進(jìn)行了合理的近似。關(guān)鍵詞：必要樣本容量隨機(jī)抽樣置信水平通過隨機(jī)抽樣的方法對總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)或檢驗(yàn)，確定隨機(jī)抽樣樣本的容量n是一個非常重要的問題。如果樣本容量n太大，會消耗大量的人力物力，造成不必要的浪費(fèi)；如果樣本容量n太小，會造成參數(shù)估計(jì)不精確，達(dá)不到規(guī)定的要求，進(jìn)而影響假設(shè)檢驗(yàn)的可靠性。因而科學(xué)地確定隨機(jī)抽樣中必要樣本的樣本容量n的大小，在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義。設(shè)總體X服從正態(tài)分布，即X?N(卩,o2),(X,xx)是抽自該總體的一個簡1 2 n單隨機(jī)樣本，則該樣本也服從正態(tài)分布X?N(卩,巳)，即Z=蘭二上?N(0,1)。nJn1.在02已知條件下的必要樣本容量均數(shù)在1-a的置信區(qū)間為(X均數(shù)在1-a的置信區(qū)間為(X-\-nZ)。而在對總體平均數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢a驗(yàn)時，2驗(yàn)時，由于X?N(卩Q2),對于給定的顯著性水平a，當(dāng)假定原假設(shè)H成立時，因Z=M二上?N(0,1)，由正態(tài)分布的對稱性可知,0Jn<Za2<Za2>=1—a1)式回答了兩個問題：一是當(dāng)原假設(shè)H:卩二卩成立時，給出了H的否定000域；二是在□未知時，給出了總體平均數(shù)口在置信水平1-a時的區(qū)間估計(jì)a a、(x— Z,x+―Z)。nan亠22我們可以看到，在a2已知條件下，不論是對總體平均數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)還是(x——Z,x+—Z)假設(shè)檢驗(yàn)，均得到了一個相同的置信區(qū)間： :，記這個置信區(qū)間的長度為24其中"當(dāng)",，在實(shí)際工乍中稱△為估計(jì)精度或誤差精度,它表示在1-a的置信水平下，用樣本平均數(shù)x估計(jì)總體平均數(shù)口時所允許的最大絕對誤差，它反映出了允許的最大絕對誤差A(yù)與置信水平1-a和樣本容量n之間的關(guān)系.如果給定了最大絕對誤差A(yù)與置信水平1-a，就可以計(jì)算出此時的必要(2)樣本容量n：(2)2.在a2未知條件下的必要樣本容量在a2未知條件下，我們可以得到總體平均數(shù)□在1-a置信水平下的置信區(qū)間為(x-Xt(n間為(x-Xt(n-1),x+naS<nt(n-1)，而在對總體平均數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時,a由于X?N(卩,a2)，對于給定的顯著性水平a，當(dāng)假定原假設(shè)H:『口成立時，因00T二X丁0?t(n-1)，選擇臨界值t(n-1)，使得P&>t(n—1)}=a，S a a 1a<n即 PJX-M0<t(n—1)[=1-a (3)aa(3)式同樣回答了兩個問題：當(dāng)原假設(shè)H:u=u成立時，給出了H的否定000域；二是在□未知時，給出了總體平均數(shù)口在置信水平1-a時的區(qū)間估計(jì)(-雪(-雪(n-1),x+naS<nt(n-1)a同樣可以看到，在b2未知條件下，不論是對總體平均數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)還是假設(shè)檢驗(yàn)，均得到了一個相同的置信區(qū)間(X--￡t(n假設(shè)檢驗(yàn)，均得到了一個相同的置信區(qū)間(X--￡t(n-1),X+<naS■Jnt(n-1)a我們還是以A我們還是以A=S<nt(n-1)表示樣本平均數(shù)X估計(jì)或檢驗(yàn)總體平均數(shù)口時所允a許的最大絕對誤差，在知道最大絕對誤差A(yù)與置信水平1-a的前提下，我們可以計(jì)算出此時的必要樣本容量n(4)事實(shí)上，當(dāng)總體方差b2未知時，我們可以用由經(jīng)驗(yàn)確定的b2代替S2，對0于給定的顯著性水平a，只要查得臨界值t(n-1)，這時n的值就能由(4)式確a定。但實(shí)際上，確定臨界值t(n-1)本身，事先就需要知道n的值，即自由度n-1a的值，因此(4)并沒有真正解決n值的計(jì)算問題。然而，我們通過分析t分布臨界值表可以發(fā)現(xiàn)，對于顯著性水平a<0.05的情形，當(dāng)n±30時，其臨界值t(n-1)a~2,這個臨界值對于大于30的各個n值影響均不太大，因此我們可以采用近似公式5)4S5)n=—

A2來計(jì)算n,如果計(jì)算出的n值大大超過30時,這與前面假定t(n-1)心2是不矛盾的。a在實(shí)際的工作中，對于n的確定可按如下方式進(jìn)行：根據(jù)S和△的值，由(5)式計(jì)算n的值，如果n的值大于30，就可以以這個n值作為樣本的必要容量；若n值不大于30，則采用“試差法”來確定樣本的必要容量1,即先由(5)式計(jì)算出一個n值，以這個n值作為第二次查臨界值t(n-1)時的n,將查得的臨界值t(n-1)aa代入(4)式再計(jì)算n值，再以求得的n作為第三次查臨界值t(n-1)時的n,再將a查得的臨界值t(n-1)代入(4)式計(jì)算n值，如此循環(huán)，直到(4)式中兩邊的na值相同或相差很小時為止?一般要求計(jì)算出的n值不能小于5。從上面的式子(2)、(4)我們可以看到，對總體平均數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)或假設(shè)檢驗(yàn)時必要樣本容量具有以下三個特點(diǎn)：總體方差b2或樣本方差S2越大，必要樣本的容量n就越大;最大允許誤差△越小，必要樣本的容量n就越大；置信水平1-a越高，必要樣本的容量n就越大。參考文獻(xiàn)：李賢平，沈崇圣，陳子毅?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.邵志芳.心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].上?？茖W(xué)普及出版社，2004.耿修